八年级整式乘除及公式讲义

望子成龙学校初一寒假 学案 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！第1讲 同底数幂的乘法【基础知识概述】1同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 (m，n都是正整数)注意： 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质如： (m，n，p都是正整数) 此性质可以逆用：说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形： 【例题巧解点拨】1、顺用公式：例1、计算：（1） （2） (3) （4） （5） （6）变形练习：（1） （2）2、常用等式： 例2、（1） （2）（3） （4）3、逆用公式：例3、已知： ，求：的值。变形练习：（1）已知： ，求：的值。（2）已知：，求：的值。4、利用指数相等解题：例4、（1） 已知：，求：m的值；（2） 已知，求的值。变形练习：（1）已知，求m的值；（2）已知，求的值。【基础训练】1、计算：= = = = 2、判断（正确的打，错误的打）（1） （ ） （2） （ ）（3） （ ） （4） （ ）（5）（ ） （6） （ ）（7） （ ）3、计算：（1） （2）（3）【培优训练】1.填空题 （1）计算= 。 （2）如果，那么的结果为 。 2.解答题（1）、已知（2）、若【拓展训练】1. 整数是一个11位整数，求m的整数值。2. 已知，求a， b， c之间的关系。3. 若，试比较a， b， c的大小。望子成龙学校家庭作业校区： 教室： 科目： 数学 学生姓名：_第 1 次课 作业等级：_1.计算：（1） （2）（3） （4）（5） （6）2. 下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）； （2）；（3）； （4）；3.在我国，平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧千克的煤所产生的能量。我国960万平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量？（结果用科学记数法表示）4.某种细菌每分钟由1个分裂成2个。（1）经过5分钟，1个细菌分裂成多少个？（2）这些细菌再继续分裂，t分钟后共分裂成多少个？ 第2讲 幂、积、商的乘方一、新知探索 重点1、幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即(m，n都是正整数)注意： 在形式上，底数本身就是一个幂， 不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变) 此性质可以逆用： 重点2、积的乘方的法则： 积的乘方，等于各因数乘方的积即(n为正整数)。 同理：三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质如 注意：此性质可逆用： 重点3、同底数幂的除法法则： 底数不变，指数相减。即 (m，n都是正整数) 重点4、零指数、负指数： （1） （a0） （2） （a0）2、 精讲精练考点一、幂的乘方 例1、（1） = （2） = （3）= （4） 【实战演练】 1、（1） = （2） = （3）= （4） 2、（1)= （2）= （3）= （4）= 例2、 比较与的大小【实战演练】 1、比较的大小。 2、已知，则的大小关系是？ 考点二、积的乘方 例1、计算： 例2、 【实战演练】 例3、 1）、若，则 ， 2）、若 【实战演练】 1、如果 ，则 ；如果 2、 3、已知，求的值。 4、若的值。 考点三：同底数幂的除法例1、（1）； （2） （3） 【实战演练】（1） （2） （3） （4） （5）考点四、零指数幂与负整数指数幂 例1、用小数或分数表示下列各数： （1） = （2）= （3）= （4）= 例2、把下列各数表示成 的形式： （1）12000000 （2）0.000021 （3）0.00000000402 例3、计算：（1） （2） 【实战演练1】 1、填空：（1） （2）（3） （4） 2、计算：（1） （2） 3、用小数或分数表示下列各数：（1）= . （2）= . （3）= .（4）= . （5）4.2= . （6）= .4、计算：（1） （2） 【实战演练2】 1、，则，。 2、 3、若。 4、若； 5、计算： 6、化简： B组 培优训练4. 已知(2x3)01，则x的取值范围是（ ）A. x B. x C. x D. x5. 若1284832n，则n等于（ ）A. 30 B. 37 C. 38 D. 396. 的结果为（ ）A. B. C. 3 D. 37. (1); (2) (3) (xy)7(yx)6(xy)3(xy)2; (4) 8. 已知2a3，2b6，2c24，求a、b、c之间的关系。9.10. 若xm3，xn2，求 x2m3n的值； x3m2n的值。 C组 竞赛天地17. 已知，求的值。18. 证明： (b0，n为正整数) 19、已知：，求证：20、 若，请用含的代数式表示。望子成龙学校家庭作业校 区： 科 目： 数学 课 次： 教 师： 姓 名： 上课时间： 1. xab1xa2_。若y38a6b9，则y_。2. 若2m5，2n7，则2mn_；23m2n_。3. 若，则x_。4. 若则k_；若，则x_。5. _。6. 下列说法正确的是（ ）A. an和(a)n一定互为相反数 B. 当n为奇数时，an和(a)n相等C. 当n为偶数时，an和(a)n相等 D. an和(a)n一定不相等7. 下列各式中，正确的是（ ）A. 2a33a25a5 B. 2a2 C. D. 8. 下列式子中与计算结果相同的是（ ）A. B. C. D. 9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1H2H3H4H5H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n1，2，6)，要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为（ ）A. 104千焦 B. 105千焦 C. 106千焦 D. 107千焦10. 若x是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 第三讲整式的乘法【知识回顾】1下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？2下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？3利用乘法的交换律、结合律计算6413254前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？【新知预览】单项式乘单项式1单项式的乘法法则利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：(1) 2x2y3xy2=(23)(x2x)(yy2)=6x3y3；(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法)(2) 4a2x5(-3a3bx)=4(-3)(a2a3)b(x5x)=-12a5bx6(b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照抄)单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的 、 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 ，则连同它的指数作为积的一个因式2剖析法则(1)法则实际分为三点：系数相乘有理数的乘法；相同字母相乘同底数幂的乘法；只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则(3)单项式相乘的结果仍是单项式单项式乘多项式观察图画，用不同的形式表示图画的面积.并做比较.并得到单项式与多项式的乘法法则。 第一表示法：x2第二表示法：x（x）故有：x（x）= x2观察式子左右两边的特点，找出单项式与多项式的乘法法则。用乘法分配律来验证。单项式与多项式相乘：就是根据 用单项式去 多项式的 ，再把所得的 相加。多项式乘多项式如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？ 你从计算中发现了什么？多项式与多项式相乘， 归纳总结：1. 单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2. 单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3. 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。A基础训练单项式乘单项式例1 计算：(1)(-5a2b3)(-3a)；(2)(2x)3(-5x2y)； (4)(-3ab)(-a2c)26ab(c2)3（变式训练）1计算：(1)3x55x3；(2)4y(-2xy3)；2计算：(1)(3x2y)3(-4xy2)；(2)(-xy2z3)4(-x2y)33计算：(1)(-6an+2)3anb；(4)6abn(-5an+1b2)4.光的速度每秒约为3105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？单项式乘多项式例2：计算（1）2ab（5ab2+3a2b） （2） （变式训练）1、判断题：(1) 3a35a3=15a3 （ ） (2) ( )(3) ( ) (4) x2(2y2xy)=2xy2x3y ( )2、计算题：(1) (2) (3) (4) 3x(yxyz)(5) 3x2(yxy2x2) (6) 2ab(a2bc)(7) (a+b2+c3)（2a） (8) (a2)3+(ab)2+3（ab3）(9) （10）(11) （3、有一个长方形，它的长为3acm，宽为（7a+2b）cm，则它的面积为多少？B能力提升4、（1）计算：（1）（x3）22x3x3x（2x21） （2）xn（2xn+23xn-1+1）（3)已知有理数a、b、c满足 |ab3|+（b+1）2+|c1|=0，求（3ab）（a2c6b2c）的值。（4）已知：2x（xn+2）=2xn+14，求x的值。（5）若a3（3an2am+4ak）=3a92a6+4a4，求3k2（n3mk+2km2）的值。多项式乘多项式例3：计算（1） （2） （3）（变式训练）1、计算下列各题：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）2、提高练习：(1）、若 则m=_ ， n=_(2）、若 ，则k的值为（ ） （A） a+b （B） ab （C）ab （D）ba(3）、已知 则a=_ b=_(4）、若成立，则X为 (5）、计算： +2(6）、某零件如图示，求图中阴影部分的面积S(7）、在与的积中不含与项，求P、q的值C拓展延伸1化简(1) （2）(3) (3x+1)(x+1)-(2x-1)(x-1)-3x(x-2)-2x(-3x)(4) (2x+y-1)(2x-y+1)-(3x-y)(3x+y)2. 解方程: 3.已知，求出的值4.若展开后不含x和x项，求m，n的植。望子成龙学校家庭作业校 区： 科 目： 数学 课 次： 教 师： 姓 名： 上课时间： 一、基础训练：1计算：=_;=_2. =_,3若x=-2，则代数式的值是4. 计算：=_;二、能力提升（1) （2) （3) （4) （5)解方程: 三、能力拓展：先化简再求值: 其中 第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=ab平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反）右边是这两个单项式中这两项的平方差。这里a,b可表示一个数、一个单项式或一个多项式。2.平方差公式的推广： （1） （2） （3）3思想方法： a、b可以是数，可以是某个式子； 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b，再用公式； 注意倒着用公式； 0； 用公式的变形形式。【探索新知】ab问题导入：成立吗？ 1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式： A组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1） （2） （3）例2.计算下列各题：（1） （2） （3） （4）（5） （6）例3.用平方差公式进行计算：（1）204197 （2）108112例4.化简求值： 其中。例5.计算下列各题：（顺用公式）（1） （2）3(2+1)(2+1)(2+1)(+1)+1 （3） 例6. 计算下列各题：（逆用公式）1.2345+0.7655+2.4690.7655 （希望杯）已知 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B组 能力提升1.计算：（1）(-x-0.7y)( x-0.7y) （2）(a+2)(a4+16)(a2+4)(a-2)（3）(3xm+2yn+4)(3xm+2yn-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804796 （2）100079993 3.计算（顺用公式）：6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 变式训练1：（）（）（）（）（）： 4.计算（逆用公式）：(x3+x2+x+1)(x3-x2+x-1)-(x3+x2+x+2)(x3-x2+x-2)C组 拓展训练1.1949-1950+1951-1952+1999-20002.求证：1999200020012002+1是一个整数的平方。（希望杯试题）3.观察下列各式：（1）你能否由此归纳出一般性规律 ；（2）根据（1）求出的结果.望子成龙学校家庭作业 一、 基础闯关1.计算：（1） （2） （3） （4）二、 综合提升2.计算：（1） （2）（3） （4）三、 真题再现3.计算：（1） （2）第五讲 完全平方公式【新知讲解】1.基本公式：完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b；(a-b)=a-2ab+b.2.完全平方的变形公式：（1）（2）（3）（4）3思想方法：类同于平方差公式.【探索新知】aabb问题导入： 成立吗？（一） 1运算推导：2图形理解：abba（二） 1. 运算推导：2. 图形理解：A组 基础知识【例题精讲】例1.利用完全平方公式计算：（1） （2）例2.利用完全平方公式计算（1）(a+b+c) （2）(a+b-c) （3）(a-b-c)例3.化简：例4.已知：.求：（1） 的值；（2）的值。例5已知=3.（1）求的；（2）求的值。例6.计算下列各题（顺用公式）：例7. 计算下列各题（逆用公式）：（1）= （2）+=（ （3）已知 是一个完全平方式，则的值为。例8.（变形用公式）：若，试探求与的关系。B组 能力提升1.已知：=0.（1）求:的值；（2）求:的值。2.已知x+y-6x-2y+10=0，求的值。3.用完全平方公式进行计算：（1） （2） 4.化简：C组 拓展训练1.配方法：已知：x+y+4x-2y+5=0，求x+y的值。2.若 ，求 的值。3.求证： =4. 若A(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(264+1)，则A1996的末位数字是( )A.0 B.1 C.7 D.95. 若S12-22+32-42+992-1002+1012，则S被103除得到的余数是 6.已知：x+y+z-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值。（天津市竞赛）望子成龙学校家庭作业 一、 基础闯关1.计算：（1） （2） （3） （4）二、 综合提升2.用完全平方公式进行计算：（1） （2）（3） （4）三、 真题再现3.已知x+y+6x+8y+25=0，求x-y的值。 第六讲 整式的综合训练一知识点清单1.幂的性质：（1）aa= a （2） aa= a （3）(ab)= ab （4） （5）(a)= a2.基本运算：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b （2）完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b3.整式的乘法：二、基本方法：整体代换思想 、公式逆用。1代换思想：例1 已知：，求：的值。变式练习：1. 已知3=1，则+1999的值是多少？例2 已知：，求：的值。变式练习：已知：，求：的值。2 整体代入、逆用公式：例3 已知，求的值。例4 若 例5 计算 整式A组题专项训练1.单项式的系数为 , 是 次 项式。2. ； 。3. _ ； 。4. 计算：= _； 。5.若是同类项，则 。6.若，则 。7.若是一个完全平方式，则 。8.若则A= 。9.已知，则 。10若，则 .11下列各式的计算中正确是 . ； 12.如图，一块半圆形钢板，从中挖去直径分别为、的两个半圆：（1）求剩下钢板的面积：（2）若当，时，剩下钢板的面积是多少？（取3.14）整式B组题专项训练1、已知x(2m+1)xy + 9y是一个完全平方式,则的值是 2、若，且，则: 3、已知，求下列各式的值（1）； （2）； （3）4、已知，求的值5、已知，求的值6、已知满足，（1）求的值（2）计算7、已知，求的值8、已知：满足求的值9、已知满足则的值是多少？10、设，试判断的值是否是定值？（即式子的取值与字母无关）说明你的理由11、利用完全平方公式解方程：12、一个自然数减去45后是自然数M的平方，这个自然数加上44后是自然数N的平方，（1）求的值（2）你能求出这个自然数吗？13、已知 求：（1） （2）若，求14、设，求的值望子成龙学校家庭作业校区： 教室： 科目： 学生姓名：_作业等级：_1. （2012浙江省绍兴）下列运算正确的是( )A.x+x=x2 B. x2x2=x2 C. xx2= x4 D.（2x2）2=6x62. （2012连云港，3，3分）下列格式计算正确的是A. （a+1）2=a2+1 B. a2+ a3= a5 C. a8 a2= a6 D. 3a22 a2= 1 3. (2012山东德州中考)化简：= 4.（2012南京市）计算（a2）3（a2）2的结果是（ ）A.a B.a2 C.a3 D.a45.（2011.苏州中考）若m23=26,则m=_;6.(2012.山东东营)若3x=4，9y=7，则3x-2y=_.11. 已知2m=8，2n=4，求：(1). 2m-n的值； (2). 2m+2n的值；7.若3x=4，3y=6，求92x-y+27x-y的值； 8. 某农科所要在一块长为1.2105cm,宽为2.4104cm的实验基地上培养新品种粮食,现培育每种新品种需边长为1.2104cm的正方形实验田，问这块实验基地最多能培育几种新品种粮食？9.已知x-2y+1=0，则2x4y 8=_10.解关于x的方程(x1)|x|1=1.第七讲 整式的乘除检测题(时间：40分钟 总分：100分) 姓名_一、选择题（每小题3分，共30分）1在（1）0=1； （1）3=1； 3a2=； （x）5（x）3=x2中，正确的式子有（ ） A B C D2下列运算错误的是( )A B C D3下列各式中，计算结果为81x2的是（ ） A（x+9）（x9） B（x+9）（x9） C（x+9）（x9） D（x9）（x9）4计算a5（a）3a8的结果等于（ ） A0 B2a8 Ca16 D2a165下