连续系统simulink传递函数建模分析方法程序设计终稿

连续系统simulink传递函数建模分析方法程序设计摘要搭建LTI连续系统的时域电路并将其映射到复频域(S域)解出其系统函数H（S），利用H（S）建立Simulink仿真模型,并编写求解连续系统零输入响应、零状态响应和全响应的数值解即MATLAB程序。选择典型的RLC三阶电路系统，运用所建立的仿真模型和程序求解LTI连续电路系统，并对其进行展示。关键字连续系统；传递函数；simulink模型；MATLAB程序设计第1页共18页ThemodelinganalysismathsandprogramdesignofthecontinuoussystemssimulinktransferfunctionAbstractBuildingtheLTIcontinuoussystemstime-domaincircuitandmappingtocomplexfrequencydomain(S-domain)systemsolveditssystemfunctiionH(s),UsingtheH(s)toestablishmodelingofSimulink,Andtopreparethesystemforsolvingcontinuouszero-inputresponse,zero-stateresponseandnumericalsolutionsofthefullresponsethatMATLABprogram.ChooseatypicalthirdorderRLCcircuitsystem,TheuseofestablishedsimulationmodelsandproceduresbysolvingLTIcontinuouselectricalsystems,anddisplayingit.Keywordscontinuoussystem;transferfunction;simulinkmodel;MATLABprogamming第2页共18页目录引言.11快速计算LTI连续系统S域传递函数的思路.11.1理论分析方法.11.2连续系统LTI映射到复频率(S)域的必要性及思路.11.3连续系统LTI时域映射到复频率域的方法.21.4导出系统函数的思路.32利用simulink传递函数仿真模型求解LTI连续系统数值解的思路.32.1时域电路系统映射到复频域（S域）的方法.32.2创建simulink传递函数和状态空间仿真模型文件的思路.43求连续系统simulink传递函数建模分析方法程序设计的思路.53.1程序设计的思路与技巧.53.2关键语句分析.54程序应用实例.64.1S域电路系统函数和连续系统数值解的思路.74.2simulink仿真模型及程序求解电路响应.94.2.1传递函数模型.94.2.2状态空间模型.114.3程序运用实例展示.145结语.16参考文献.17附录源程序第3页共18页引言现代社会的发展，诸多领域应用的系统都是连续系统，如科研、生产实践、产品和仪器检测等。其连续系统中的控制电路都应该满足在一定的频带范围内，具有一定的放大和延迟功能。连续系统的解法有解析解和数值解两种，相比而言，连续系统的时域解析解法虽然便于理论分析系统响应的变化趋势和系统特性，但实际系统总是多输入多输出的高阶系统，它们的解析微分方程书写困难，时域响应求解极为困难，出错率也较高，即便较低阶系统的解析方程能够得到，其求解也较复杂，耗时耗力1。而连续系统的区间数值解法就比较容易，本质上用的是迭代解法，总是能够方便、快速地的得到，之后如果企图观察其响应随时间演化的趋势，可用数值解画出其波形来观察，甚至必要时做数据拟合寻找区间解的拟合函数也是人可能的，而且数值解法还可以求一定区间上的非线性问题。将数值解和传递函数、状态空间simulink仿真建模及MATLAB程序结合，解出LTI连续系统高阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应，并画出各个状态的时域响应波形及频谱波形，以使我们更好的研究信号随时间或频率的演化规律。第4页共18页1快速计算LTI连续系统S域传递函数的思路1.1理论分析方法LTI连续系统分析方法有时域分析和变换域分析：时域分析：对于给定的激励，根据描述系统响应与激励之间关系的微分方程求得其响应的方法，一般情况下用卷积积分。我们借助于连续时间LTI系统的单位冲激响应表示如下：*ytxhtdxth例：一个二阶电路微分方程为:,信号源为56ftfe设初值,求解系统的传递函数01,x(1)先解特征方程:2560得：23(2)求h(t)再利用拉普拉斯逆变换写出写出系统函数：Hs2156若求解系统零输入响应就利用经典解求；零状态响应为所求激励与激励响应的卷积积分；全响应为零输入响应和零状态响应之和2。*zsxhtf变换域分析：利用拉普拉斯变换将时域映射到S域，然后根据代数方程输出比输入得系统函数，将系统函数与仿真建模、程序结合就可以求出系统的零输入响应和零状态响应的波形。再令，sj程序中调用fft函数对系统进行频谱分析画出幅频相位图3。1.2连续系统LTI映射到复频率(S)域的必要性及思路线性时不变（LTI）连续系统的时域分析方法，即对于给定的激励，根据描述系统的响应与系统之间关系的微分方程求得其响应的方法，其主要方法为经典解。但是利用经典解在求解微分方程的基础上讨论其零输入响应、零状态响应和全响应比较复杂，高阶解更是困难。在应用傅里叶积分变换求解LTI连续系统微分方程中，有许多重要函数不满足傅里叶积分变换的绝对可积条件，例如常数、单位阶跃函数以及正余弦函数等。这使得傅里叶变换求解微分方程有很大的限制，而且傅里叶积分变换比较烦琐。在利用傅里叶分析研究LTI系统时，将只局限于系统的冲激响应有傅里叶变换的情况4。在LTI连续系统的分析和研究中，拉普拉斯变换是一种特别有用的分析工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为S域的代数方程，便于运算和求解；同时它将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中，即可分别求得零输入响应、零状态响应和系统的全响应。综上，从时域、傅里叶变换和拉普拉斯变换三种方法解微分方程中得出，拉普拉斯变换是最方便易行的。拉普拉斯变换的重要应用之一是对LTI连续系统的分析与表征。对于LTI连续系统，利用积分变换,给时域变量求拉普拉斯变换。拉普拉斯变换的作用直接来源于卷积性0stXexd质,根据这一性质就可以得到，一个LTI连续系统输入和输出的1*212LTxtXs拉普拉斯变换是通过乘以单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即,()()YsHXs和分别是系统输入、输出和单位冲击响应的拉普拉斯变换。传递函数为:,所()YsHYSF以S域求解系统函数很容易5。初值设置：若微分方程为n阶，则n-1，n-2,n-32,1阶的初始状态可设初值。230,tthtthtte第5页共18页1.3连续系统LTI时域映射到复频率域的方法对于时域高阶电路系统我们无法列出其时域微分方程，但是我们根据映射到s域的复频域电路可求解出系统函数，根据系统函数我们可列出LTI连续系统的数学建模常系数微分方程，然后再用拉普拉斯变换求解微分方程：设LTI系统的输入f(t),输出响应y（t），描述n阶系统的微分方程的一般形式可写为(1-1)()()00nmijijtfab式中，系数均为实数，设系统的初始状态为,(0,1)ija、b（=,1）(0)y(1。(1),ny令,。根据时域微分定理，y(t)及其各阶导数的拉普拉斯变LTtYs()LTftFs换为（）(1-2)1()()0(iiipytYsyi=0,1n如果f(t)是t=0时接入的，则在时f(t)及其各阶导数均为零，即。0()(,)jfjm因而f(t)及其各阶导数的拉普拉斯变换为(1-3)()()jjLTftsF取式(1-1)的拉普拉斯变换并将式式(1-2)、式(1-3)代入得1()000()()nimipjijasYybs即(1-4)1()000()()nniipjiijsssF由上式可解得(1-5)()()MBYFsAs式中,是方程式(1-1)的特征多项式;,多项式和的系数0()niiAsa0mjjb()AsB仅与微分方程的系数、有关;,它也是s的多项式，其系数与ijb1()0()nipisasy和响应的各初始状态有关而与激励无关6。ia()py由式(1-5)可以看出，其第一项仅与初始状态有关而与输入无关，因而是零输入响应的象函数，()ziyt记为;其第二项仅与激励有关而与初始状态无关，因而是零状态响应的象函数，记为()ziYszst。于是式(1-5)可写为s(1-6)()()()zizsMBsYsFA式中，。取上式逆变换，得系统的全响应()ziMsYA()zsBFA(1-7)()zizsyttyt1.4导出系统函数的思路若对于低阶电路时域微分方程可以列出，则求解系统函数方法描述n阶LTI系统的微分方程一般可写为：第6页共18页(1-8)()()00nmijijaytbft设是时接入的，则其零状态响应的象函数为()ft0(1-9)()zsBYFsA式中为激励的象函数，、分别为()Fs()ft()(1-10)0()niimjjasBb它们很容易根据微分方程写出。系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比称为系统函数，用表示，即()zsY()Fs()Hs(1-11)()zsHA由描述系统的微分方程容易写出该系统的系统函数，反之亦然。由式(1-11)()H以及式(1-10)可见，系统函数只与描述系统的微分方程系数、有关，即只与系统的结构、()siajb元件参数等有关，而与外界因素(激励、初始状态等)无关。第7页共18页2利用simulink传递函数仿真模型求解LTI连续系统数值解的思路2.1时域电路系统映射到复频域（S域）的方法首先列出三种元件（R、L、C）的时域和S域的关系如表2-1：表2-1电路元件的S域模型电阻元件电感元件电容元件基本关系utRitditutLdutitCS域串联形式UsRI0LUsIi01CuUsIsS域并联形式1sURI01LisUsI0CsUsuI搭建时域电路系统：一个时域二阶电路，电容电感初始值为零7。图2.2时域二阶RLC串联电路根据上述表中的S域模型,将时域电路变成S域电路并进行分析求解：sL图2.3S域电路模型根据KVL定律及元件电流关系的复频域模型，可求得复频域代数方程为：010cLuRIsIiIsUsC代入电感与电容的初始值代数方程为：第8页共18页1RIsLIIsUC系统函数为:()Hs2.2创建simulink传递函数和状态空间仿真模型文件的思路运行Matlab2012a,点击HomeSimulinkLibrary或在提示符后运行simulink，进入simulink环境，点击simulinklibraryBrowser上的File，再选择NewModel进入模型搭建编辑环境。分别从simulinklibrary中的Sources,Continuous,Sinks各目录中找出脉冲方波信源，传递函数，状态空间模型，输出模块等，并拖入模型文件编辑窗口。用信号流线连接各模型建立仿真模型。点击编辑窗FileSave,给文件命名xxx.mdl并保存模型文件。需要输出到内存的数据都需要将其送入一个专门的Out模块，所有输出数据按Out口号被组织到输出数组变量中8。设置系统结构各模块参数:a.信号源的设置信号源的脉冲类型、幅度、周期、高低电平和相位根据具体要求具体设置；周期最好在程序中设置，根据输入信号的通频带设置输入信号周期，以便把通过通频带的有用信号全部输出。b.传递函数和状态空间模型的设置打开传递函数模块，根据系统函数分子分母多项式中变量S各幂次的系数，幂次由高到低排列来设置模块中的分子系数和分母系数，一般把分子分母系数定义成符号变量，传递函数不能设置初始值所以只能求零状态响应；打开状态空间模型，运用程序中系统函数转换成状态空间的矩阵系数，设置所得矩阵系数为符号变量到模块中，然后设置初值也为符号变量。运行仿真前，要在Matlab命令窗口提示符后或程序中为符号变量赋数值。点击模型文件窗口的simulationModelconfigurationparameters，选择solver项，设置solver中的：仿真时间段tf，采样周期Ts，步长类型(定步长Fix-step)，解算器类型(ode型)。点击模型文件窗口的SimulationModelconfigurationparameters，选择Datainput/output项，设置数据选项：在Savetoworkspace下面的Time,States,Output框上点击打钩，并将后面的变量名改为简单变量名t,x,y,系统必定输出状态变量数据到程序所定义的内存数组中。Format选为Array。取消Limitdatapointstolast1000前面的钩，取消对话框下面各处的钩。取消显示模块中Limitdatatolast1000前的钩。每当模型文件发生变化时，都是应该及时保存其变化。模型文件扩展名保存为mdl。第9页共18页3求连续系统simulink传递函数建模分析方法程序设计的思路3.1程序设计的思路与技巧(1)设计程序前，以防产生不必要的干扰，首先清理磁盘和界面，关闭所有窗口，然后设计程序。(2)系统参数的描述：根据所知的系统函数，其函数分子分母系数用符号变量代替，把符号变量按设置要求设置到模块中，因为有时连续系统系数比较复杂，不能总是方便的设置到仿真模块中，所以要在程序中设置个符号变量代替所有系数。这样，当函数系数变化时，我们就不用重新打开仿真模块另行设置，只要在程序中变换就可以了。(3)确定采样周期及研究时区：采样的周期和研究时区要在输入信号频带范围内，确保采取的信号为有效的，且要满足采样周期的个数为整数。采样的周期和研究时区参数在仿真模型中都设置为变量名，然后在程序中赋值。这样当输入信号的频带变化时，我们直接可以在程序中另行设置采样周期和研究时区，方便快捷。(4)运用程序要调用模块文件语句求解连续系统的数值解：语句t,x,y=sim(模型文件主名,0,tf)，t为时间变量,x为状态变量和y为输出变量,0,tf为仿真时区。传递函数只能求解零状态响应,所以求解系统零输入响应时要利用状态空间模型。在运行程序求解零输入响应和零状态响应时，调用的模型文件名不同，则变量的定义就要区分标明，例如零状态响应变量可以定义分t1,x1,y1，零输入响应变量可定义为t2,x2,y2。输出的变量要确保是个值，所以计算时要把有的变量转置，然后存在二维数组中。(5)提取输出信号数值解：所有的输出信号都赋值到变量y中，在模型中，我们也可以在输入模块引出out1模块，运用程序画出输入信号的频谱图，根据系统幅频特性确定有用信号的频带。(6)输出信号的表示：调用plot函数画连续系统波形图，画出来为连续的折线图；调用fft函数把输出变量进行频谱分析，调用stem函数画频谱图，频谱图为离散杆状图，这样更能分析出连续系统信号随频率变化的幅度特性。这种程序的设计体现了其可读性，调试方便性和良好的通用性。运行程序时，点击simulink模型文件编辑窗口上的“三角”，运行模型文件对应程序代码。3.2关键语句分析(1)在程序中给元器件直接赋值，根据系统函数定义分子分母系数变量R1=4;L1=0.5;c1=0.05;L2=1;R2=60;a=(L1*R2+L2*R1+L1)/(L1*L2);b=(R1*c1+L2+c1*R1*R2)/(c1*L1*L2);d=(1+R2)/(L1*L2*c1);k=R2/(L1*L2*c1);(2)调用传递函数分子分母系数得出系统函数num=k;den=1abd;mytf=tf(num,den);(3)w为角频率采样数据，频率空间离散化采样w=(0:0.01:5)*2*pi;(4)对得到的系统函数进行维数重构H=reshape(freqresp(mytf,w),1,length(w);(5)以w角频率为横轴，系统函数的模值为纵轴绘制系统幅频特性图plot(w,abs(H);xlabel(w/(rad/sec);ylabel(系统幅频特性:H(w);(6)确定系统时间段，规定系统的上线T=4;Ts=T/100;fs=1/Ts;第10页共18页tf=5*T-Ts;(7)调用系统模型文件，仿真求解系统t,x,y=sim(yf301,0,tf);(8)调用tf2ss函数把传递函数转换成状态空间得出其矩阵系数，在程序中对状态空间模型赋初始值A,B,C,D=tf2ss(num,den);p=2;q=0;r=0;(9)把幅度值AY中的最大值放到Am中，存储大于等于th*Am的AY值于cr1中得出新的幅度值AY1，频率F1.Am=max(AY);th=0.01;cr1=find(AY=th*Am);AY1=AY(cr1);F1=F(cr1);(10)调用for循环语句，在长度为Ln的变量中，分别把变量代入下式中得到重构的yzs2(j)forj=1:Lnyzs2(j)=cos(2*pi*t(j)*F1+ph1)*AY1;end(11)subplot(所画图总行数、每行列数、本图所处行数);plot(折线图)/stem（杆状图）(时间,所求变量,-（线图）/.(点图);xlabel(所求变量横轴单位);ylabel(所求信号:定义名);subplot(511);plot(t,in,.);xlabel(t/sec);ylabel(输入信号:in(t);subplot(512);stem(F,AIN,.);xlabel(f/Hz);ylabel(输入信号:A(f);4程序应用实例电阻、电感及电容是电路的基本元件，在交流电或电子技术中，常需要利用电阻、电感及电容元件组成不同的电路，用来改变输入正弦信号和输出正弦信号之间的相位差，可以构成各种振荡、选频电路、滤波器等。具有电阻电感电容的无源二端网络RLC三阶时域电路，其中：R1=4，L1=0.5H,R2=60，L2=1H,C1=0.05F。现已知电压为输入，电压为输出9。1()ut2()ut图4.1RLC时域电路时域电路映射到S域：第11页共18页图4.2RLC复频域电路4.1S域电路系统函数和连续系统数值解的思路a.若电容电感初始值为零，则S域电路为图4.3所示求系统函数图4.3RLC复频域电路如图4.3所示，由复频域电路图建立复频域代数方程:11OCsUUsLRC其等效阻抗：01()2sZsL输出象函数：20()2OCRUsUs12OCsLssR1122sUssLLCCR最后的输出象函数整理得：213211212LUsUsRLRCLRssC由输出象函数得系统函数：32112121LHsLLss代入电阻、电感、电容的值得：第12页共18页32406958Hssb.若电容电压初始值不为零，则根据系统函数列时域微分方程，利用拉普拉斯变换，代入所给的初始值求解其连续系统的零输入响应、零状态响应和全响应。设输入为,初始值,1()ftut(0)cyup()Lyiq(0)Lyir根据传递函数列出时域电路微分方程：2122121RLRCRRyttttftLC令，1169a158b40dL，p=2,q=0,r=0；240RkLC把系数代入微分方程得：abd、ytatbytdtkft给方程两边同取拉普拉斯变换得：3220000sYyssYbsYydYskFabdak即得全响应的象函数为：232sabysyFsYbd323200akssssabsd由上式得复频域的零输入响应的象函数为：2320zibyyYad零状态响应的象函数为：32zskFsb代入系数值和初始值得零输入象函数为：3218056694ziYss零状态象函数为：32580zsF因为给定的输入为周期脉冲，脉冲宽度,所以其象函数为T21Tsse则零状态象函数为：第13页共18页232140695840TszseYs对上式取逆变换得全响应：-zizszizszizsytLTLTLTYytt1114.2simulink仿真模型及程序求解电路响应4.2.1传递函数模型传递函数模型中的传递模块不能设初始值所以只能求解零状态响应。首先创建仿真文件建立仿真模型,文件命名为yf301.mdl并保存模型文件。图4.4传递函数模块信号源的脉冲类型选择为Timebased,幅度为1,周期为T，程序中给出周期值，高低电平各占50%，相位0。图4.5传递函数模块幅度设置第14页共18页打开传递函数模块，设置参数：分子系数k和分母系数1abd分别是分子、分母多项式中变量s各幂次的系数，幂次由高到低的顺序排列。运行仿真前，要在Matlab命令窗口提示符后或程序中为符号变量a,b,d,k赋数值。图4.6传递函数模块参数设置点击模型文件窗口的SimulationModelconfigurationparameters，选择solver项，设置solver中的：仿真时间段tf，采样周期Ts步长类型(定步长Fix-step)，解算器类型(ode型)。图4.7传递函数参数设置点击模型文件窗口的SimulationModelconfigurationparameters，选择Datainput/output项，设置数据选项：在Savetoworkspace下面的Time,States,Output框上点击打钩，并将后面的变量名改第15页共18页为简单变量名t,x,y,系统必定输出状态变量数据到内存数组yzs中。Format选为Array。取消Limitdatapointstolast1000前面的钩，取消对话框下面各处的钩。取消显示模块中Limitdatatolast1000前的钩。每当模型文件发生变化时，都是应该及时保存其变化，模型文件扩展名为mdl。图4.8传递函数参数设置4.2.2状态空间模型用状态空间模型求解系统零输入响应创建仿真文件建立仿真模型，文件命名为yf302.mdl并保存模型文件图4.9状态空间模型求连续系统的零输入响应时，信号源的脉冲类型选择为Timebased,幅度为0，周期为T，高低第16页共18页电平各占50%，相位为0。图4.10状态空间模块幅度设置打开状态空间模块，设置参数：矩阵系数为A、B、C、D，初始状态设置为符号变量p、q、r，运行仿真前，要在Matlab命令窗口提示符后或程序中为符号变量p、q、r赋数值。图4.11状态空间模块参数设置点击模型文件窗口的SimulationModelconfigurationparameters，选择solver项，设置solver中的：仿真时间段tf，采样周期Ts步长类型(定步长Fix-step)，解算器类型(ode型)。第17页共18页图4.12状态空间模型参数设置点击模型文件窗口的SimulationModelconfigurationparameters，选择Datainput/output项，设置数据选项：在Savetoworkspace下面的Time,States,Output框上点击打钩，并将后面的变量名改为t2,x2,y2,系统的输出变量数据存到yzi数组中,系统的输出状态变量数据存到内存数组中。Format选为Array。取消Limitdatapointstolast1000前面的钩，取消对话框下面各处的钩。取消显示模块中Limitdatatolast1000前的钩。每当模型文件发生变化时，都是应该及时保存其变化。图4.13状态空间模型参数设置执行程序时要调用模型文件，模型文件的语句t2,x2,y2=sim(模型文件主名,0,tf),点击simulink模型文件编辑窗口上的“三角”，运行模型文件对应程序代码，求解系统零输入响应。第18页共18页4.3程序运用实例展示程序见附录；运行程序后响应图形：图4.14系统幅频特性第19页共18页图4.15系统输入与输出响应第20页共18页图4.16输入与输出信号波形分析：根据图4.3.1系统幅频特性波形，可得知系统的频谱带宽大约为5rad/sec的低通滤波器，推出频率约为0.84HZ,系统周期为1.2s。程序中周期取4s，则根据系统幅频波形它的一倍频、二倍频、三倍频在通频带内。采用周期为0.04s,采取5个周期，如图4.3.2、4.3.3所示的输出和输入波形都复合5个周期。由图4.3.2看出输入信号in(t)的频谱分析幅度A(f)的直流分量为0.5，一次谐波约0.7，三次谐波约0.4，之后逐渐衰减，到频率为约2.1HZ时约为零。时域零状态响应yzs(t)：由于RLC电路的振荡特性，信号开始上升时有点过冲，下降时也有点，之后处于平稳。基本与输入周期脉冲波形相似。重构的零状态信号选取的是幅度某倍的值，程序中为0.05倍，重构的信号波形和原图基本相似，若倍数调大，约为0.35倍，则输出的重构波形类似于正弦波。零状态响应频谱分析：幅度特性直流分量约0.5，基波约0.7，三次谐波为0.1，在频率约1.2HZ之后幅度特性为零。第21页共18页5结语仿真技术最初主要用于航空航天、原子反应堆等价格昂贵、周期长、危险性大、实际系统试验难以实现的少数领域，后来逐步发展到电力，石油，化工冶金，机械等一些主要工业部门，并进一步扩大到社会系统，经济系统，交通运输系统，生态系统等一些非工程系统领域。可以说，现代仿真技术和综合性仿真系统与程序的结合已经成为任何复杂系统，特别是高技术产业不可缺少的分析、研究、设计、评价、决策和训练的重要手段。其应用范围在不断扩大，应用效益也日益显著10。目前，连续系统simulink传递函数模型与程序设计对求解高阶电路微分方程的数值解有很大帮助，满足了用户更大的需求。首先它避免了对时域电路列复杂的微分方程，方程都难以列出更不说解方程，所以把时域电路映射到s域得出其传递函数，传递函数和编写程序相结合极大的帮助了我们；但是传递函数模型不能设入初值只能求解零状态响应，不能求解零输入响应，求零输入响应时还要转换成状态空间，这是它的局限性。历时将近两个月的时间，本设计在龙姝明老师的悉心指导和严格要求下已完成，从课题选择、方案论证到具体编程与调试，对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进，这无不凝聚着龙老师的心血和汗水。在四年的本科学习和生活期间，也始终感受着老师的精心指导和无私的关怀，我受益匪浅。在此向龙姝明老师表示深深的感谢和崇高的敬意。在这里，我们即将步入社会，希望在社会生中，我们能谨记老师们对我们的谆谆教导，使以后的生活更加出色多彩。在此向陕西理工学院，物理与电信工程学院的全体老师表示衷心的谢意。感谢他们四年来的辛勤栽培。第22页共18页参考文献1吴大正.信号与系统M.北京:高等教育出版社,2005:171-255.2张礼涛.拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用J.高职教育.2013(06):299-300.3张守平,吴波英.浅谈拉普拉斯变换的应用J.科技资讯.2010(26):133.4陈传峰.积分变换在解微分方程中的应用J.高等函数学报(自然科学报),2012(03):40-41.5LIANGZhiqiang,XIEBosun,.Ahead-relatedtransferfunctionmodelforfastsynthesizingmultiplevirtualsoundsourcesJ.ChineseJournalofAcoustics.2013(02):267-280.6陈光红.信号与系统中复频域法分析求解电路响应探讨J.电脑知识与技术.2013(25):5746-5748.7繆小燕,吴卫华.RLC二阶电路的建模分析与研究J.苏州市职业大学学报,2010(02):78-80.8邵佳,董辰辉.MATLAB/simulink通信系统建模仿真与实例精讲M.北京:电子工业出版社,2009.69XuCheng-Lin.Number-phasequantizationofamesoscopicRLCcircuitJ.ChinesePhysicsB.2012(02):1-3.