“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含解析

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1. 设集合A=x|x-10，B=x|x2-x-60，则AB=（）A. B. C. D. 2. 已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（）A. B. C. D. 3. 若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A. 11B. 10C. 5D. 94. 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则ABC的面积为（）A. B. C. D. 5. 若，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则6. 在RtABC中，C=90，BC=5，则=（）A. B. 5C. D. 257. 已知an是等比数列，a2=2，则a1a3+a2a4+anan+2=（）A. B. C. D. 8. 在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为，直线AB与平面BCD所成的角为，二面角C-AB-D的平面角为，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 9. 设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x20，+）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 10. 已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）A. B. C. 3D. 2二、填空题（本大题共7小题）11. 在等差数列an中，若a3+a6+a9=24，则a6=_，S11=_12. 几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为_，几何体的外接球的直径为_13. 若直线l的倾斜角是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tan=_，=_14. 已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是_，a+b的最小值是_15. 在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=bcosA，则cosB=_16. 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：异面直线AB与CD所成的角为60；ACBD；ACD是等边三角形；二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是_（写出你认为正确的所有结论的序号）17. 已知a是实数，若对于任意的x0，不等式恒成立，则a的值为_三、解答题（本大题共5小题）18. 已知函数（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域19. 如图，矩形ABCD所在的平面垂直于BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点（1）证明：AE平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点当BEPM时，试确定点P的位置，并加以证明20. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，CAA1=60，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点（1）证明：DD1平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值21. 已知数列an满足a1=1，数列是公比为3的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）当n2时，证明：；（3）设数列的前n项和为Sn，证明：22. 已知函数f（x）=x2+ax+b（1）若b=3时，不等式f（x）x对x1，4恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间0，2上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A=x|x-10=x|x1，B=x|x2-x-60=x|-2x3，则AB=x|-2x1，故选：B分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题2.【答案】C【解析】解：lg2=a，lg3=b，lg120=lg（1034）=lg10+lg3+2lg2=1+b+2a故选：C由已知结合对数的运算性质求解lg120本题考查对数的运算性质，是基础的计算题3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为21+33=11故选：A由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题4.【答案】B【解析】解：ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=2A，又A+B+C=，A=，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosA，又a=3，c=2b，32=b2+（2b）2-2b2bcos，得b=，c=2b=2，ABC的面积为bcsinA=故选：B由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式bcsinA，计算出答案本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算化简技巧与能力，属于中档题5.【答案】B【解析】解：由，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故A错误；在B中，若n，n，可得，由m，由线面垂直的判定定理得m，故B正确；在C中，若m，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故D错误故选：B在A中，m与相交、平行或m；在B中，由线面垂直的判定定理得m；在C中，m与相交、平行或m；在D中，m与相交、平行或m本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题6.【答案】C【解析】解：如图，C=90，且BC=5，=故选：C根据C=90即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题7.【答案】D【解析】解：因为an是等比数列，a2=2，所以公比q=，因为，a1a3=4，所以a1a3+a2a4+anan+2=，故选：D由知an是等比数列可得anan+2为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题8.【答案】D【解析】解：过A作A在底面的射影O，A-BCD是正四面体，O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即=ABO二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为AEO，=AEO，在正四面体A-BCD中，ABCD，即异面直线AB与CD所成的角为=90，sin=sinABO=，sin=sinAEO=，ABAE，即sinsin，则90，即，故选：D分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定，的大小即可得到结论本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9.【答案】A【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+）递增，故f（x）在（-，0）递减，时，x-2-，-1，故f（x-2）f（1），若任意的，不等式f（ax+1）f（x-2）恒成立，则时，|ax+1|1恒成立，故-1ax+11，x，1，故-2ax0，x，1，故-a0，x，1，而a（-）max=-2，故-2a0，故选：A根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题10.【答案】B【解析】解：根据题意，cos，=，不妨设=（4，0），=（1，），=（cos，sin），则=|4cos|-|cos+sin|=3cos-sin=sin（-），所以最大值为2，故选：B由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，列出即可求出其最大值本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题11.【答案】8 88【解析】解：在等差数列an中，若a3+a6+a9=3a6=24，则a6=8，故S11=11a6=88，故答案为：8；88由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题12.【答案】 2【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，几何体的体积为：=四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：=2故答案为：；2画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题13.【答案】 【解析】解：由题意可得：tan=tan=故答案为：，由题意可得：tan=理念倍角公式可得tan利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tan即可得出本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.【答案】 【解析】解：因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，所以3ab=a+2b，所以或（舍），所以ab，所以ab的最小值为；由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得，所以a+b=，当且仅当，即a=，b=，所以a+b的最小值为故答案为：；根据条件可得3ab=a+2b，解不等式可得ab的最小值；根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题15.【答案】【解析】解：b2=ac，且a=bcosA，a=b，b2+c2-a2=2ac=2b2，a2+b2=c2，ABC为直角三角形由余弦定理，有cosB=，cosB=cos2A=sin2B=1-cos2B，cos2B+cosB-1=0，cosB=或（舍），故答案为：根据条件可知ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cosB的一元二次方程，再求出cosB即可本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题16.【答案】【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，-1，-1），=（-1，1，0），cos，=-，异面直线AB与CD所成的角为60，故正确；=（1，0，-1），=（0，2，0），=0，ACBD，故正确；OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直，AC=CD=AD=，ACD是等边三角形，故正确；平面BCD的法向量=（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），cos=，sin=二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故正确故答案为：取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】【解析】解：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，由=a2+0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得4a-20，不满足题意；则4a-20，即a，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），即有（4a-2）x2+=0，即x2=，代入x2+ax-=0，化为48a2-40a+7=0，解得a=或a=（舍去），故答案为：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论4a-20，不符题意；4a-20，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题18.【答案】解：（1），=4cosx（+sinx），=4cosx（）=6sinxcosx-2cos2x，=3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-，T=，由2x-=可得对称轴x=，kZ，（2）由，可得，sin（2x-），2sin（2x-）-，2sin（2x-）-，函数f（x）的值域为-3-，【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，又F为EC的中点，OFAE，OF面BDF，AE面BDF，AE面BDF（2）解：当PMBE时，点P为AE的中点证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面，面ABCD面BCE，且面ABC面BCE=BC，CDBC，CD面ABCD，CD面BCE，又BE面BCE，CDBE，BC=CE，且H为BE的中点，CH面BCE，又CHCD=C，且CH，CD面DPHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，PMBE【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OFAE，由此能证明AE面BDF（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PHABPHCD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD面BCE，CDBE，从而CH面BCE，进而BE平面DPHC，由此能证明PMBE本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题20.【答案】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，D1M是AA1B1C1的中位线，D1MB1C1，D1M平面BCC1B1，DM平面BCC1B1，又DD1平面DMD1，DD1平面BCC1B1（2）解：CC1AA1，直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1HBD于H，连结AH，由条件知AA1C是正三角形，ACDA1，同理，ACDB，又DBDA1=D，AC平面BDA1，A1H平面BDA1，且A1HBD，A1H平面ABC，A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DB=DA1=，cosBDA1=-，BDA1=120，A1DH=60，A1H=，AA1=2，sinA1AH=，直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为【解析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1MB1C1，由此能证明DD1平面BCC1B1（2）由CC1AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1HBD于H，连结AH，推导出ACDA1，ACDB，从而AC平面BDA1，进而A1H平面ABC，A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解