【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.11球课件.ppt

第九章 直线 平面 简单几何体 9 1球 1 与定点的距离 的点的集合 叫做球体 简称球 定点叫做球心 定长叫做球的半径 与定点距离 的点的集合叫做球面 2 用一个平面截一个球 所得的截面是 且球心与截面圆心的连线 截面 3 设球心到截面的距离为d 球半径为r 截面圆半径为r 则三者的关系是 等于或小于定长 等于定长 一个圆 垂直于 r2 r2 d2 4 球面被 的平面截得的圆叫做大圆 被 的平面截得的圆叫做小圆 5 经过球面上两点的大圆在这两点间的 的长度 叫做这两个点的球面距离 6 过球面上一点从北极到南极的半个大圆 与子午面所成的 的度数就是这个点的经度 过球面上一点的球半径与 所成的角的度数就是这个点的纬度 经过球心 不经过球心 一段劣弧 二面角 赤道面 7 半径为r的球的体积是v 表面积是s 盘点指南 等于或小于定长 等于定长 一个圆 垂直于 r2 r2 d2 经过球心 不经过球心 一段劣弧 二面角 赤道面 11 12 11 12 长方体的一个顶点上三条棱长为3 4 5 且它的八个顶点都在一个球面上 这个球的表面积是 a b c d 解 设球的半径为r 则 2r 2 32 42 52 50 所以r 所以s球 4 r2 50 c 已知过球面上a b c三点的截面和球心的距离等于球半径的一半 且ab bc ca 2 则球面面积是 a b c d 解 因为ab bc ca 2 所以 abc的外接圆半径为r 设球的半径为r 则所以 所以 d 球面上有3个点 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16 经过这3个点的小圆的周长为4 那么这个球的半径为 a b c 2d 解法1 设球面上的3个点分别为a b c 球心为o 过o作oo 平面abc o 是垂足 则o 是 abc的中心 则o a r 2 又因为 aoc oa oc知oa ac 2o a 其次 oa是rt oo a的斜边 b 故oa o a 所以o a oa 2o a 因为oa r 所以2 r 4 因此 排除a c d 故选b 解法2 设球面上的3个点分别为a b c 球心为o 在正三角形abc中 abc的外接圆半径r 2 应用正弦定理 得ab 2rsin60 因为 aob 所以侧面aob是正三角形 得球半径r oa ab 解法3 设球面上的3个点分别为a b c 球心为o 因为正三角形abc的外接圆半径r 2 故高ad r 3 d是bc的中点 在 obc中 bo co r boc 所以bc bo r bd bc r 在rt abd中 ab bc r 所以由ab2 bd2 ad2 得 解得r 1 球面上有三点a b c 其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 经过这三个点的小圆的周长为4 求这个球的表面积 解 设o为球心 球半径为r 经过a b c三点的小圆半径为r 题型1球的表面积的计算 由已知 2 r 4 所以r 2 又因为a b c中任意两点的球面距离都是大圆周长的 即 所以 aob aoc boc 又oa ob oc r 所以ab bc ac r 在 abc中 由正弦定理 得ab 2rsin60 所以r 所以s球 4 r2 48 点评 求球的表面积的关键是求球的半径 求半径时 一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段 截面圆的弦长 球的半径三者之间的关系 通过解三角形来求得 如图 a b c是表面积为48 的球面上三点 ab 2 bc 4 abc 60 o为球心 求直线oa与截面abc所成的角的大小 解 连结ac 设o在截面abc上的射影是o 则o 为截面三角形abc外接圆的圆心 连结ao 则 oao 为直线oa与截面abc所成的角 设球的半径为r 小圆的半径为r 因为球的表面积为48 所以r 在 abc中 由余弦定理 得ac2 ab2 bc2 2ab bc cos abc 4 16 16cos60 12由正弦定理 得 即 所以r 2 所以 故所求角的大小为arccos 2 设a b c为球面上三点 ac bc 6 ab 4 球心o到平面abc的距离等于球半径的一半 求这个球的体积 解 过球心o作oo1 平面abc 则点o1为过点a b c的截面圆的圆心 即o1是 abc的外心 连结co1 延长交ab于m点 题型2球的体积的计算 因为ac bc 所以m是ab的中点 且cm ab 设o1m x 因为o1a o1c 而 o1c cm o1m 所以 解得x 所以o1a 设球o的半径为r 由已知oo1 r2 oa r 在rt ao1o中 因为ao2 oo21 ao21 所以解得r 所以点评 球的体积是关于半径的函数 故求体积必须先求半径 涉及到截面问题时 一般是化球为圆 再解直角三角形可求得半径 球面上有三点a b c a和b及a和c之间的球面距离是大圆周长的 b和c之间的球面距离是大圆周长的 且球心到截面abc的距离是 求球的体积 解 设球心为o 由已知 易得 aob aoc boc 过o作od bc于d 连结ad 再过o作oe ad于e 则oe 平面abc于e 所以oe 因为oa ob oa oc 所以oa 平面boc 所以oa od 设oa r 则ab ac 2r bc r ad r od r 在rt aod中 由ad oe oa od 得oa r 1 所以 3 在地球北纬30 圈上有a b两点 点a在西经10 点b在东经110 设地球半径为r 求a b两点的球面距离 解 如图 设o为球心 c为北纬30 圈所在小圆的圆心 由已知 acb 120 aoc boc 60 oa ob r oc 平面abc 所以ac bc rsin60 题型3球面距离的分析与计算 在 acb中 所以ab r 在 aob中 所以 aob arccos 故a b两点的球面距离是rarccos 点评 一般地 求球面上两点a b间的球面距离的具体步骤是 计算线段ab 公共弦 的长 计算a b到球心o的张角 计算球的大圆上a b间的劣弧长 正三棱锥p abc内接于半径为r的球 其底面三顶点在同一个大圆上 某质点从点p出发沿球面运动 经过a b c三点后返回p点 求所经路程的最小值 解 设球心为o 据题意 o为正三角形abc的中心 且po 平面abc 所以 poa poc aob boc 因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点的最短路程 其中p与a p与c的球面距离是 a与b b与c的球面距离是 所以所求路程的最小值是 1 正三棱锥p abc的外接球半径为r 两侧棱的夹角为 求这个正三棱锥的侧棱长 解 如图 过点p作pd 平面abc 垂足为d 则d为 abc的中心 延长pd交球面于e 则pe为球的直径 连结ad ae 则pa ae ad pe 设 pad 则 aed 设正三棱锥p abc的侧棱长为a 由已知 从而又ad pacos acos 所以所以在rt pae中 pa pesin 故这个正三棱锥的侧棱长为 2 如图 ac是四面体abcd的外接球直径 bc是经过b c d三点的截面圆直径 球心o到截面bcd的距离等于球半径的 1 若 cbd 60 求异面直线ac和bd的夹角 2 若bd dc 2 求二面角b ac d的大小 解 1 过点c作ce db交球面于e 连结ae 则 ace为所求的角 因为 cbd 60 所以 bce 60 取bc的中点o 则o 为截面圆圆心 设球o的半径为r 由已知oo 在rt co o中所以bc r 因为be ce 所以ce bccos60 因为ac是球的直径 所以ae ec 在rt aec中 故异面直线ac和bd的夹角为arccos 2 过点d作df bc 垂足为f 因为oo df 所以df 平面abc 过点f作fh ac 垂足为h 连结dh 依据三垂线定理 有dh ac 所以 dhf为二面角b ac d的平面角 因为bd dc 2 bc r bd2 dc2 bc2 所以则dc r 所以bd dc r 因为df bc bd cd 所以因为ad cd dh ac 所以dh ac ad cd 而所以在rt dfh中 sin dhf 所以 dhf 60 故二面角b ac d的大小为60 3 一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面和侧面都相切 若平行于棱锥底面且与球相切的平面截棱锥 所得的截面是一个边长为b的正方形 求这个球的表面积 解 过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截面 如图设o为球心 o1 o2分别为截面和底面正方形的中心 球与侧面的一个切点为c 因为 aco ao1o bco bo2o 所以 aob 90 又oc ab 由射影定理 得oc2 ac bc 又ac ao1 bc bo2 所以oc2 所以s球 4 oc2 ab 1 球体与