二次函数与一元二次方程（1）.docx

课题：2.5二次函数与一元二次方程（第1课时） 【北师版九年级下册】 高咏丽内容分析1. 课标要求 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，理解一元二次方程与函数的关系。2. 教材分析 知识层面：二次函数与一元二次方程被安排在北师大版教材九年级（下）的第二章第五节，是在学习了二次函数图像与性质之后，对二次函数与一元二次方程关系的探讨，着力于培养学生的数形结合数学。二次函数与一元二次方程既是一次函数与一元一次方程关系的延伸，又为高中数学求一元一次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础。 能力层面：学生在上学期学习了一元二次方程的知识后，之前又学习了二次函数的图像及代数表达式的三种表示方法，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍停留在感性认知层面，贴别是对于从数形结合的这一数学数学来认识二次函数。通过本节课的学习二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。 思想层面：本节课是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质后，从函数的角度对一元二次方程重新进行分析这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的高度上，借助变量，从“静态研究”向“动态研究”转变，将不同的数学对象用二次函数统一起来认识，发挥函数对数与代数内容的统领作用本节内容，无论是已知函数值求自变量的值，二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况，还是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解等，都十分突出地体现了建模思想和数形结合思想3. 学情分析 我所任教的班级学生思维活跃，接受能力强，在这两年的学习，学生已经具备了能够理解二次函数的性质，图像，有了一定的看图能力，并能画一次函数、二次函数的草图，能熟练的求解一元二次方程的根为本节课打下了坚实的基础。但是学生对于理解二次函数与一元二次方程的联系与研究互相转化的数学思想及数形结合有待提升，学生在做题时对于用函数观点解决问题的应用意识还不够强，所以本节课的设置对于提高学生思维能力、加强数学思想是很有必要的。 基于以上知识层面，能力层面，思想层面，本节课地位的分析与学生的学情分析。我选择“二次函数与一元二次方程的关系”作为本节的关键点。教学目标1. 知识与技能：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等实数根、两个相等实数根、和没有实数根。理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。2. 过程与方法：经历二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新能力。通过二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步培养学生数形结合的数学思想。通过学生共同观察和讨论，培养大家合作交流意识。3. 情感与态度：在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的角度去分析问题、解决问题。教学重点 掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系。教学难点 探索二次函数与一元二次方程的关系的过程；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程分的根的个数之间的关系。教学策略 本节课采用“情景引入诱思导学发现问题解决问题”的教学模式，指导学生合作交流，探索讨论，体验发现问题和解决问题的学习过程，参与知识的发生、发展形成的过程；学生在经历“探索发现合作交流归纳总结”的学习过程，通过观察二次函数与坐标轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步总结二次函数与一元二次方程的关系，培养学生数形结合的数学思想。教学过程:1、 复习回顾1.一元二次方程的根的判别式=_。当0方程根的情况是：_；当=0时，方程_；当0时，方程 _。2. 抛物线的开口方向_,顶点坐标_,对称轴_。3.二次函数图像是一条_，它与x轴的交点有几种可能的情况？【设计意图】先复习回顾一元二次方程的根的判别式，紧接着对抛物线图象的最基本的性质：开口方向、顶点坐标、对称轴的表达形式等进行回顾，并且引导二次函数与x轴交点的几种可能情况，不仅巩固学生之前所学的基本知识，又为本节新课的新知识做好铺垫。二、合作提升活动探究一：h/m0t/s246820040060800100 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中(m)是抛出时的高度,(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么（1）h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.【设计意图】对于（1）的问题引导学生观察图像得出和不是变量，可以由图像得知，从而确定h和t的关系式,复习回顾如何利用二次函数的图象与性质确定二次函数的表达式，巩固之前的知识点；对于（2）的问题可以让学生自己探索发现，合作交流，来得出不同的解法。大部分学生容易得出当小球落地时，h为0，所以只需令中h为0，即可求出t；教师可以适当的引导学生观察图象，由图象知，当h为0，t=0或t=8分析当t=0，小球还没有抛出，所以当t=8是小球的落地时间。对于（2）问中的两种方法是一数一形，再次利用了数形结合的数学思想方法。追问：把上面问题中的第（2）问改为“何时小球离开地面的高度是60米？”应该如何解答？当h=0或h=60时，函数 发生了怎样的变化？【设计意图】引导学生观察图象，可以得出由二次函数如何变成了一元二次方程，然后进一步引导学生在观察函数图像与方程还有哪些关系？追问通过你的观察，当h=0时，函数图像与x轴有几个交点，所对的一元二次方程有几个实数根？当h=60时呢？【设计意图】通过这两个实际问题使学生进一步的理解跟掌握二次函数与一元二次方程之间的关系与联系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也是学生进一步感受数形结合的解题思想，也体会这两种解题方法的不同之处和内在联系。 活动探究二：猜想：当二次函数图像与x轴有两个交点，一个交点或没有交点时，所对应的一元二次方程有几个实数根？【议一议】二次函数、的图像如图所示， （1） （2） （3）(1)每个图像与x轴有几个交点？(2)一元二次方程，有几个实数根？用判别式验证一下，一元二次方程有实数根吗?(3)二次函数的图像与x轴交点和一元二次方程的根有什么特点？【设计意图】组织学生观察图像，对学生进行分组：共分六个组，两两合作，共同完成第（1）（2）.第一组的学生探究的图象与x轴的交点个数：第二组的同学用根的判别式探究一元二次方程的根的情况。第三组的学生探究的图象与x轴的交点个数：第四组的同学用根的判别式探究一元二次方程的根的情况。第五组的学生探究的图象与x轴的交点个数：第六组的同学用根的判别式探究一元二次方程的根的情况。各组分别讨论，教师穿梭于各组之间，帮忙答疑，并组织学生回答第（1），（2）题。第一组：二次函数的图象与x轴有2个交点（0,0），（-2，0）；第二组：一元二次方程有两个根；第1、 二组的共同结论：二次函数的图象与x轴的横坐标与一元二次方程根是一样的。第三组：二次函数的图象与x轴只有一个交点（1,0）：第四组：一元二次方程只有一个根;第3、 四组的共同结论：二次函数的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根；第五组：二次函数的图象在x轴的上方，与x轴没有交点；第六组：一元二次方程的没有实数根；通过对第（1），（2）题的观察，探究，引导学生问题（3）二次函数的图像与x轴交点和一元二次方程的根有什么特点做出大胆的猜想！结论： 二次函数的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点. 以此相对应，一元二次函数 的根也有三种情况：有两个不相等实数根、有两个相等实数根、没有实数根。二次函数的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程的根.四、引导发展追问：除此之外 ，你还有其他的发现吗？结论：（1）当时，有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个不同的交点。（2）当时，有两个相等的实数根，即二次函数的图象与x轴只有一个交点。（3）当时，没有实数根，即二次函数的图象与x轴没有交点。 追问：如果将上面的条件和结论反过来，即由图象与x轴的交点情况是否也可以判断的大小情况？【设计意图】 通过对三个函数图象与x轴交点的观察，对一元二次方程根的判别式的解答，让学生进一步观察，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高其发现问题，解决问题的能力。总结：二次函数与一元二次方程之间的关系 当y=0时，二次函数的表达式就是一元二次方程，而一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，在二次函数与一元二次方程之间的关系中，判别式=起着极其重要的作用。二次函数的图象和x轴交点个数一元二次方程的根一元二次方程根的判别式=有两个交点有两个不同的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根【设计意图】这一环节是本节课的重点内容，设置了三个问题，给出从观察图象开始，在用判别式判断一元二次方程的根情况，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从简单的图形入手，即图象与x轴交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破这一关键点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习，他们就会更加的有信心和兴趣了。 为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的关系，在教学设计中加入了一个表格，老师可以再次组织学生进行讨论，交流，总结，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系，即满足什么条件时，方程有两个不等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根；同时进一步培养学生的合作交流，清晰表达的数学能力。【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间（1）画出函数的图象（2）t=1时，足球的高度是多少？（3）t为何值时，h最大？（4）球经过多长时间球落地？（5）方程4.9t219.6t =0，方程14.7=4.9t219.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?【设计意图】 再次设计一个与教材例题相似的问题，给出一个以问题串的形式引导学生，逐步深入关键点二次函数与一元二次方程的关系，为了突破这个关键点，教师要耐心启发、引导、不断的设问，鼓励，力争由学生自己来揭示，体现学生的主体性，主动性。同时也要鼓励学生，我们用一元二次方程的根来解决问题的同时，能否也用图象发解决问题?启发学用“形”的一面去考虑问题，真正做到数形结合。五、成效评价（一）、当堂练习练习1：抛物线与x轴的交点个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0练习2：已知二次函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围.练习3：已知关于x的方程有两个不相等实数根，（1） 求m的取值范围（2） 若m为非负整数，求抛物线的顶点坐标【设计意图】 对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？（2） 、归纳小结通过这节课的学习，你学到了什么，要注意什么，又有什么样的收获和体会？ 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点. 以此相对应，一元二次函数 的根也有三种情况：有两个不相等实数根、有两个相等实数根、没有实数根。2. 二次函数的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程的根六、课后反馈必做题：（1） 求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证 （2） 二次函数（b为常数）的