2015军队文职考试数学2考试大纲总结

1 1 初等函数 初等函数 基本初等函数 基本初等函数 我们最常用的有五种基本初等函数 分别是 指数函数 对数函 数 幂函数 三角函数及反三角函数 下面我们用表格来把它们总结一下 函 数 名 称 函数的记号函数的图形函数的性质 指指 数数 函函 数数 a 不论 x 为何值 y 总为正数 b 当 x 0 时 y 1 对对 数数 函函 数数 a 其图形总位于 y 轴右侧 并 过 1 0 点 b 当 a 1 时 在区间 0 1 的 值为负 在区间 的值为 正 在定义域内单调增 幂幂 函函 数数 a 为任意实数 这里只画出部分函数图形 的一部分 令 a m n a 当 m 为偶数 n 为奇数时 y 是偶函数 b 当 m n 都是奇数时 y 是奇 函数 c 当 m 奇 n 偶时 y 在 0 无意义 三三 角角 函函 数数 正弦函数 这里只写出了正弦函数 a 正弦函数是以 2 为周期的 周期函数 b 正弦函数是奇函数且 反反 三三 角角 函函 数数 反正弦函数 这里只写出了反正弦函数 a 由于此函数为多值函数 因 此我们此函数值限制在 2 2 上 并称其为反正弦 函数的主值 初等函数 初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所 产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数 例题 例题 是初等函数 2 极限的性质 唯一性 有界性 局部保号性 3 3 函数极限的运算规则函数极限的运算规则 前面已经学习了数列极限的运算规则 我们知道数列可作为一类特殊的函数 故函数 极限的运算规则与数列极限的运算规则相似 函数极限的运算规则 函数极限的运算规则 若已知 x x0 或 x 时 则 则 推论 推论 在求函数的极限时 利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求 极限 例题 例题 求 解答 解答 例题 例题 求 此题如果像上题那样求解 则会发现此函数的极限不存在 我们通过观察可以发现此分 式的分子和分母都没有极限 像这种情况怎么办呢 下面我们把它解出来 解答 解答 4 4 函数极限的存在准则函数极限的存在准则 准则一 准则一 对于点 x0的某一邻域内的一切 x x0点本身可以除外 或绝对值大于某一正数 的一切 x 有 且 那末存在 且等于 A 注 注 此准则也就是夹逼准则 准则二 准则二 单调有界的函数必有极限 无穷小量的比较 定义 定义 设 都是时的无穷小量 且 在 x0的去心领域内不为零 a 如果 则称 是 的高阶无穷小或 是 的低阶无穷小 b 如果 则称 和 是同阶无穷小 c 如果 则称 和 是等价无穷小 记作 与 等价 5 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续 右端点左连续 对于闭区间上 的连续函数有几条重要的性质 下面我们来学习一下 最大值最小值定理 最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 在此不作证明 介值定理介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值 即 在 之间 则在 a b 间一定有一个 使 推论 推论 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值 6 6 等价无穷小量和两个重要的极限求极限等价无穷小量和两个重要的极限求极限 设 且存在 则 注 注 这个性质表明 求两个无穷小之比的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代 替 因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题 例题 例题 1 求 解答 解答 当 x 0 时 sinax ax tanbx bx 故 例题 例题 2 求 解答 解答 注 两个重要的极限两个重要的极限 一 注 注 其中 e 为无理数 它的值为 e 2 718281828459045 二 注 注 在此我们对这两个重要极限不加以证明 第二章 一元函数微分学 导数的四则运算法则 函数的和 差求导法则 函数和 差 积 商的求导法则函数和 差 积 商的微分法则 函数的和差求导法则函数的和差求导法则 法则 法则 两个可导函数的和 差 的导数等于这两个函数的导数的和 差 用公式可写为 其中 u v 为可导函数 例题例题 已知 求 解答 解答 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则常数与函数的积的求导法则 法则 法则 在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时 常数因子可以提到求导记号外 面去 用公式可写成 例题 例题 已知 求 解答 解答 函数的积的求导法则函数的积的求导法则 法则 法则 两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子 加上第一个因 子乘第二个因子的导数 用公式可写成 例题 例题 已知 求 解答 解答 注 注 若是三个函数相乘 则先把其中的两个看成一项 函数的商的求导法则函数的商的求导法则 法则 法则 两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子 导数的乘积 在除以分母导数的平方 用公式可写成 例题 例题 已知 求 解答 解答 复合函数的求导法则 规则 规则 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间 变量对自变量的导数 用公式表示为 其中 u 为中间变量 例题 例题 已知 求 解答 解答 基本初等函数的导数公式 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为 导数公式微分公式 用洛必达法则求未定式极限 当 x a 或 x 时 函数 都趋于零或无穷大 在点 a 的某个去心 邻域内 或当 x N 时 与都存在 0 且存在 则 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法 就是所谓的洛必达法则 例题 例题 求 解答 解答 此题为未定式中的型求解问题 利用罗彼塔法则来求解 另外 若遇到 等型 通常是转化为 型 后 在利用法则求解 用导数判断函数单调性 判定方法 判定方法 设函数在 a b 上连续 在 a b 内可导 a 如果在 a b 内 0 那末函数在 a b 上单调增加 b 如果在 a b 内 0 那末函数在 a b 上单调减少 例题 例题 确定函数的增减区间 解答 解答 容易确定此函数的定义域为 其导数为 因 此可以判出 当 x 0 时 0 故它的单调增区间为 0 当 x 0 时 0 故它的单调减区间为 0 求函数极值 函数极值的定义函数极值的定义 设函数在区间 a b 内有定义 x0是 a b 内一点 若存在着 x0点的一个邻域 对于这个邻域内任何点 x x0点除外 均成立 则说是函数的一个极大值极大值 若存在着 x0点的一个邻域 对于这个邻域内任何点 x x0点除外 均成立 则说是函数的一个极小值极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 用方法一求极值的一般步骤是 a 求 b 求的全部的解 驻点 c 判断在驻点两侧的变化规律 即可判断出函数的极值 例题 求例题 求极值点极值点 解答 先求导数解答 先求导数 再求出驻点 当再求出驻点 当时 时 x 2x 2 1 1 4 5 4 5 判定函数的极值 如下图所示判定函数的极值 如下图所示 函数最大值和最小值的求法及其应用 函数的极值是局部的 要求在 a b 上的最大值 最小值时 可求出开区间 a b 内 全部的极值点 加上端点的值 从中取得最大值 最小值即为所求 例题 例题 求函数 在区间 3 3 2 的最大值 最小值 解答 解答 在此区间处处可导 先来求函数的极值 故 x 1 再来比较端点与极值点的函数值 取出最大值与最小值即为所求 因为 故函数的最大值为 函数的最小值为 求平面曲线的切线方程和法线方程 分段函数的导数 隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数 用导数判断函数图形的凹凸性 定义 定义 对区间 I 的曲线作切线 如果曲线弧在所有切线的下面 则称曲线 在区间 I 下凹下凹 如果曲线在切线的上面 称曲线在区间 I 上凹上凹 曲线凹向的判定定理曲线凹向的判定定理 定理一 定理一 设函数在区间 a b 上可导 它对应曲线是向上凹 或向下凹 的 充分必要条件是 导数在区间 a b 上是单调增 或单调减 定理二 定理二 设函数在区间 a b 上可导 并且具有一阶导数和二阶导数 那 末 若在 a b 内 0 则在 a b 对应的曲线是下凹的 若在 a b 内 0 则在 a b 对应的曲线是上凹的 例题 例题 判断函数的凹向 解答 解答 我们根据定理二来判定 因为 所以在函数的定义域 0 内 0 故函数所对应的曲线时下凹的 求函数图形的拐点 拐点的定义拐点的定义 连续函数上 上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点 拐定的判定方法拐定的判定方法 如果在区间 a b 内具有二阶导数 我们可按下列步骤来 判定的拐点 1 求 2 令 0 解出此方程在区间 a b 内实根 3 对于 2 中解出的每一个实根 x0 检查在 x0左 右两侧邻近的符号 若 符号相反 则此点是拐点 若相同 则不是拐点 例题 例题 求曲线的拐点 解答 解答 由 令 0 得 x 0 2 3 判断在 0 2 3 左 右两侧邻近的符号 可知此两点皆是曲线的拐点 以及水平和铅直渐近线 第三章 一元函数积分学 不定积分的基本公式 1 Ckxkdx是常数 k 2 n x 1 1 n x dx n C 1 n 3 Cx x dx ln 4 Cx x dx arctan 1 2 5 Cx x dx arcsin 1 2 6 Cxxdxsincos 7 Cxxdxcossin 8 Cxxdx x dx tansec cos 2 2 9 Cxxdx x dx cotcsc sin 2 2 10 Cxxdxxsectansec 11 Cxxdxxcsccotcsc 12 Cedxe xx 13 C a a dxa x x ln 14 Cxxdx cos lntan 15 Cxxdx sin lncot 16 Cxxxdx tansec lnsec 17 Cxxxdx cotcsc lncsc 18 C a x axa dx arctan 1 22 19 C ax ax aax dx ln 2 1 22 C xa xa axa dx ln 2 1 22 20 C a x dx xa arcsin 1 22 21 Caxx ax dx ln 22 22 22 Cbax a dx bax ln 11 23 Cxdx x 2 1 24 C x dx x 11 2 不定积分和定积分的性质 定积分中值定理 不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法 牛顿 莱布尼兹公式 求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 第四章 多元函数微分学 多元函数偏导数和全微分的计算方法 多元复合函数一阶和二阶偏导数的求法 多元函数极值存在的必要条件 求多元函数的偏导数 空间曲线的切线和法平面及曲线的切平面和法线的方