文献翻译-积分变换在解微分方程中的应用

第25卷第3期2012年5月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo125No32012大学教学积分变换在解微分方程中的应用陈传峰(广东外语外贸大学南国商学院，广州510545)摘要：本文介绍了应用Laplace变换和Fourier变换求解常微分方程和偏微分方程的方法，得出了用Fourier变换求解微分方程必须先求出方程的Green函数的结论，最后用Laplace变换和Fourier变换求解弦振动方程，得出该类方程的一般解。关键词：Laplace变换；Fourier变换；8函数；单位阶跃函数；微分算子；Green函数中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1o067353(2012)03一OO4OO2l积分变换在解常微分方程的应用众所周知，在解常微分方程中，Laplace变换法主要是借助于Laplace变换把常系数线性微分方程转换为复变数s的代数方程，通过一些代数运算，再利用Laplace变换表，求出微分方程的解。例1解方程()+3x()+3x()+z()一1，(O)=(O)=(O)一0r+解记x(5)=le-“z(t)dt，对方程两边J0施行Laplace变换，有1(s。+3s。+3s+1)X(s)=，由此得X(s)函数具有如下的性质：、f。当=时(1一10；z(2)X(z，3，)是定义在DEy。，Y上的二元函数，对是k阶可微，则有：lX(，)()一X(x，)Jx(，)“()一蠡x(导，)IDzJd为了叙述方便，我们把一般的常微分方程记为L()=()，这里L是关于x()的线性微分算子。按照文E2中有关基本解的结论，如果能解出L()一8(tr)的解()一G(，r)，则一，方程的解为()=1一一一一L()=()的解就是z()=jI二G(，专在应用Fourier积分变换求解微分方程中，有许多重要函数不满足Fourier积分变换的绝对可积条件，例如常数、单位阶跃函数以及正、余弦函数等。这使得直接应用Fourier积分变换求解微分方程有很大的限制，例如把上述的例1应用Fourier积分变换，由于方程右端的1不满足绝对可积条件，故不能直接应用Fourier积分变换，为此，必须引进单位脉冲函数函数，以使在普通意义下一些不存在的积分具有确定的数值。40r)(r)dr，这里G(，r)称为L(z()=()的Green函数。例2用Fourier积分变换解方程z()+3()十3x()+z()=1，(O)一X(0)一(O)=0解首先求解+3+3+X一(一r)，在方程的两端作Fourier积分变换，记XGo)=FEx(t)，有(如)。X()+3(如)X()+3(如)X(oD+x()e-Jr，x(oD南收稿日期：20120209作者简介：陈传峰(1963一)，男，理学硕士，讲师，研究方向：高等数学教学第25卷第3期2012年5月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo125N032O12再实施Fourier反变换，得z()一立(一)ze-c其中Hctr一0：筹为单位阶跃函数，这里求得的z()即为原方程的Green函数。从而原方程的解为)一)一专(h)。e-(-r)drldr00z()一IG(，r)一l(一r)0JJ一1-e-t-te一一12Pf所得到的解与例1是一样的。比较两种积分变换可以看到，Fourier变换解题的过程较为烦琐，所以解决问题时如果两种变换都能使用，用Laplace变换仍为上选，但Fourier变换的方法引进了函数和Green函数的方法，在解决某些问题时也是有力的工具。2积分变换在解偏微分方程的应用把上面的方法推广到偏微分方程，考察2的弦振动方程的积分变换解法。例3解方程f02U一“2舅一厂，)(o，一o。0，一cx3上时【0其余情况从而u(x，)一lIG(x，r)(，r)也drjD去厂(，r)+声()(r)+妒(r)dCdrrffx4(h)1j。j一H(，r)十(9(r)+9(r)dr一r，r，)+二斗一J。J(r】r)出+手+二da(下转第24页)41第25卷第3期2O12年5月高等函授学报(自然科学版)JournalofHigherC0rresp0ndenceEducation(NaturalSciences)Vo125No32012寻学习相关的信息资料，归纳出准备研究的具体题目，形成基本的目标和认识；具体实施阶段，在这个阶段同学们要运用一定的方法，发挥自己和集体的智慧，创造性地去解决提出的问题；表达交流阶段，在这个阶段，同学们要将自己在研究性学习中获得的成绩和成果用一定的形式总结出来，采取汇报、辩论、研讨、展览、编刊等各种方式与同学和老师交流2。在具体的实践中，B题的第一小组学生能够按照教师的指引对该问题做出解答，学会了处理数据和分析数据的能力，在做学问的过程中能够分工合作，总体来说还是比较成功的。但是由于小组学生刚刚开设数学建模与数学实验这门课程，故对MATLAB软件还不太熟悉，散点图和数据拟合都没有学习过，在这方面浪费了不少时间。另外，由于数据量的庞大，小组学生在处理数据上花了大量的时间，所以在进度上有点拖沓，导致文章没有完成而且过于粗糙。在考虑第二组学生研究性学习的时候，花一点时间给小组学生讲解一下数据拟合的相关基础知识，并且相对要减少处理数据的时间，减少工作量，把更多的时间花在考虑如何分析、解决问题上。而C题的第一小组学生由于时间问题以及对一些基础知识掌握得不是很牢靠，影响了学生的情绪，学生的积极性不太高。教师也没有及时发现并且加以引导和启发，导致对该题目的第4个问题的研究没有完成。另外教师自身的教学计划中还有些不完善。在第二小组的研究性学习过程中加强了对时间要求的力度。在内容上，对问题做了比较系统安排，每个问题的衔接也做了充分的准备。所以，第-d,组学生可以比较顺利地完成整个问题的研究37_。3研究性学习与传统学习以及数学建模竞赛的区别和联系传统的数学课程的课堂教学方式“授受”的方式使得学生在校期间的接受性学习仅仅局限在课本和课堂上，由此造成了学生懒于思考，不善于思考，缺乏研究能力和创新意识。研究性学习就是在教师指导下，让学生去“再次发现”已有的知识，培养自主探究能力；学会“重新组合”已育的知识，培养综合能力；而不是单纯去传授那些已有的书本知识。另外，本文所探讨的数学建模竞赛是在教师的指导下，参赛团队利用一定的时间通过互相合作的形式通过查找资料，相互讨论完成整个模型的建立和求解的过程。实践证明必须在传统的课程教学以及竞赛中引人研究性学习的方式，使研究性学习与接受性学习相辅相成、相得益彰，使学科教学既给学生打好基础又能培养他们的创新能力。参考文献13林道荣，周伟光数学实验教程M苏州：苏州大学出版社，2003：1-4823普通高中“研究性学习”实施指南(试行)BEOI1http：newscsyzcnhtml200406251htm3金晶亮非线性测量误差模型的Bayes估计J南通大学学报(自然科学版)，2009，8(2)43李泽安，葛建芳，章雅娟Beta回归模型在数据挖掘预测中的应用J南通大学学报(自然科学版)，2009，8(3)5任洁关于2006年全国大学生数学建模竞赛B题研究性学习实践模式的探讨D南通大学，20076汤俊关于2006年全国大学生数学建模竞赛c题研究性学习实践模式的探讨D南通大学，20077彭小智，凌能祥相依样本下回归函数分割估计的渐近正态性口南通大学学报(自然科学版)，2009，8(4)(上接第41页)这里得出的结论与文献2是一致的。上面列举了Laplace积分变换和Fourier积分变换在解常微分方程和偏微分方程的应用，从中可以看到积分变换是一种很成功的数学