高中数学必修四-第三章：三角恒等变换.doc

必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：两角和的余弦：两角和的正弦：两角差的正弦：两角和的正切：两角差的正切：注意：对于正切【典型例题讲解】：例题1.已知是第四象限角，求的值.例题2.利用和、差角余弦公式求、的值。例题3.已知=，=，求的值。例题4.的值等于（ ）ABCD例题5.已知求的值.例题6.已知，那么的值是_例题7.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1） 求的值； （2） 求的值。例题8.设中，则此三角形是_三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）； （2）； 练习2. 练习3.若，则等于（） 练习4. 已知，为锐角，求.考点二：二倍角公式及其推论： 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：；注意： 二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式， 其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键二倍角公式的推论升幂公式：， 降幂公式：； ； .【典型例题讲解】例题l.下列各式中，值为的是（ ） AB CD例题2.已知，且，则的值是 例题3.化简例题4.（ ） ABCD例题5.已知，化简：.例题6.若，则函数的最大值为 。例题7.已知，求证：.例题8.试以表示【巩固练习】练习1.(cossin) （ ） A B C D 练习2.若的内角满足，则=（ ） A. B. C. D. 练习3.计算练习4.已知函数，（1）求的定义域；（2）设是第四象限的角，且，求的值.练习5.证明 考点三：辅助角公式【典型例题讲解】例题1.求函数的周期，最大值和最小值,单调区间,对称轴，对称中心，如何由y=sinx平移得到例题2.函数的最小值是 。例题3. 设函数的最小正周期为（）求的值 （）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间例题4.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.例题5.已知函数（1） 当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，求的值【巩固练习】练习1.若方程有实数解，则的取值范围是_.练习2. 函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 练习3.若函数，则的最大值为 A1 B C D练习4.已知函数，则是（ ） A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数练习5.设函数（）求的最小正周期（）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值【方法总结】：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1三角函数式的化简：（1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数2三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子 表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角3 三角等式的证明： （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为 简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明三角函数的化简、证明、求值做题技巧总结三角函数的化简、证明、计算的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:1、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等例题1、已知，那么的值是_例题2、已知，且，求的值例题3、已知，求的值例题4、求值：练习1. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值练习2. 求值：2 、三角函数名互化(切化弦)例题1、求值例题2、函数的最小正周期为A B C D 例题3、=_练习1、化简：练习2、已知，则 A. B. C. D. 3、公式变形使用（。例题1、已知A、B为锐角，且满足，则_例题2、求值：_. 练习1、设中，则此三角形是_三角形4、三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。例题1、若，化简为_例题2、函数的最小值是_ .练习1、函数的单调递增区间为_练习2、设函数.(1) 求函数的最大值和最小正周期.(2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若，且为锐角，求.5、 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例题1、求证：；例题2、化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.例题3、已知，求证：.练习1、 化简：练习2、 若则 .练习3、当时，函数的最小值为 A.2B.C.4 D. 6、 常值变换主要指“1”的变换（等）例题1 、已知，求例题2、 等于 （ ）练习1、 练习2、 等于( ) (A)sin3cos3(B)sin3cos3(C)sin3cos3(D)cos3sin37、 正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”例题1、 若 ，则 例题2、 若，求的值。练习1、已知则 练习2、已知，试用表示的值【课后作业】考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式1. sin163sin223+sin253sin313 等于 （ ） A. B. C. D.2. (cossin) （ ） A B C D 3. 已知(,)，sin=,则tan()等于（ ） A. B.7 C. D.74.=_5.已知，那么的值为 6.已知，那么的值是_7.已知为锐角，则与的函数关系为 8. 化简9.已知是第四象限角，求的值.10.已知sin（+）=，sin（-）=，求的值。11.已知求的值.12.已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值考点二：二倍角公式及其推论1.已知 ，则的值为 ( ) A BCD2.已知，则= （ ） A. B. C. D. 3.已知，则的值为 ； 4.观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推测，m n + p = 5 已知为锐角，化简的值. 6.求值：7.证明 8.已知求的值9. 已知，为锐角，求.10.已知，且，求的值11.已知=2，求（1）的值；（2）的值12设函数f(x)=2在处取最小值.（1）求的值;（2）在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.13.已知，且.（）求的值； （）若，求的值.14.已知函数（1）求的定义域；（2）设是第四象限的角，且，求的值.考点三：辅助角公式1.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 A. B. C. D.2若函数，则的最大值为 A1 B C D3求值：_4函数的最小值是 。5.化简6. 要得到一个奇函数，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位7.已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.8.已知函数（）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.9.已知函数（