高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算学案 文.doc

41平面向量的概念及线性运算 知识梳理1向量的有关概念2向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.特别提醒：(1)限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性(2)零向量与任何向量共线(3)平行向量与起点无关(4)若存在非零实数，使得或或，则a，b，c三点共线 诊断自测1概念思辨(1)abc中，d是bc中点，e是ad的中点，则()()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修a4p78a组t5)设d为abc所在平面内一点，3，则()a. b.c. d.答案a解析().故选a.(2)(必修a4p92a组t12)已知abcd的对角线ac和bd相交于o，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.3小题热身(1)(2017周口模拟)设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()a0 b1 c2 d3答案d解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选d.(2)设e1，e2是两个不共线的向量，且ae1e2与be2e1共线，则实数_.答案解析ae1e2与be2e1共线，存在实数t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，e2e1te1te2，t1，t， 即.题型1平面向量的基本概念 判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；(3)若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|b|且ab.根据向量的相关概念判定解(1)不正确(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同(3)正确，|且abdc.又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd是平行四边形反之，若四边形abcd是平行四边形，则ab綊dc，且与方向相同因此.(4)不正确，当b0时，a与c可以不共线(5)不正确，当ab，但方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab.方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即平行向量，它们均与起点无关相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量5向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小冲关针对训练下列4个命题：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)，为实数，若ab，则a与b共线；(4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为_答案(1)(2)(3)解析(1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由零向量方向性质可得0与任一向量平行(3)不正确当0时，a与b可能不共线(4)正确题型2平面向量的线性运算(2017长沙模拟)若o，e，f是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()a. b.c. d.向量加、减法定义答案b解析利用向量加、减法的运算性质易知，选b.如图所示，在正方形abcd中，点e是dc的中点，点f是bc的一个三等分点，那么等于()a.b.c.d.综合利用向量的加法、减法和数乘运算答案d解析在cef中，有.因为点e是dc的中点，所以.因为点f为bc的一个三等分点，所以.所以.故选d.条件探究若典例1中加入，则如何用，表示.解如图，()方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果冲关针对训练1(2017潍坊模拟)在abc中，p，q分别是ab，bc的三等分点，且apab，bqbc.若a，b，则()a.ab babc.ab dab答案a解析()ab.故选a.2(2018昆明模拟)在abc中，ab2，bc3，abc60，ad为bc边上的高，o为ad的中点，若，则等于()a1 b. c. d.答案d解析，2，即.故.故选d.题型3共线向量定理及其应用角度1解决三点共线问题 已知o，a，b是不共线的三点，且mn(m，nr)(1)若mn1，求证：a，p，b三点共线；(2)若a，p，b三点共线，求证：mn1.本题用转化法、向量问题实数化证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又b与b有公共点b，a，p，b三点共线(2)若a，p，b三点共线，存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.o，a，b不共线，不共线，mn1.角度2利用共线求参数的取值(2018南京模拟)已知如图，平行四边形abcd中，e，f分别是bc，cd的中点，连接ae，bf相交于p，连接dp，并延长交ab的延长线于点g，若x，y，z，则x_，y_，z_.本题需作辅助线答案解析如图，过e作eq平行于ab，交bf于点q，因为e为bc的中点，所以eq平行于cd，且eqcf，又因为点f为cd的中点，所以，所以，所以x.因为点q为fb的中点，所以，所以y.因为，所以，所以，即z.所以x，y，z.角度3共线定理与三角形的面积(2017沈阳一模)在abc中，o为其内部一点，且满足30，则aob和aoc的面积比是()a34 b32 c11 d13本题采用并项法答案d解析根据题意，如图，在abc中，m为ac的中点，则2，又由30，则有23；从而可得b，o，m三点共线，且2om3bo；由2om3bo可得，saobsbocsabc，又由saobsboc，则saobsabc，则.故选d.方法技巧1证明向量共线，对于向量a，b(b0)，若存在实数，使ab，则a与b共线见角度1典例2证明三点共线，若存在实数，使，则a，b，c三点共线见角度1典例3利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决冲关针对训练1已知点d为abc所在平面上一点，且满足aac，若acd的面积为1，则abd的面积为()a1 b2 c3 d4答案d解析由aac，得5a4a，所以aa4(aa)，即b4d.所以点d在边bc上，且|b|4|d|，所以sabd4sacd4.2(2017大观区校级期末)设d为abc的边ab的中点，p为abc内一点，且满足，则()a. b. c. d.答案c解析如图，db，adpabc，d是ab的中点，adab.故选c.1(2017郴州三模)在abc中，m为边bc上任意一点，n为am中点，则的值为()a. b. c. d1答案a解析设t，则()t()，.故选a.2(2018淮南模拟)在abc中，点d在线段bc的延长线上，且3，点o在线段cd上(与点c、d不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()a. b.c. d.答案d解析设cy，则yy()y(1y)，3，点o在线段cd上(与点c、d不重合)，y，x(1x)，x.故选d.3(2018湖北模拟)若m为abc内一点，则abm和abc的面积之比为()a. b. c. d.答案a解析设，以ad，ae为邻边作平行四边形adme，延长em交bc与f，连接bm.则efab，.故选a.4(2014全国卷)已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析由可知o为bc的中点，即bc为圆o的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以bac90，所以与的夹角为90. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018武汉调研)如图所示的方格纸中有定点o，p，q，e，f，g，h，则()a.b.c.d.答案d解析在方格纸上作出，如图所示，则容易看出.故选d.2已知a，b，c三点不共线，且点o满足0，则下列结论正确的是()a. b.c. d.答案d解析0，o为abc的重心，()()()(2).故选d.3(2017衡水中学三调)在abc中，p是直线bn上的一点，且满足m，则实数m的值为()a4 b1 c1 d4答案b解析根据题意设n(nr)，则nn()n(1n)，又m，解得故选b.4(2018石家庄一模)a，b，c是圆o上不同的三点，线段co与线段ab交于点d(点o与点d不重合)，若(，r)，则的取值范围是()a(0,1) b(1，) c(1， d(1,0)答案b解析设m，则m1，因为，所以m，即，又知a，b，d三点共线，所以1，即m，所以1.故选b.5(2018广东模拟)已知点o，a，b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且，则()a点p在线段ab上b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上答案b解析()，即，所以点p在线段ab的反向延长线上故选b.6(2017广东七校联考)已知向量i，j不共线，且imj，nij，m1，若a，b，d三点共线，则实数m，n应满足的条件是()amn1 bmn1cmn1 dmn1答案c解析因为a，b，d三点共线，所以，存在非零实数，使得，即imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因为i与j不共线，所以则mn1.故选c.7下列命题中是真命题的是()对任意两向量a，b，均有：|a|b|a|b|；对任意两向量a，b，ab与ba是相反向量；在abc中，0；在四边形abcd中，()()0；.a b c d答案d解析假命题当b0时，|a|b|a|b|.不成立真命题(ab)(ba)a(b)b(a)a(a)b(b)(aa)(bb)0，ab与ba是相反向量成立真命题0，成立假命题，()()0.该命题不成立假命题，该命题不成立故选d.8(2018泉州模拟)已知d，e，f分别为abc的边bc，ca，ab的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确的是()a b c d答案d解析由a，b，则ab.ab，()(ab)ab.所以baabba0，所以命题正确故选d.9(2018兰州模拟)若点m是abc所在平面内的一点，且满足53，则abm与abc的面积比为()a. b. c. d.答案c解析如图，连接am，bm，延长ac到d使ad3ac，延长am到e使ae5am，因为53，所以53.连接be，则四边形abed是平行四边形(向量ab和向量de平行且模相等)由于3，所以sabcsabd.因为，所以sambsabe，在平行四边形abed中，sabdsabesabed，故.故选c.10若o为abc所在平面内一点，且230，则sobcsaocsabo()a321 b213 c132 d123答案d解析如图所示，延长ob到d，使得bdob，延长oc到e，使得ce2oc.连接ad，de，ae.230，点o为ade的重心sobcsodesadesade；saocsoaesadesade；sabosoadsadesade.sobcsaocsabo123.故选d.二、填空题11(2018广西模拟)如图所示，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析注意到n，p，b三点共线，因此有mm，从而m1m.12(2017泉州四校联考)设e1，e2是不共线的向量，若e1e2，2e1e2，3e1e2，且a，b，d三点共线，则的值为_答案2解析2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，又a，b，d三点共线，则与共线，存在r使得，即e1e2(e12e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得2.13(2018河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，r)，则的值为_答案6解析如图，作平行四边形ob1ca1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以b1oc90.在rtob1c中，ocb130，|oc|2，所以|ob1|2，|b1c|4，所以|oa1|b1c|4，所以42，所以4，2，所以6.14(2018沈阳模拟)如图所示，在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab，ac于不同的两点m，n，若m，n，则mn的值为_答案2解析连接ao，o是bc的中点，()又m，n，.m，o，n三点共线，1.mn2.三、解答题15设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，