参考文献-离散时间序列卷积和的求法

2772009年第07期，第42卷通信技术Vol.42，No.07,2009总第211期CommunicationsTechnologyNo.211,Totally离散时间序列卷积和的求法张正强，邢丽红（曲阜师范大学电气信息与自动化学院，山东日照276826）【摘要】卷积是“信号与系统”课程中的重要概念。连续卷积与有限长序列的卷积和在文献中给出了多种解法。文中系统介绍了求解一般离散时间信号卷积和的几种方法，包括解析法、列表法、利用卷积和性质求解及应用单位样值信号求解，并通过举例加以说明。最后，对各种解法进行了比较和讨论。【关键词】信号与系统；离散时间序列；卷积和【中图分类号】TN911.7【文献标识码】A【文章编号】1002-0802(2009)07-0277-02SeekingMethodsforConvolutionSumofDiscreteTimeSeriesZHANGZheng-qiang，XINGLi-hong(DepartmentofElectricalEngineeringandAutomation,QufuNormalUniversity,RizhaoShandong276826,China)【Abstract】Convolutionisanimportantconceptin“SignalsandSystems”course.Methodsforcalculatingcontinuousconvolutionandfinitelengthconvolutionaregiven,andseveralsolutionmethodstotheconvolutionsumofgeneraldiscretetimeseries,includinganalyticalmethod,tabulationmethod,methodsbydescribedinutilizingthepropertiesofconvolutionsumandapplyingunitsamplearedescribedindetailandillustratedbyexamples.Finally,comparisonsanddiscussionsoftheabovemethodsareprovided.【Keywords】“SignalsandSystems”;discretetimeseries;convolutionsum0引言卷积在通信技术和信号处理中起着重要的作用1-3，同时也是“信号与系统”课程时域分析的重要概念和有力的数学工具4-5。文献6对连续系统卷积的计算方法作了总结，文献7给出了有限长序列卷积和的四种计算方法。文献4介绍了离散时间序列卷积和的两种方法：图解法和对位相乘求和法。图解法包括反褶、平移、相乘、取和四个步骤，绘图过程非常麻烦。对位相乘求和法是在图解法的基础上发展而来的，不需要绘图，解法比较简捷。本文介绍求解一般离散时间序列卷积和的其他方法，并对各种解法进行讨论。1求解一般离散时间序列的卷积和（1）图解法。（2）对位相乘求和法。这两种方法在文献4中有详细介绍，这里不再重复。（3）解析法。若(),()xnhn均为因果序列，即()=()=00,xnhnn，则：0()*()()()()nmxnhnxmhnmun=。（1）证：由定义并注意到(),()xnhn均为因果序列得：-()*()()()mxnhnxmhnm=0()(),0,0,0nmxmhnmnn=。（2）即为所证。例1已知()(12)()nxnu=，()()hnun=，求()()*()ynxnhn=。解：当0n时，收稿日期：2008-10-21。基金项目：曲阜师范大学科研基金（XJ0626）。作者简介：张正强（1978-），男，讲师，主要研究方向为控制理论；邢丽红（1965-），女，副教授，主要研究方向为基础数学。278m0m10()*()=(12)()()(12)21(12),nmnnmxnhnumunm=+=即11()=21()()2nynun+。（3）（4）列表法。若(),()xnhn均为因果序列，由式（2）知，0,()0nyn=，故只需考虑0n的情况。当0n时，()()*()ynxnhn=的求和符号内两项的序号和为n，即：(0)(0)(0),(1)(0)(1)(1)(0),(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0),(3)(0)(3)(1)(2)(2)(1)+(3)(0),yxhyxhxhyxhxhxhyxhxhxhxh=+=+=+M于是可通过如下表1求卷积，把虚斜线相连的部分相加就可得到对应的序列值。表1列表法求卷积和x(0)x(1)x(2)x(3)Lh(0)h(1)h(2)h(3)Mx(0)h(0)x(1)h(0)x(2)h(0)x(3)h(0)x(0)h(1)x(1)h(1)x(2)h(1)x(3)h(1)x(0)h(2)x(1)h(2)x(2)h(2)x(3)h(2)x(0)h(3)x(1)h(3)x(2)h(3)x(3)h(3)LNNNLNNNLNNNLMNMNMNMM例2同例1。解：将()xn、()hn及乘积项排列如表2所示。由表可得：()0,0,(0)1,ynny=(1)1+12,(2)1+12+14,(3)1+12+14+18,yyy=M表2列表法举例（例2）x(0)x(1)x(2)x(3)Lx(n)h(n)1121418Lh(0)h(1)h(2)h(3)M1111M1121418112141811214181121418LNNNLNNNLNNNLMNMNMNMM例1与例2结果相同。比较例1、例2可看出，解析法容易写出卷积和的闭式表达式，而列表法却不能；对有限长序列，列表法简单易行。（5）利用卷积和的性质。与连续卷积类似，卷积和的代数运算服从交换律、结合律和分配律，序列()xn与单位样值信号（n）的卷积仍为()xn本身，与0-n（n）卷积相当于把()xn延迟0n。例3已知()2()(4)nhnunun=，()()(2)xnnn=，求()()*()ynxnhn=。解：由卷积性质知，2()=2()(4)*()(2)2()(4)*()2()(4)*(2)2()(4)2(2)(6)nnnnnynununnnununnununnunununun=。（4）（6）利用单位样值信号求解。由于任一离散信号()xn都可以表示为单位样值加权取和的形式()()()mxnxmnm=。（5）所以求卷积和时，可先把两离散序列分别展开成单位样值加权取和的形式，然后利用单位样值信号的卷积性质，就可方便地求出离散序列的卷积。例4已知()()()(4),hnxnunun=求卷积()()*()ynxnhn=。解：()()*()()(1)(2)(3)*()(1)(2)(3)=()(1)(2)(3)+(-1)(2)(3)(4)+(-2)(3)(4)(5)+(-3)(4)(5)(6)ynxnynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=+=()2(1)3(2)4(3)3(4)2(5)(6)nnnnn+。2讨论（1）一般来说，图解法计算步骤多，点数多，非常麻烦，容易出错，而其他五种方法相对比较简单，短短几分钟就可出结果。（2）考虑到在实际问题中遇到的经常是因果信号，因此这里针对两因果序列的卷积和给出了解析法和列表法。实际上，若两序列之一为因果序列，也可以从定义出发类似地得到简化的求解表达式。列表法可看作解析法的图示法，它对有限长序列特别简单易行。（3）在求解过程中，利用卷积和的性质可以使运算简化。事实上，方法（6）中已使用了卷积和的运算性质。（4）方法6）虽然计算比较简单，但表达式较长，因而适用于较短的时限序列。（5）方法（3）、（5）、（6）能写出卷积和表达式的闭式形式，而另外三种方法的闭式形式不易写出。（下转第281页）281据作为结果，同时CQ不变直接输出；当高16位不全为0时，就从高位起第一个不为0的位依次向低位取16位数据作为结果输出，同时CQ根据规律调整大小，然后输出。此时输出的乘积和小数点位置就是在保持输出数据最佳精度的情况下的输出结果。图116位无符号最佳精度定点乘法器的原理3.216位有符号最佳精度定点乘法器的硬件实现该有符号定点乘法器是基于上述无符号最佳精度乘法器实现的，是对无符号最佳精度定点乘法器的符号扩展。此乘法器在无符号定点乘法器的六大模块基础上又增加了一个AXORB模块。此模块实现的是简单的异或功能：即将被乘数与乘数的最高位进行异或，然后输出，此输出也就是最后乘积的符号。输入的被乘数与乘数的低15位表示数据的绝对值，最高位定为符号位：1表示为负；0表示为正。对低15位数据的处理运用上述无符号最佳精度定点乘法器的处理方法，小数点位置输出方法也和上述方法相同，总的来说就是对其符号位进行一下单独处理。而在最后对31位输出数据保持最佳精度时是先将30位数据位进行最佳精度处理，保留15位并调整小数点位置，最后再加上符号位共16位输出。4基于FPGA的定点除法器的实现在四则运算中，二进制乘法和除法是一对互逆运算。要得到相应的最佳精度定点除法器，可通过进行一系列减法和移位来实现，原理大体和乘法器的实现相同。在这里不再赘述。5结语由于将高性能和灵活性完美组合，FPGA在DSP领域的应用越来越普遍。FPGA的DSP性能领先的关键是其内在的并行机制，即其利用并行架构实现DSP的功能。这一并行机制使得FPGA特别适合于完成像滤波这样的重复性DSP任务。FPGA经常被用来分流承担大量计算任务，帮助提高传统DSP芯片的能力5。利用最佳精度定点运算的FPGA实现，解决了多数通用的FPGA芯片仅支持整数和标准逻辑矢量的运算存在的整数运算数值表示的范围小、精度低的问题，提高了芯片的利用率，节省硬件资源，并扩大输入数据的范围，实现了高速数值计算，提高了数值分析和信号处理等能力，从而满足数字滤波器和数字控制器的计算精度要求。参考文献1郭继昌,何晖.基于FPGA的FIR滤波器的实现J.电子技术应用,2000,26(05):60-62.2李国峰.自适应数字滤波器中乘法器的硬件设计J.南开大学学报:自然科学版,2002,35(02):52-55.3胡振华.VHDL与FPGA设计M.北京:中国铁道出版社,2001.4赖杰.VHDL与数字电路设计M.北京:科学出版社,2002.5OmidTahernia.性能优越的FPGA为DSP技术开拓了新市场DB/OL.（2009-5-9）2009-5-9./FAYY/200806111557428697.htm.（上接第278页）3结语本文归纳介绍了求一般离散时间序列卷积和的几种方法。利用卷积和的定义和有关性质，可将卷积和的复杂运算转化成简单的代数运算，从而简化了卷积和的求解过程。参考文献1孙琦，彭国华，朱文余,等.数论变换在NTRU公匙密码体制中的应用J.通信技术，2008，41（07）：177-182.2孟夏，申敏，王飞.TD-SCDMA中(2,1,9)卷积编码及其VITERBI译码算法的SIMULINKS-FUNCTION实现J.通信技术，2008，41（