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函数的零点 问题情境 先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数 问题1 方程有没有实数解 函数图象与x轴有没有交点 问题3 求方程的解 求函数图象与x轴交点的坐标 问题2 方程有几个实数解 函数图象与x轴有几个交点 一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系 能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗 一元二次方程的根是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标 问题4 学生活动 当a 0时 方程ax2 bx c 0的根与函数y ax2 bx c的图象之间的关系 ax2 bx c 0 a 0 y ax2 bx c a 0 b2 4ac 0 0 0 方程无实数根 思考 当a 0时呢 归纳小结 1 判断一元二次方程有没有实数根及根的个数问题 可以转化为讨论对应的二次函数图象与x轴的交点问题 同样判断抛物线与x轴的交点问题 也可以转化为讨论对应的一元二次方程实数解问题 转化思想 2 一元二次方程的根是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标 数学建构 概念 二次函数的零点 二次函数y ax2 bx c a 0 的值为0时自变量x的值 称为函数y ax2 bx c a 0 的零点 一般地 使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 结论 函数的零点是数 不是一个点 结论 并不是所有函数都有零点 问题5 任意函数都有零点吗 问题6 零点是点还是数 例题1 求证 二次函数y 2x2 3x 7有两个零点 数学运用 解后感 练习 判断函数f x x2 2x 1是否有两个不同的零点变式1 判断函数f x x2 2x 1是否在区间 2 3 上是否存在零点 试一试 你能把变式的第二种解法总结一下吗 小结论 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 上有零点 例题2 求证 函数f x x3 x2 1在区间 2 1 上存在零点 证明 因为f 2 2 3 2 2 1 3 0 f 1 1 3 1 2 1 1 0 且函数f x 的图象在区间 2 1 上的图象是不间断的 所以函数f x 在区间 2 1 上存在零点 练一练 1 课本76页第1题2 如果x0是二次函数y f x 的零点 且m x0 n 那么f m f n 0一定成立吗 若成立 请说明理由 若不成立 你能举出反例吗 函数的零点概念 函数零点与方程的根以及对应函数图象和x轴交点的横坐标之间的关系 本节课运用了化归与转化以及数形结合的数学思想方法 作业 1 课本76页第2题
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