因式分解的应用

因式分解的应用我们知道，因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起着重要作用.下面举例说明.一、数字计算例1 计算：.分析由于数字较大，但考虑分母中的200620042+2006200622可写成2006200421+2006200621，这样可直接运用平方差公式分解因式，再提取公因式后进行适当的数字变形即可求解.解.说明这道题要不是想到因式分解，若要硬性计算，就连计算器都有一点点的麻烦.由此我们学习了因式分解以后一定要注意它的灵活运用，使问题的求解难度降到最低限度.二、求值例2一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数.分析假如将这个正整数设出来为a，加上100后的完全平方数是n2，加上168后的另一个完全平方数是m2，这样就可以利用三个未知数列出两个方程，考虑这三个未知数都是正整数，可利用因式分解求解.解设这个正整数为a，两个完全平方数分别为m、n，则根据题意，得即m2n268.因为m2n2（m+n）（mn）12217，而m、n均为正整数，所以（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）.从而所以可求得a156.即这个正整数是156.说明三个未知数，两个方程，若硬性求其解，确有一定的困难，但若考虑这三个未知数的特殊性，利用因式分解进行适当的变形，求解也就不太难了.例3若多项式x2xy2y2xky6可分解为两个一次因式的积的形式，求k的值.分析由于已知多项式可以分解成两个一次因式的积的形式，考虑x2xy2y2（x2y）（x+y），于是可以设两个一次式分别为（x2y+m）、（x +y+n），这样可利用恒等式求解.解根据题意可设x2xy2y2xky6（x2y+m）（x+y+n）.即x2xy2y2xky6x2xy2y2+（m+n）x+（m2n）y+ mn，则有即k7.说明本题是待定系数法在因式分解中的具体运用.三、整除性问题例4已知S1222+3242+5262+9921002+1012，求S被103整除的余数.分析要求出S被103整除的余数，就必须求出S的具体数值，再看S的形式可以通过因式分解从中找到数字间的规律即可.解因为S1222+3242+5262+9921002+1012(10121002)+ (992982)+ (972962)+ (7262)+ (5242)+ (3222)+1201+197+193+13+9+5+1101+100+99+98+97+96+7+6+5+4+3+2+1101515151，而5151103501，所以S被103整除的余数为1.说明要不是通过因式分解求得S的值，就难以估算S被103整除的余数，所以对于处理含有“”的数字计算时，我们不妨通过因式分解化简，并从中找到其数字规律.四、判断三角形的形状例5已知a、b、c为ABC的三边，且a2+bcacb20.试判断ABC的形状.分析要判断三角形的形状，给定的是边a、b、c，于是我们从边入手寻找三边a、b、c之间的关系即能判断其形状.解因为a2+bcacb2（a2b2）+（bcac）（a+b）（ab）+c（ba）（ab）（a+bc）0，而a、b、c为ABC的三边，所以a+bc0，即只有ab0，所以ab，所以ABC的形状是等腰三角形.说明判断三角形的形状，若从角出发，可考虑是否是直角三角形和斜三角形.斜三角形又可分为锐角三角形和钝角三角形；若从边出发，则考虑是否是不等边三角形和等腰三角形.等腰三角形又可分为底和腰不等的等腰三角形和等边三角形.五、解方程例6求方程4x24xy3y25的整数解.分析观察方程中有三项二次项和一个5这个常数项，且4x24xy3y2(2x+ y)( 2x3y)，由于x、y 是整数，所以515（1）（5），这样就可以构造二元一次方程组求出x、y .解将原方程的左边分解因式，得(2x+ y)( 2x3y)5.因为x、y 是整数，所以因式(2x+ y)与( 2x3y)也均为整数.所以5也只能分解为15或（1）（5）.所以有或或或解得即共有四组解.说明多项式的因式分解是一个极为有用的数学解题工具，有着广泛的