高考数学一轮课件 优化方案新人教A版(理科) 第六章 等差数列(打包三套)6章2课时.ppt

第2课时等差数列 1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用表示 其符号语言为 n 2 d为常数 基础知识梳理 同一个常数 an an 1 d 公差 d 2 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项为a1 公差是d 则其通项公式为 基础知识梳理 an a1 n 1 d 已知等差数列 an 的第m项为am 公差为d 则其第n项an能否用am与d表示 思考 提示 能 an am n m d 基础知识梳理 思考 3 等差中项如果三个数a a b成 则a叫做a和b的等差中项 且有a 基础知识梳理 等差数列 4 等差数列的前n项和公式sn 基础知识梳理 答案 b 三基能力强化 2 an 是首项a1 1 公差d 3的等差数列 若an 292 则序号n等于 a 98b 99c 100d 101答案 a 三基能力强化 3 在等差数列 an 中 a3 a21 4 则其前23项的和为 a 10b 12c 46d 52答案 c 三基能力强化 三基能力强化 解析 设等差数列的公差为d 首项为a1 三基能力强化 答案 9 三基能力强化 5 教材习题改编 已知 an 为等差数列 a3 a8 22 a6 7 则a5 答案 15 证明一个数列 an 是等差数列的基本方法有两种 一是利用等差数列的定义法 即证明an 1 an d n n 二是利用等差中项法 即证明 an 2 an 2an 1 n n 在 课堂互动讲练 选择方法时 要根据题目条件的特点 如果能够求出数列的通项公式 则可以利用定义法 否则 可以利用等差中项法 课堂互动讲练 课堂互动讲练 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q r且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 思路点拨 由等差数列的定义知 an 是等差数列的充要条件是an 1 an是一个与n无关的常数 解 1 an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 只有2p 0 即p 0 故当p 0时 数列 an 是等差数列 课堂互动讲练 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 而 an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 误区警示 在 2 中 要证明 an 2 an 1 an 1 an 是一个与n无关的常数 而不是证an 1 an是一个常数 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 课堂互动讲练 课堂互动讲练 已知等差数列 an 中 a15 33 a61 217 试探究153是不是这个数列的项 如果是 是第几项 若不是 说明理由 思路点拨 求出通项公式 将153代入判断 解 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 则an a1 n 1 d 课堂互动讲练 an 23 n 1 4 4n 27 令an 153 即4n 27 153 n 45 153是等差数列的项 是第45项 课堂互动讲练 名师点评 在等差数列的五个基本量a1 d an sn n中 知三求二 是一种基本运算 一般方法是利用通项公式和前n项和公式 通过列方程组求解 判断是否是数列中的项的问题 一般有两种解法 一是对所要判断的式子进行变形 看其是否与通项公式一致 二是假设其是数列的项 列出等式解出n 看所解出的n是否为正整数 课堂互动讲练 若题目条件不变 设p q n 试判断ap aq是否仍为数列 an 中的项 并说明理由 解 因an 4n 27 apaq 4p 27 4q 27 16pq 108 p q 272 4 4pq 27 p q 189 27 4pq 27 p q 189 n ap aq仍为数列 an 中的项 课堂互动讲练 互动探究 已知数列 an 是等差数列 sn是其前n项和 1 若m n p q 则am an ap aq 若m n 2p 则am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为kd 课堂互动讲练 3 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 4 s2n 1 2n 1 an 若n为奇数 则s奇 s偶 a中 中间项 6 数列 c an c an pan qbn 也是等差数列 其中c p q均为常数 bn 是等差数列 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 sn 324 最后6项的和为180 n 6 求数列的项数n及a9 a10 2 等差数列 an bn 的前n项和分别 思路点拨 1 可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1 an的值 然后利用前n项和公式求出项数n 2 可利用中项公式求解 课堂互动讲练 解 1 由题意可知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 课堂互动讲练 18n 324 n 18 a1 a18 36 a9 a10 a1 a18 36 课堂互动讲练 课堂互动讲练 名师点评 1 中解法运用了倒序求和的方法和等差数列的性质 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷 应注意运用 2 小题中 直接得出sn 3n 1 k tn 2n 3 k 然后求a8 b8 这种做法是错误的 课堂互动讲练 求等差数列前n项和sn的最值问题 主要有以下方法 1 二次函数法 将sn看作关于n的二次函数 运用配方法 借助函数的单调性及数形结合 使问题得解 2 通项公式法 求使an 0 或an 0 成立的最大n值即可得sn的最大 或最小 值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 在等差数列 an 中 1 若a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn最大 并求出它的最大值 2 若a1 0 s9 s12 则该数列前多少项的和最小 思路点拨 我们可以通过分析数列中各项的正 负号确定前多少项的和最大 也可以利用二次函数求最大值 课堂互动讲练 解 1 由a1 20 s10 s15 s10 s15 s15 s10 a11 a12 a13 a14 a15 0 3分 a11 a15 a12 a14 2a13 a13 0 公差d 0 a1 0 课堂互动讲练 a1 a2 a11 a12均为正数 而a14及以后各项均为负数 当n 12或n 13时 sn有最大值为s12 s13 130 6分 课堂互动讲练 2 设数列 an 的公差为d 则由题意得即3a1 30d a1 10d 8分 a1 0 d 0 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 本题满分12分 设等差数列 an 的首项a1及公差d都为整数 前n项和为sn 1 若a11 0 s14 98 求数列 an 的通项公式 2 若a1 6 a11 0 s14 77 求所有可能的数列 an 的通项公式 课堂互动讲练 高考检阅 解 1 由s14 98得2a1 13d 14 又a11 a1 10d 0 故解得d 2 a1 20 2分因此 an 的通项公式是an 22 2n n 1 2 3 5分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 又d z 故d 1 将 代入 得10 a1 12 11分又a1 z 故a1 11或a1 12 所以 所有可能的数列 an 的通项公式是an 12 n和an 13 n n 1