工程电磁场第二章静电场小结

电力线与等位线 面 的性质 E线不能相交 E线起始于正电荷 终止于负电荷 E线愈密处 场强愈大 E线与等位线 面 正交 静电场中的导体和电介质 1 静电场中导体的性质 2 静电场中电介质的性质 电介质在外电场E作用下发生极化 形成有向排列的电偶极矩 电介质内部 非均匀极化 和表面产生极化电荷 束缚电荷 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源 极化电荷体密度 极化电荷面密度 极化电荷的总和为零 在均匀极化的电介质内 极化电荷体密度 有电介质存在的场域中 任一点的电位及电场强度为自由电荷和极化电荷共同产生的 电介质的性质集中体现在介电常数 上 是定量描述媒质特性的参数 斯托克斯定理 散度定理 静电场的基本方程 1 静电场的基本方程的积分形式 高斯 通量 定理 自由电荷的代数和 静电场的环路定律静电场是保守场 在各向同性 线性 均匀介质中 为常数 称为辅助方程 媒质性能方程 它反映了所研究的静电场所处的客观环境 基本方程表明 静电场是有 通量 源无 无涡旋源 旋场 静电场的所有性质均可以从这三个方程导出 静电场基本方程的积分形式适用于全空间 全部场域 高斯定理可用于一类具有对称性静电场场量的求解 2 静电场的基本方程的微分形式 无旋场一定是保守场 保守场一定是无旋场 无旋必然有位 可检验场域每点E的涡旋源分布 自由电荷的体密度 在无自由体电荷的场域右端为零 可检验场域每点D的通量源分布 静电场基本方程的微分形式只适用于连续介质的内部 同一种介质的内部 从这三个方程可以导出静电场的电位的 基本方程 泊松方程或拉普拉斯方程 辅助方程 媒质性能方程 它反映了所研究的静电场所处的客观环境 3 不同媒质分界面 上的衔接 条件 又称为分界面条件或分界面上的边界条件 为避免与场域的边界条件混淆 本教材称为分界面条件 场量在两种不同媒质的分界面上必须满足的关系称为分界面上的衔接条件 自由面电荷的面密度 如果分界面上不存在自由面电荷右端为零 分界面两侧E的切向分量连续 等价与 表明 1 导体表面是一等位面 电力线与导体表面垂直 电场仅有法向分量 B 当分界面为导体 1 与电介质 2 的交界面时 分界面上的衔接条件为 A 一般形式 2 导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷面密度 C 在交界面上不存在时 E D满足折射定律 折射定律 D 用电位函数表示分界面上的衔接条件 介质分界面上无自由面电荷时右端为零 在介质分界面上电位是连续的 导体 1 与理想介质 2 分界面 用电位表示的衔接条件 一般形式 4 静电场的重要定理 唯一性定理 E与的关系 在直角坐标系中 任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关 同一个物理问题 只能选取一个参考点 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 且要有意义 电荷分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷分布在无穷远区域时 选择有限远处为参考点 E和是研究静电场的两个两个重要场量 静电场问题的求解 1 已知场源电荷分布求场量 1 直接求解 分割 求和取极限 点电荷 线电荷 面电荷 体电荷 V m 面电荷分布 n个点电荷 线电荷分布 体电荷分布 电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分 然后再合成 即 积分是对源点进行的 计算结果是场点的函数 点电荷群 连续分布电荷 若无限远处为电位参考点 场源有限 上式中的C为零 2 先求场量后求E 3 对称性的场用高斯定理求场量 a 分析给定场分布的对称性 判断能否用高斯定律求解 b 选择适当的闭合面作为高斯面 使容易积分 4 根据边值问题求场量 场域边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 参考点电位有限值 混合边界条件 第一类边值问题 第二类边值问题 第三类边值问题 混合边值问题 唯一性定理的证明 唯一性定理的证明 用反正法证明 返回唯一性定理 唯一性定理的重要意义 唯一性定理保证 我们求解的静电场问题的解 在什么样的条件下 它是确定的而且是唯一的 在处理实际问题时 如何正确提供条件才能有解 强调唯一性定理 并非仅仅为了论证理论的严密性 更重要的是使我们在处理静电场问题时 能开拓思路 寻求更简捷的求解方法 后面的镜相法 电轴法 都是根据唯一性定理得出的简捷有效的 间接求解泊松和拉普拉斯方程 求解方法 唯一性定理为静电场问题的多种解法 试探解 数值解 解析解等 提供了思路及理论根据 不同的求解方法 其解的形式可能不一样 唯一性定理保证它们彼此相等且均为有效 5 根据唯一性定理导出的镜像法 求场量 图6 1 1平面导体的镜像 1 无限大导体平面的镜像法 上半空间的场是两个点电荷产生的 其场强和电位分别为 2 无限大不同介质分界面的镜像 图6 1 9点电荷对无限大介质分界面的镜像 3 导体球面镜像 图6 1 3点电荷对接地导体球面的镜像 图6 1 6点电荷对不接地金属球的镜像 已知两根不同半径 相互平行 轴线距离为d的带电长直圆柱导体 试决定电轴位置 注意 1 参考电位的位置 2 适用区域 试确定图示偏心电缆的电轴位置 图6 1 16不同半径传输线的电轴位置 图6 1 17偏心电缆电轴位置 4 等效电轴法 6 静电场的能量 体电荷系统的静电能量 即 若体 面 线电荷均有 则 对所有场源取积分 1 一般形式 已知场源电荷分布 一般计算没有必要把静电能分成自有能和互有能 计算也很不方便 但对点电荷系统 因其自有能为无穷大 无法计算 才必须分开计算 3 自有能和互有能的概念 4 静电能量的分布及能量密度 能量密度 7 根据电场力的计算 N 牛顿 1 根据库仑定律求电场力 2 虚位移法 虚功原理 求电场力 广义坐标 距离 面积 体积 角度 广义力 企图改变某一个广义坐标的力 广义力的正方向为广义坐标增加的方向 二者关系 广义力 广义坐标 功 试求图示 a b 平行板电容器中 两种介质分界面上每单位面积所受到的力 图8 5 5平行板电容器