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第三章 直线与方程 章末整合提升 专题突破 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念 它们从 形 与 数 两个方面刻画了直线的倾斜程度 1 倾斜角的范围是 0 180 2 倾斜角与斜率的对应关系 90 时 k tan 90 时 斜率不存在 专题一 直线的倾斜角与斜率 典例1 规律方法 借助数形结合方法既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系 也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围 此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法 求直线方程的主要方法是待定系数法 要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化 能根据条件灵活选用方程 要注意各种直线方程的适用条件 专题二 直线方程 解析 1 当两条直线的斜率不存在时 两条直线的方程分别为x 1 x 0 它们在x轴上截距之差的绝对值为1 满足题意 典例2 1 已知直线的斜截式方程 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则l1 l2 k1 k2 且b1 b2 l1 l2 k1k2 1 l1与l2相交 k1 k2 专题三 两条直线的位置关系 2 已知直线的一般式方程 l1 a1x b1y c1 0l2 a2x b2y c2 0则 l1 l2 a1b2 a2b1且a1c2 a2c1 l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1与l2相交 a1b2 a2b1 3 注意满足各种条件的直线方程的设法 解析 1 l1 l2 a a 1 b 0 即a2 a b 0 又点 3 1 在l1上 3a b 4 0 由 解得a 2 b 2 典例3 专题四 点 直线间的距离 典例4 1 在对称问题中 点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称 解决此类问题要抓住两点 一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上 二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直 2 与对称有关的最值问题 在直线l上找一点p到直线两侧两定点a b的距离之和最小 则点p必在线段ab上 所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点 在直线l上找一点p到直线同侧两点a b的距离之差最大 则点p必定在线段ab 或ba 的延长线上 所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点 可以简单记为 异侧和最小 同侧差最大 专题五 对称问题 典例5 分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决 在解题过程中 需选定一个标准 根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题 从而使问题得到解决 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式 斜截式 两点式 截距式的局限性引起的分类讨论问题 专题六 分类讨论思想 典例6 数学结合的思想是一种重要的思想方法 数形结合的应用大致分为两类 第一类 以数解形 就是有些图形太过于复杂或过于简单 直接观察不易求解 这时需要给图形赋值 第二类 以形助数 借助图形的直观性阐明数之间的关系 专题七 数形结合的思想方法 典例7 数学问题的解答离不开转化与化归 利用它把代数问题几何化 几何问题代数化 将不熟悉
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