第九讲(1) 机器人动力学拉格朗日方程

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 例2 如图所示为两杆平面机器人 为了简单起见 我们假设每个杆件的质量集中于杆件的前尾部 其大小为m1和m2 解 每个杆件的质量中心矢量为 由于点质量假设 每个杆件相对质心的惯性张量为零 即 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 末端执行器上无作用力 所以 基座静止 因此 考虑到引力 我们使用 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 应用递推公式有 向前 1杆件 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 2杆件 惯性力 惯性力矩 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 向后递推 2杆件 1杆件 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 取力矩的Z分量 得到关节力矩 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 整理得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 牛顿 欧拉方程实例 通常 机器人的动力学方程常写为抽象的形式 令 离心力 科氏力 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 称为惯量阵 是离心力 科氏力等相关部分 为重力部分 因为中仅有速度和位形 上述方程也称状态空间方程 特点 多变量 时变 非线性 强耦合 机器人机构动力学方程 有 其中 为广义坐标向量 为广义力向量 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 拉格朗日方程是基于能量项 动能T 势能V 对系统变量及时间的微分而建立的 对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿 欧拉方程法更显复杂 然而随着系统复杂程度的增加 拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 系统的动能和位能之差 称为拉格朗日函数 即 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 系统拉格朗日方程为 式中 系统的广义坐标数 作用在第i个广义坐标上的广义力或广义力矩 第i个广义坐标 第i个广义速度 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 例3 对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方法建立动力学方程 解 1 动能和势能连杆1的动能为 设Y0 0为零势面 则连杆1的势能为 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 质量m2的位置表示为 则质量M2的速度平方为 所以 M2动能为 速度分量为 势能为 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 2 拉格朗日函数 3 动力学方程 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 广义坐标为对应的广义外力为作用于的关节上的驱动力距 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 代入 比较例2与例3可知 用牛顿 欧拉法与拉格朗日法得到的结果是相同的 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 步骤总结 1 机械臂上一点速度设杆件i上一点ri 它在基坐标系中的位置为 其中 Ti是 i 坐标系相对基础坐标系的齐次变换矩阵 那么 该点的速度为 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 2 求系统动能 3 求系统位能 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 4 计算拉格朗日函数 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 4 3机器人拉格朗日动力学方程简介 5 代入拉格朗日方程 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010