人教A版必修二 第四章 圆与方程 章末复习 课件（39张）.pptxVIP

章末复习 第四章圆与方程 学习目标1 整合知识结构 梳理知识网络 进一步巩固 深化所学知识 2 培养综合运用知识解决问题的能力 能灵活 熟练运用待定系数法求解圆的方程 能解决直线与圆的综合问题 并学会运用数形结合的数学思想 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 圆的方程 1 圆的标准方程 2 圆的一般方程 2 点和圆的位置关系设点p x0 y0 及圆的方程 x a 2 y b 2 r2 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p 3 直线与圆的位置关系设直线l与圆c的圆心之间的距离为d 圆的半径为r 则dr 相离 d r 相切 dr 相交 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 在圆外 在圆内 在圆上 4 圆与圆的位置关系设c1与c2的圆心距为d 半径分别为r1与r2 则 5 求圆的方程时常用的四个几何性质 6 与圆有关的最值问题的常见类型 1 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点距离的平方的最值问题 7 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 1 几何方法运用弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的一半及半径构成直角三角形计算 2 代数方法运用根与系数的关系及弦长公式注 圆的弦长 弦心距的计算常用几何方法 8 空间中两点的距离公式空间中点p1 x1 y1 z1 点p2 x2 y2 z2 之间的距离 p1p2 题型探究 类型一求圆的方程 例1一个圆和已知圆x2 y2 2x 0外切 并与直线l x 0相切于m 3 点 求该圆的方程 解答 解 圆c与圆x2 y2 2x 0外切 故两个圆心之间的距离等于半径的和 设圆c的圆心坐标为 a b 反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程 利用待定系数法求解 采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 第一步 选择圆的方程的某一形式 第二步 由题意得a b r 或d e f 的方程 组 第三步 解出a b r 或d e f 第四步 代入圆的方程 注 解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径 减少运算量 例如 圆的切线垂直于经过切点的半径 圆心与弦的中点连线垂直于弦 当两圆相交时 连心线垂直平分两圆的公共弦 当两圆相切时 连心线过切点等 跟踪训练1 1 如图所示 圆c与x轴相切于点t 1 0 与y轴正半轴交于两点a b b在a的上方 且 ab 2 则圆c的标准方程为 解析 答案 解析取ab的中点d 连接cd ac 则cd ab 解答 解设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 a b 2 4 又 b 2a a 2 b 4或a 2 b 4 故所求圆的方程是 x 2 2 y 4 2 10或 x 2 2 y 4 2 10 例2已知点m 3 1 直线ax y 4 0及圆c x 1 2 y 2 2 4 1 求过m点的圆的切线方程 解答 类型二直线与圆的位置关系 解圆心c 1 2 半径为r 2 当直线的斜率不存在时 方程为x 3 由圆心c 1 2 到直线x 3的距离为d 3 1 2 r知 此时直线与圆相切 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 1 k x 3 即kx y 1 3k 0 故过m点的圆的切线方程为x 3或3x 4y 5 0 2 若直线ax y 4 0与圆相切 求a的值 解答 3 若直线ax y 4 0与圆相交于a b两点 且弦ab的长为求a的值 解答 反思与感悟当直线与圆相交时 常涉及到弦长问题 弦长的计算有以下两种思路 1 代数方法 将直线和圆的方程联立得方程组 消元后得到一个一元二次方程 在判别式 0的前提下 可利用根与系数的关系求弦长 2 几何方法 若弦心距为d 圆半径为r 则弦长为l 解决直线与圆相交问题时 常利用几何方法 即构造直角三角形 利用勾股定理 当直线与圆相切时 圆心到直线的距离等于半径 圆心和切点的连线垂直于切线 跟踪训练2已知点p 0 5 及圆c x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直线l过点p 且被圆c截得的线段长为求l的方程 解答 设d是线段ab的中点 则cd ab 在rt acd中 可得 cd 2 设所求直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 5 kx 即kx y 5 0 此时直线l的方程为3x 4y 20 0 又 当直线l的斜率不存在时 也满足题意 此时方程为x 0 所求直线l的方程为x 0或3x 4y 20 0 2 求过点p的圆c的弦的中点的轨迹方程 解答 解设过点p的圆c的弦的中点为e x y 则ce pe 所以kce kpe 1 化简得所求轨迹方程为x2 y2 2x 11y 30 0 例3已知一个圆的圆心坐标为a 2 1 且与圆x2 y2 3x 0相交于p1 p2两点 若点a到直线p1p2的距离为求这个圆的方程 解答 类型三圆与圆的位置关系 解设圆的方程为 x 2 2 y 1 2 r2 即x2 y2 4x 2y 5 r2 0 所以直线p1p2的方程为x 2y 5 r2 0 解得r2 6 故所求圆的方程是 x 2 2 y 1 2 6 反思与感悟 1 当两圆相交时 公共弦所在的直线方程的求法若圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0相交 则两圆公共弦所在的直线方程为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 2 公共弦长的求法 代数法 将两圆的方程联立 解出交点坐标 利用两点间的距离公式求出弦长 几何法 求出公共弦所在直线的方程 利用圆的半径 半弦长 弦心距构成的直角三角形 根据勾股定理求解 跟踪训练3已知两圆 x 1 2 y 1 2 r2和 x 2 2 y 2 2 r2相交于p q两点 若点p的坐标为 1 2 则点q的坐标为 解析 答案 2 1 解析两圆的圆心坐标分别为o1 1 1 和o2 2 2 由平面几何知 直线o1o2垂直平分线段pq 直线pq的方程为y 2 x 1 即y x 1 由点p 1 2 在圆 x 1 2 y 1 2 r2上 q 2 1 例4圆x2 y2 2ax 2ay 2a2 1 0与x2 y2 2bx 2by 2b2 2 0的公共弦长的最大值为 解析 答案 解析由题意得 两圆的标准方程分别为 x a 2 y a 2 1和 x b 2 y b 2 2 两圆的圆心坐标分别为 a a b b 类型四圆中的最值问题 则当公共弦为圆 x a 2 y a 2 1的直径时 公共弦长最大 最大值为2 反思与感悟与圆有关的最值问题包括 1 求圆o上一点到圆外一点p的最大距离 最小距离 dmax op r dmin op r 2 求圆上的点到某条直线的最大 最小距离 设圆心到直线的距离为m 则dmax m r dmin m r 3 已知点的运动轨迹是 x a 2 y b 2 r2 x2 y2等式子的最值 一般是运用几何法求解 跟踪训练4已知p是直线3x 4y 8 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b是切点 c是圆心 那么四边形pacb的面积的最小值为 解析 答案 解析圆x2 y2 2x 2y 1 0的圆心为c 1 1 半径为1 由题意知 当圆心c到点p的距离最小 即为圆心到直线的距离最小时 四边形的面积最小 达标检测 1 2 3 4 1 以点 3 4 为圆心 且与x轴相切的圆的方程是a x 3 2 y 4 2 16b x 3 2 y 4 2 16c x 3 2 y 4 2 9d x 3 2 y 4 2 9 答案 5 1 2 3 4 5 2 若过点p 1 的直线l与圆x2 y2 1有公共点 则直线l的倾斜角 的取值范围是a 0 30 b 0 60 c 0 30 d 0 60 解析 答案 1 2 3 4 5 3 两圆x2 y2 6x 16y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0的公切线的条数为a 4b 3c 2d 1 解析两圆的标准方程分别为 x 3 2 y 8 2 121 x 2 2 y 4 2 64 则两圆的圆心与半径分别为c1 3 8 r1 11 c2 2 4 r2 8 解析 答案 r1 r2 c1c2 r1 r2 两圆相交 则公切线共2条 1 2 3 4 5 4 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 答案 x2 y 1 2 1 解析由圆c的圆心与点 1 0 关于直线y x对称 得圆c的圆心为 0 1 又因为圆c的半径为1 所以圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 解析 1 2 3 4 5 5 已知直线x my 3 0和圆x2 y2 6x 5 0 1 当直线与圆相切时 求实数m的值 解因为圆x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 所以圆心坐标为 3 0 因为直线x my 3 0与圆相切 解答 1 2 3 4 5 2 当直线与圆相交 且所得弦长为时 求实数m的值 得2 2m2 20m2 160 即m2 9 故m 3 解答 圆是非常特殊的几何图形 它既是中心对称图形又是轴对称图形 它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用 所以在实际解题中常用几何法 充分结合圆的平面几何性质 那么 经常使用的几何性质有 1 圆的切线的性质 圆心到切线的距离