基于MATLAB的双足机器人的运动模型的建立与运动仿真

基于MATLAB的双足机器人运动模型的建立与运动仿真摘要：双足机器人是利用双腿和其他部件之间的协调完成动作的，其运动方式与其它的相比较而言更加的方便，更加有益于人们的各种需要，正因为如此，所以双足机器人在科研方面才更加备受关注。双足机器人具有非线性、变结构等等一系列组合的动力学系统，首先我们要确立双足机器人的自由度和各个运动方向上的运动，双足机器人的运动方向有滚转俯仰和偏航。为了完成双足机器人能到做到上述的动作，我决定把双足机器人的自由度设置为12个，我们要利用D-H，在进行相应用的计算的到双足机器人正运动模型，已知正运动模型我们在推导出逆运动模型。最后用MATLAB进行模型的仿真关键词：双足机器人运动学模型D-H表示法动力学模型拉格朗日方程TheestablishmentofabipedalrobotmotionmodelbasedonMATLABandmovementsimulationAbstract：Bipedrobotisusingthecoordinationbetweenthelegsandotherpartstocompletetheactions,comparingwithothermovements,itsmoreconvenientandmorebeneficialtothemeetallkindofneeds,forthisreason,bipedalrobotdrawsmoreattentiononscientificresearch.Bipedrobothasaseriescombinationofdynamicsystem,suchasnonlinear,variablestructure.First,weneedtoestablishthefreedomandmovementstoeverymovingdirectionofbipedrobot.Themovementsofbipedrobotarerollpitchandyaw.Tomakebipedrobotfinishingmovementsmentionedabove,IdecidetosetDOFofbipedalrobot12,weuseD-Handrelativecalculationtogetpositivemovementmodelofbipedalrobot,ontheknownconditionofpositivemovementmodel,wereducenegativemovementmodel.Finally,weuseMATLABtoemulatethemodel.Keywords:Bipedrobot;Thekinematicsmodel;D-hnotation;Dynamicmodel;TheLagrangesequations目录1绪论.11.1引言.11.2双足机器人的研究状况.11.3本文的双足机器人主要设计.32双足机器人运动学模型.42.1引言.42.2机器人位置与姿态的描述.42.2.1齐次坐标和变换矩阵.62.3双足机器人的自由度配置.82.4双足机器人的运动学模型.102.4.1正运动学模型.102.4.2逆运动学模型.132.5本章小结.163双足机器人动力学模型.173.1引言.173.2机器人的雅克比矩阵.173.3机器人的惯性张量.183.3.1机器人各部分的惯性张量.193.4双足机器人的动力学模型.193.4.1拉格朗日方程.203.4.2动力学模型.203.4本章小结.254双足机器人模型的仿真.264.1双足机器人的混杂动力学模型.264.2单腿支撑期的模型.264.3.双腿支撑期的模型.264.4三连杆平面双足机器人的混杂模型.274.5模拟仿真.294.6本章小结.355总结与展望.365.1论文总结.365.2进一步的研究工作.36参考文献.38致谢.3911绪论1.1引言我们所知道的的机器人大概诞生于美国的五六十年代。随着科研人员的不断研究和人们日常生活以及工业的上需要机器人的重要性就越来越重要，正因为机器人越来越重要科研人员才不断地的研究。双足机器人在所有机器人是极具代表性的，双足机器人是利用仿生学，模仿我们人类的动作完成各种工作。双足机器人的有优点是实用性，双足机器人可在非结构性的复杂地面行走并做一些简单的动作；在某些特殊的环境中可代替人进行工作，从而完成工作。正因为双子机器人有这么多的优点，所以他也被利用于人类生活和工作的各个行业中并且扮演着非常重要的角色。双足机器人研究设及到很多学科的知识，是一门综合性的研究项目。从上世纪五六十年代到现在为止经过研究人员的研究双足器人有了很大的科研成果，但是也仅仅限于科研方面还远远没有运用的人们的日常生活中。我们在研究一个东西时首先要有理论依据，而现在双子机器人迟迟没有重大的突破主要是理论依据不足。本设计主要的两个方面：建模和仿真，从而进行双足机器人的研究。1.2双足机器人的研究状况自从世界上第一台真正意义上的双足机器人诞生和南斯拉夫学者提出ZMP稳定性判据理论后，双足机器人就备受关注，研究双足机器人的成果也层出不穷。机器人分为两大类：主动机器人以及被动机器人。我们多了解的机器人现在基本上都处于研究阶段并没有运用到日常生活中，我们坚持不懈的研究一旦研究成功，那么机器人的重要性一下就体现出了。有的研究学者把着梁祝机器人结合到一起，称为半被动步行。我们所知道的第一台工业机器人诞生美国，但是随着人们对机器人研究的深入，日本对双足机器人的研究是非常先进的。日本研究双足机器人的研究机构主要有索尼公司、本田公司、东京工业大学和早稻田大学，这几个研究机构在日本乃至全世2界都是非常有名的。索尼公司研究出世界第一台会跑的双足机器人sony-QRIO。sony-QRIO如图。在1986年日本本田公司研发出了p系类的双子机器人，如图所示。由于我国的历史原因，所以我国的在研究双足机器人的时间比较晚。我国的国防科技大学是第一个开始投入研究的大学，也是在国内第一个研究出机器人的研究单位。先行者是我国第一台机器人。随着机器人越来越重要，我国越来越多的科研单位也逐渐加入了研究双足机器人的的行列之中。其代表性的有哈尔滨工业大学研究出来的HIT系列的双足机器人。还有北京理工大学BHR系列的双足机器人。就在2006年，我国位于北京的中关村的一家公司研究出了一款机器人，称是目前中国最先进的双足机器人。31.3本文的双足机器人主要设计本设计主要足机器人的建模和仿真包括双足机器人的运动学模型与动力学模型的建立，动力学仿真。论文各个部分的安排如下：第1章阐述了双足机器人国内外研究前景和发展情况。第2章讲述机器人的齐坐标矩阵等等概念，利用D-H，确定双足机器人的自由度，确定为12个自由度，然后建立双足机器人的运动模型。第3章建立了五连杆平面双足机器人的动力学模型第4章建立了双足机器人的混杂动力学模型；第5章模型仿真。42双足机器人运动学模型2.1引言双足机器人的研究是人体腰以下的部分所做的动作。所以双足机器人的机构包括腿部和足部和连接腿部足部之间的部分。双足机器人的动作部分包括：单腿运动，双腿运动以及单双推交叉运动。在这个章节建立双足机器人的模型是为了更好的了解双足机器人各个关节之间的联系和数学之间的联系，同时也是为了以后章节建模时所学的理论依据做一下充足的准备。分析和计算过程忽略双足机器人的向前运动还有侧向运动。虽然这样能过简化双足机器人的建模过程的一些问题，但是缺点也是很明显的，主要的的缺点是难免会出现一些误差。为了本论文的准确性我们是要考虑这些因素的。利用D-H方法，构建齐坐标变换矩阵，然后建立双足机器人的运动模型利用数学知识求的双足机器人各个关机（髋，踝，膝）之间的角度。2.2机器人位置与姿态的描述人在完成各个指定动作时运动的过程是没有间隔的续的。所以各个关节杆件受到的力不是很大。本设计忽略关节之间的弹性收缩即弹性效应。本文涉及的模型是一个简单连杆结构理想化模型（忽略弹性效应和看做无间隙的连接部件）且为理想化物理模型质量均匀的刚体。（图2-1参考坐标系和附体坐标系）5如图2-1所示，参考坐标系是空间中的坐标系，在双足机器人中以他为基Oxyz础建立总坐标系。把看作是建立在双足机器人总坐标系的一个附体坐标系。是建立在上的，所以他们之间一动全动，并且其原点与其他坐标点保持一OOxyz致。假设其中有一点在坐标中中的坐标位置保持不变。假设在和POxyzPOxyzO的坐标系中，则它的表示为：=和表示的是在和两个坐标系中的同一个点。OxyzO当系绕任某一某一个轴线转动以后，可以通过一个旋转矩阵R将原坐标O33系PUVW变换到Oxyz系中的坐标PXYZ，即：PXYZ=RPUVW如果坐标系绕转动角，变换矩阵,由上式的矩阵进过旋转可以得OOR到R=10000同理也可以得到系绕Oy轴转角和绕Oz轴转角的33的旋转矩阵O分别为（丁学恭，2006）：R.=00100R.=00001矩阵，和被称为基本旋转矩阵为了能够表示绕坐标系各RR.R.OOxyz个坐标轴的多次旋转转动，我们可以可把基本旋转矩阵一个个的连乘来。由于矩阵乘法的不可交换性，所以矩阵要完成的旋转的顺序就显得非常重要了。除了绕着某一个坐标轴旋转，也可以绕自己的摸一个坐标轴旋转。假如系绕系的某一坐标OuvwOxyz6轴转动，于是我们就可以对这个旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵；假设系绕Ouvw自己的坐标轴转动，于是我们就可以对这个旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。我们在形容转动的刚体可以利用3个角度来形容此参考坐标系，这三个角度成为广义坐标，这三个角度称为欧拉角。我们现在知道的形容欧拉角的的表示方法是也有很多种的，鉴于本论文是研究双足机器人的再结合实际情况我们采用分析飞行器的运动时方法来研究。将绕轴旋转的角度称为滚转角，绕轴旋转的角度称为Ox俯仰角，绕轴旋转的角度称为偏航角，则系统的旋转矩阵为：R.=RR.R.=+2.2.1齐次坐标和变换矩阵齐坐标使用后一个量在通过某种联系来描述前一个量即用n+1来反映n点得具体位置。我们引用齐坐标能够形象的知道其数学表达式及其之间的关系。并且还能具有缩放坐标的功能。对三维空间位置矢T，它的齐次坐标为=T=我们知道k的去只是不唯一的，所以它的空间坐标的位置也不是唯一的，根据具体情况在本论文中研究的是双足机器人我们将k的数值取为1，即k=1。两个坐标是有一定的数学之间的联系的，我们根据映射再结合双足机器人的实际情况，齐次变换矩阵可写成：=333301其中R33表示的是坐标系绕坐标系的旋转矩阵，P3*3是原OuvwOxyz坐标系Ouvw点相对于坐标系原点的位置矢量。对于三维空间中的位置矢量Oxyz，我们可以根据齐坐标公式对于一些旋转矩阵进行扩展，我们这=1里涉及就是把33矩阵经过齐坐标公式进行拓展为44的矩阵：7.=100000000001.=001000000001.=000000001001如果Ouvw坐标系的原点平移到参考坐标系的dxdydzT点，而坐标轴保持平行，则齐次平移矩阵Ttran：tran=10000d00100101和是基本齐次变换矩阵。P，其在Oxyz系和Ouvw的齐tran.次坐标分别表示为：对图2.1中的点P，其在Oxyz系和Ouvw的齐次坐标分别表示为：XYZ=PXPYPZTUVW=PUPVPW1TPP因为P点在Ouvw坐标系中固定不变，在Ouvw相对于Oxyz系运动时，如果次变换矩阵为T，则：XYZ=UVWTPP机器人是由许许多多的关节和杆件组合而成的，因为双足机器人的运功不可能仅仅是某一个关节关键独立运动的，它的运动是一个整体多个杆件的协调下才能完成动作的.为了能跟准确的描述各个杆件之间的联系，Denavt和Hartenberg两位科8学家进过长时间的实验验证得到可以用矩阵来表示相邻功能键之间存在的某种关系即：D-H表示法。D-H方法根据两个杆件之间的通过用矩阵来表示用第n通关某正关系来推导出第n+1个关节矩阵表达式，急着用一级一级的推下去，就可以得到双子机器人各个杆件的表达式。为了方便研究我们要为双子机器人各个杆件编一下号码，我们从双足机器人的脚步为标号的起点，同时把双子机器人的脚掌与地面接触时建立坐标系我们以双足机器人与地面建立的基础坐标系接触的杆件几座编号0，根据运动时就有带动性的我们把第一个运动的杆件几座编号1，根据我们上述的编号方式，以此类推，最后的杆件n处于摆动阶段，或者与地面接触。关节1处于连接杆件1和基座之间，关节i处于杆件i和杆件i1之间，最后的杆件n只通过关节n与杆件n1连接，如图2.2所示：图2.2机器人杆件与关节的描述为了更好的研究，我们要建立局部坐标系，建立局部坐标系时，n关节的双足机器人需要建立n+1个坐标系，其中基础坐标系为，第i关节上的坐标系为0。我们可以根据我们建立的坐标系知道其原点就是其关节的中心位置，我们i-1可以根据实际情况确定方向。根据2.2.2节中齐次变换矩阵的定义，依次建立相邻坐标系系和系之间的齐次变换矩阵i-1Ti，而iO坐标系相对于基础坐标系ii1O0的齐次变换矩阵0iT是各齐次变换矩阵i-1Ti的连乘积，可表示成0Ri0Ti=0T11T2i-1TiR01Ri是我们新建的坐标系相对于基础坐标系的旋转矩阵，Pi是在基础坐标系中由9我们新建的坐标系原点指向i坐标系原点的位置矢量。通过上面的结论，我们就可以确定确定Oi坐标系与O0坐标系的关系，我们就可以就确定了杆件i+1在坐标系中的表示表示方法2.3双足机器人的自由度配置图2.3双足机器人的侧视图（左）和后视图（右）根据我们所建立的模型我们可以把双足机器人简化为一个七连杆解构的简易模型，其模型包括脚、腿（大腿和小腿）和躯干这三个部分。为了能更好地表示我画了一张简易图。如图2-3所示。我们令O1表示左脚的中心点，O2表示右脚的中心点。A1表示左踝表示中心点，A2右踝的中心点。B1表示左膝的中心点，B2表示右膝的中心点。C1表示左髋的中心点，C2表示右髋的中心点。D表示两个髋关节的中心位置，E是躯干的顶点。这个建议模型采用的是前面所说的理想化物理模型这里的所有杆件都是质量均匀的刚体杆件。正因为是质量均匀的刚体杆件，所以杆件的质心和这个杆件的几何中心是一个点即重合。我们研究双足机器人就是为了能让双足机器人更好的完成各种动作，我们分析双足机器人每个小动作的组成主要包括偏航、俯仰、翻滚这三个方向上的运动。我们所做这个简易模型设定为12个自由度，其中踝关节2个（滚转自由度与俯仰自由度）；膝关节1个俯仰自由度；髋关节3个（俯仰自由度、滚转自由度与偏航自由度）。10自由度设定好以后，就可以对各个角度进行定义如下（如图2.4所示）：为左踝滚转方向的转角，为右踝滚转方向的转角，我们根据双足机器人的正常01运动得知双足机器人的小腿的外偏方向为正方向；允许范围为30到30。为左踝俯仰方向的转角，为右踝俯仰方向的转角，我们根据双足机器人的正常23运动得知双足机器人的小腿倾斜的方向为正方向；允许范围为60到60。为左膝俯仰方向的转角，为右膝俯仰方向的转角，我们根据双足机器人的正常45运动得知双足机器人的膝盖弯曲的方向为正方向；允许范围为0到90为左髋俯仰方向的转角，右髋俯仰方向的转角我们根据双足机器人的正常运动67得知双足机器人的大腿前伸的方向为正方向；允许范围为20到70。为左髋滚转方向的转角，为右髋滚转方向的转角，我们根据双足机器人的正常89运动得知双足机器人的大腿外伸的方向为正方向；允许范围为30到30。为偏航方向的转角，为偏航方向的转角，我们根据双足机器人的正常运动得1011知双足机器人的，躯干向前进方向旋转的方向为正方向；允许范围为45到45。图2-4自由度双足机器人的自由度配置在实际的机器人的结构中，各个自由度是由不同的电机驱动的，所以踝部有两个电机，髋部需要三个电机。为了以后的计算和模型建模时的计算简单些，所以我11们把电动机都加在关节的中点上，并且每个电动机的转轴都要在脚踝的的中心点和髋关节的中心点相交。2.4双足机器人的运动学模型对于双足机器人的建模是为了更好的让我们去分析双足机器人的运动中各个关节与杆件之间存在数学关系。对于双足机器人的运动学问题主要存在两方面的问题：1.根据我们所知道的双子机器人的参数（几何参数）以及关节杆件的运动，通过齐坐标变化矩阵可以求出双足机器人的躯干腿部在我们建立的坐标系中的矩阵公式，我们以地球为基础坐标系。2.我们通过查文献所以值得双足机器人杆件的参数，分局我们所建立的坐标系可以求出双子机器人各个关节的表达式及情况，上述所述的即为逆运动学问题部分了。2.4.1正运动学模型我们知道的双足机器人在步行的时候，无论怎么行走都是由脚掌基础底面的，我们在建立固定坐标时首选以脚作为固定坐标系且脚的中心点为原点。为了更好的研究我们可以建立局部坐标系，在小腿、大腿和躯干这些关键部分建立坐标系。利用已知的坐标系采用D-H方法来叙述双足机器人杆件的具体情况，人后在建立正运动学模型。用L0表示脚的中心点距踝关节中心点的距离；L1表示小腿长度；L2表示大腿长度；L3表示两个髋关节之间的距离；L4表示躯干的长度。根据我们以脚掌建立的坐标系，建立正运动模型。如图所示我们需要建立七个坐标系：1.与左脚固连的坐标系2.与左小腿固连的坐标系3.与躯干固连的坐标系4.右大腿固连的坐标系5.与右脚固连的坐标系6.左大腿固连的坐标系7.右脚固连的坐标系。并为这些坐标系命名为OA1A2B1B2C1C2系。当双子机器人处于站立静止的时候，因为是垂直的，所以在双子机器人各个部位建立局部坐标系的坐标轴都处于重合和平行，如图2-5所示。双足机器人各连杆的局部坐标系就建立完成。12各连杆局部坐标系的示意图2-5双足机器人在做运动时候，左小腿绕左踝旋转，先在正方向上的旋转-，然后0在正方向上的旋转，则A1系相对于O系的旋转矩阵为2RX(-)RY()，A1系的原点在O系的坐标是00L0T，计算得到A1系相02对于O系的齐次变换矩阵为OA1=cos20-sin0sin2cos0sin20cos0sin20-cos0sin2sin000cos0cos2001左大腿绕左膝关节旋转，在俯仰方向上的旋转角度为则B1系相对于A1系的旋4转矩阵为Ry().B系的原点在A1系的坐标是00T，得到B1系相对A1系的41齐次变换矩阵为：A1B1=cos4001-sin4000sin4000cos410013躯干相对于左大腿，绕左髋关节旋转，根据髋关节俯仰翻滚偏航，躯干先在俯仰方向上的旋转，然后在滚转方向上的旋转-，最后在偏航方向上旋转。因此6810C1坐标系相对于B1坐标系的旋转矩阵为Rz()Rx()Ry()，C1坐标系11-9-7的原点在B1坐标系中的坐标为00LT，得到C1坐标系相对于B1坐标系的齐次变换矩阵为：B1C2=761168711711901088607119711076中Ci表示cos，Si表示sin，以下类同。在偏航方向上旋转右大腿相对于躯干，绕右髋关节旋转，先在偏航方向上旋转11，然后在滚转方向上旋转9，最后在俯仰方向上旋转7，因此C2坐标系相对于C1系的旋转矩阵为Rz()Rx()Ry()，C2坐标系的原点在C1坐标系11-9-7中的坐标为，得到C2坐标系相对于C1坐标系的齐次变换矩阵为00-LTC1C2=10611799111061179911711711907119711391700079004坐标系相对于C2坐标系的齐次变换矩阵为：B2C2B2=cos5001sin5000-sin5000cos5201右脚绕右踝关节旋转，先在俯仰方向上旋转3，然后绕滚转方向旋转1，因此A2系相对于B2系的旋转矩阵为Ry()RX()，A2系的原点在B2系中坐标为3100T，则A2系相对于B2系的齐次变换矩阵为：1B2A2=cos3sin3sin10cos1cos3sin5000sin3cos3sin100cos3cos110114根据D-H表示法，可得到B1系相对于O系的齐次变换矩阵为OB1=OA1+A1B1=cos(24)0sin0sin(24)cos1sin(24)L1sin2cos(24)sin0L1sin2sin0cos0sin(24)-sin100cos0cos(24)0+1cos0cos201可以得到PB1=TL1sin2L1sin2sin00+1cos0cos2PC1=L1S2+L2S2-4(L1C2+L2C2-4)S0L0+(L1c2+L2C2-4)S0其中Si-j=，Ci-j=sin()，以下类同cos()双足机器人子做动作的时候，在我们建立的坐标系的各个旋转角的角度为：Q1=T020Q2=T0240Q3=T(0+8)24+610Q4=T(0+8+9)24+6710+11Q5=T(0+8+9)24+67+510+11Q6=T(0+8+9+1)24+67+5310+11其中Qi=(1,2,6)各个局部坐标系中的各个双足机器人部件旋转角度双足机器人在做步行这个动作指令时，会有一些不平衡产生的震动，为了让双足机器人在运动型走时更加平稳，我们需要填加几个约束，即对局部坐标系中的加上前倾角。0+8=00+8+9+1=024+6=024+67+53=015则将这些代入上式，得C2点在O0=-86=429=-1系表达式为PC2=L3sin10+L1sin2+2cos(24)L3sin10+(1cos2+cos(24)sin00+cos0(1cos2+L2cos(24)同理可得PA2PB2各连杆的质心在基础系中的齐次坐标的表达方式：C1=OA100/21T1以此同理得到C2.C6其中C1=(1,2,6)分别表示双足机器人各个部件的质心。对于支撑腿为右腿的情况，2.4.2逆运动学模型双足机器人的逆运动学是根据双足机器人部件的齐坐标矩阵，然后在求出双足机器人各个杆件关节的角度问题。双子机器人的逆运动学问题所求出的结果并不是唯一值也有可能是没有结果的，通常我们我们要想解决问题的方法有解析和数值两种方法。把双足机器人的逆运动学部分问题打碎长城一个一个的小问题，这些小问题都要具有一定的意义。采用经典消元理论来求解。由于求解过程相当繁琐，所以我们要做一些假设来简化求解过程。（1）双足机器人的髋的所有自由度轴线交于髋关节的几个中心（2）双足机器人在行走时，整个身体个地面保持垂直。（3）双足机器人在行走时，两个脚始终保持于地面平行。脚与前进方向的夹角，求i=(0,1,2,3,4,5,10,11)的值16C1+A2=111111L1sin2+2cos(24)(1cos2+cos(24)sin00+cos0(1cos2+L2cos(24)C1-C1=T121211由上式带入可得=1111(1cos2+cos(24)sin01cos2+L2cos(24)tan0=tan101212L3sin103cos10因为得到03030cos00)=L1sin2+2cos(24)=111cos2+cos(2411cos0图2.6平面二连杆考虑图2.6所示的平面二连杆，它的正运动学模型为：.x=L1sin2+2cos(24)y=L1cos2+2cos(24)17已知x.y可求出.先建立如图所示的极坐标系(r,)。根据余弦定理可以确定：24=cos121+222212其中根据范围可求出=2+244=cos12122+221=tan12（，）根据取舍可得+42=2=222222sin2sin1(L1sin3+2cos(35)+cos2(1cos3+cos(35)cos2sin1(L1sin3+2cos(35)+cos2(1cos3+cos(35)cos1(1cos3+L2cos(35)假设a=b=代入L1sin3+2sin(35)sin1(1cos3+2cos(35)上式并求出结果为a=22cos2+22sin2b=22sin2+22cos2结合上式可知道sin1(L1sin3+2cos(35)=22sin222cos2cos1(L1sin3+2cos(35)=2218因此，tan1=22sin222cos222根据取值范围，可知11=tan122sin222cos222因为则得cos1)0(L1sin3+2cos(35)=22/sin1结合上式(L1sin3+2sin(35)=22cos2+22sin2(L1cos3+2cos(35)=22/cos1得到关于两个未知数3、5的方程组，与式(2.34)类似，该问题可以转化为一个平面二连杆逆运动学问题。通过上式的计算我们就可以得到逆运动模型。2.5本章小结本章的主要问题就是建立双足机器人正运动学模型和双足机器人的逆运动学问题。本章一开始就对双足机器人位置与姿态就行了描述，并且用D-H表示法齐坐标矩阵来表示双足机器人的各个双足机器人杆件与杆件之间的联系。用齐坐标矩阵来描述双足机器人各个杆件在坐标系的位置。为了能让双足机器人完成各种动作我们一共设置了12个自由度。通过建立双足机器人正运动学模型我们做了一系列假设，利用经典消元理论进行逆运动学运算，这样就可以求到双足机器人各个关节的角度。本章的正运动学和逆运动学都是为了后面的模型仿真做的铺垫。193双足机器人动力学模型3.1引言机器人动力学研究是分析机器人的运动与关节驱动力（力矩）间的动态关系，描述这种动态关系的微分方程称为机器人的动力学模型。双足机器人在进行动作时，两个杆件之间的相对运动方向只有旋转。本章忽略其他的只考虑双足机器人杆件与关节驱动力矩。对于双足机器人的机械结构这方面只考虑用电动机驱动。由于现实之中的机器人是非常复杂的，计算量也是相当巨大的。本篇论文在建立运动学模型不可能可现实的机器人的那么复杂，所以我选择了简化模型。我们建立的简化动力学模型是五连杆的双足机器人，并且只考虑平面点。本章首先介绍了机器人的雅克比矩阵，以及刚体的惯性张量；然后，采用拉格朗日法建立了双足机器人的动力学模型，采用牛顿-欧拉方程递推得到双足机器人的逆动力学模型3.2机器人的雅克比矩阵对于一个具有n自由度的双足机器人，双足机器人关节变量向量可表示为：Q=q1q2qnT设机器人的某杆件在基础坐标系中的位置和姿态为P，则P=P1P2P3P4P5P6T=xeyezeTexeyez前3个元素在基础坐标系中的位置，后3个元素表示在基础坐标系中的姿态。它们都是n个关节变量的函数，所以也可写为：P=（q1q2qn）20为了求该杆件在基础坐标系中的速度，可以上式求导，得：=简写成=该式表示机器人在基础坐标系中的速度P与关节速度Q间的关系，联系它们的纽带为矩阵J，称其为雅克比矩阵，根据上式，它的展开式为=111616P写成分块形式P=6*1P=1=1第i个关节变量引起的三维线速度系数。表示第i个关节变量引起的三维角速度系数。3.3机器人的惯性张量对于在三维空间中运动的刚体的动力学分析，有时需要计算六个惯性量。图3-1刚体的质量微元在三维空间中的表示3-121例如，在图3.1中，则质量为dm的微元相对于x轴的转动惯量为：=2+2=(2+2)对每一个坐标轴对质量微元的转动惯量进行积分，可以得到：=0(2+2)=xydm质量微元的惯性积定义为质量微元与其到一系列两个正交平面的垂直距离的乘积。x为质量微元到yz平面的距离；y为质量微元到xz平面的距离，z为质量微元到xy则质量微元dm的惯性积：=xzdm0当得到一个刚体的转动惯量与惯性积以后，其惯性属性就可以用九个项全表示出来，这些项可以写成：I=000000此时刚体的姿态被称为基准姿态由基准姿态下的惯性张量求得：I=RRT223.3.1机器人各部分的惯性张量本章节所建立的局部坐标系和双足机器人各个部件自由度轴线都与前面章节所画的图像一样。根据双足机器人的正运动学模型，可确定各局部坐标系相对于基础坐标系的旋转矩阵0Ri。根据式(3.12)，可以很容易的求得各杆件在其局部坐标系中的惯性张量Ii。此时根据式(3.13)，即可得到各杆件在基础坐标系中的惯性张量Ii=0Rii脚的惯性惯量I=26120002612000（25+26）123.4双足机器人的动力学模型双足机器人进行步态行走时包括两个阶段：一单腿支撑期：二双腿支撑期。根据根据开链机器人动力学所学的知识建立双足机器人单腿支撑的模型。双足机器人的双腿支撑模型就比较复杂了，我们可以拆开分解一下，看作是一只脚看作是支撑脚，另一只脚看作是与地面接触收受到地面的反作用力。这两个模型有一个共同点都是要建立单脚支撑模型的。我们建立的正运动学模型是已知双足机器人各个关节的角度、角速度等等，根据这些已知的条件我们可以求出关节的驱动力矩。我们建立的逆运动学模型可以根据根据各个杆件之间的联系就行递推求解，计算也比较容易。考虑到以后的模型仿真问题。髋的运动方向上没有偏航的上的运动方向。3.4.1拉格朗日方程对于由N个质点组成的具有n自由度的机械系统，设各自由度为，1,23以此为广义坐标，则系统中的某个质点i在坐标系中的位置可以表示为：=（）i=1