平行四边形的对角线相互平分

22 2平行四边形的判定 第二课时 学习新知 问题思考 1 用定义法证明一个四边形是平行四边形时 需要什么条件 3 平行四边形的两组对边分别相等 平行四边形的对角线互相平分 它们的逆命题如何表达 是否是真命题 2 用所学的其他判定方法判定一个四边形是平行四边形的条件是什么 小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形 小亮的做法 用4根木条搭成如图所示的四边形 其中AB CD AC BD 小芳的做法 画两条直线相交于点O 截取OA OC OB OD 连接AB BC CD DA 得到四边形ABCD 问题 1 小亮的做法满足怎样的条件 2 小芳的做法又具备怎样的条件 3 观察 你认为他们得到的四边形是平行四边形吗 判定定理的探究 怎样证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形 已知 如图所示 在四边形ABCD中 AB CD AD CB 求证四边形ABCD是平行四边形 证明 如图所示 连接BD 在 ABD和 CDB中 AB CD AD CB BD DB ABD CDB ABD CDB ADB CBD AB CD AD CB 四边形ABCD是平行四边形 证明 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知 如图所示 在四边形ABCD中 AC BD相交于点O OA OC OB OD 求证四边形ABCD是平行四边形 证明这个四边形的方法有哪些 方法有 1 两组对边分别平行 2 一组对边平行且相等 3 两组对边分别相等 平行四边形的判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 分析 由题意可得OB OD OA OC 再由OE OA OF OC得出OE OF 可证明四边形EBFD是平行四边形 已知 如图所示 ABCD的两条对角线AC BD相交于点O E F分别为OA OC的中点 求证四边形EBFD是平行四边形 证明 四边形ABCD是平行四边形 OA OC OB OD E F分别是OA OC的中点 OE OF 四边形EBFD是平行四边形 在上例的条件下 如果E F分别是OA OC的中点 请你谈谈 1 点E F分别在OA OC上 怎样确定点E F的位置 可使四边形EBFD是平行四边形 2 点E F分别在OA OC的延长线上 怎样确定点E F的位置 可使四边形EBFD是平行四边形 1 平行四边形的判定与性质 课堂小结 2 在判定平行四边形时 如有对角线相交可考虑用关于对角线的判定方法 有时需要添加辅助线 即连接对角线 当已知条件给出四边形的对边时 可考虑采用 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 这一判定方法 检测反馈 1 2016 湘西中考 下列说法错误的是 A 对角线互相平分的四边形是平行四边形B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D 一组对边相等 另一组对边平行的四边形是平行四边形 解析 一组对边相等 另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形 如等腰梯形 故选D D 2 已知四边形ABCD中 AC与BD交于点O 如果只给出条件 AB CD 那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是 再加上条件 BC AD 则四边形ABCD一定是平行四边形 再加上条件 BAD BCD 则四边形ABCD一定是平行四边形 再加上条件 AO CO 则四边形ABCD一定是平行四边形 再加上条件 DBA CAB 则四边形ABCD一定是平行四边形 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 不正确 AB CD ABC BCD 180 BAD BCD ABC BAD 180 AD BC 四边形ABCD是平行四边形 正确 AB CD AOB COD AO CO BO DO AO CO BO DO 四边形ABCD是平行四边形 正确 DBA CAB AO BO AB CD AOB COD AO CO BO DO AO BO CO DO 四边形ABCD不一定是平行四边形 不正确 故选C C 解析 在Rt BCE中 由勾股定理 得CE 5 AC 10 AE CE 5 BE DE 3 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD的面积为BC BD 4 3 3 24 故选D 3 如图所示 在四边形ABCD中 对角线AC BD相交于点E CBD 90 BC 4 BE ED 3 AC 10 则四边形ABCD的面积为 A 6B 12C 20D 24 D 4 如图所示 四边形ABCD中 A ABC 90 AD 10cmBC 30cm E是边CD的中点 连接BE并延长与AD的延长线相交于点F 求证四边形BDFC是平行四边形 解析 根据同旁内角互补两直线平行可得BC AD 再根据两直线平行 内错角相等可得 CBE DFE 然后利用 AAS 证明 BEC和 FED全等 根据全等三角形的对应边相等可得BE EF 然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可 证明 A ABC 90 BC AD CBE DFE 又 E是边CD的中点 CE DE 在 BEC与 FED中 BEC FED AAS BE FE 四边形BDFC是平行四边形 证明 1 在 ABC中 D E分别是边AB AC的中点 DE BC且DE BC 又 CF BC DE CF 四边形CDEF是平行四边形 解析 1 欲证明四边形CDEF是平行四边形 只需证得DE CF DE CF即可 2 在四边形CDEF与 DBC中 CF BC 且它们的高相等 即可求出 DBC的面积 5 如图所示 在 ABC中 D E分别是边AB AC的中点 延长BC至点F 使得CF BC 连接CD DE EF 1 求证四边形CDEF是平行四边形 2 若四边形CDEF的面积为8 求 DBC的面积 解 2 DE BC 四边形CDEF与 DBC的高相等 设为h CF BC BC h CF h 8 6 已知 如图所示 在四边形ABCD中 AB CD BC AD 点E F在AC上 且AF CE 求证四边形BEDF是平行四边形 解析 连接BD交AC于点O 首先由AB CD BC AD 可得四边形ABCD是平行四边形 根据平行四边形的性质可得AO CO BO DO 再由AF CE可得EO FO 根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形 证明 连接BD交AC于点O AB CD BC AD 四边形ABCD是平行四边形 AO CO BO DO AF CE AF AO CE CO 即EO FO 四边形BEDF是平行四边形 7 嘉淇同学要证明命题 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD 并写出了如下不完整的已知和求证 已知 如图所示 在四边形ABCD中 BC AD AB 求证 四边形ABCD是四边形 1 补全已知和求证 2 按嘉淇的想法写出证明 3 用文字叙述所证命题的逆命题为 解析 1 命题的题设为 两组对边分别相等的四边形 结论是 这个四边形是平行四边形 根据题设和结论可得已知和求证 2 连接BD 利用 SSS 证明 ABD CDB可得 ADB DBC ABD CDB 进而可得AD CB AB CD 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形 3 把命题 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 的题设和结论对换可得平行四边形的两组对边分别相等 解 1 已知 如图所示 在四边形ABCD中 BC AD AB CD 求证 四边形ABCD是平行四边形 2 证明 连接BD 在 ABD和 CDB中 ABD CDB SSS ADB DBC ABD CDB AD CB AB CD 四边形ABCD是平行四边形 3 用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形的两组对边分别相等 8 如图