§41任意角和弧度制及任意角的三角函数（教师）.doc

4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础自测1.A=小于90的角，B=第一象限的角，则AB= （填序号）.小于90的角090的角第一象限的角以上都不对答案 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 .答案 3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 .答案 1或44.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin= .答案 -cos25. 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin= .答案 例题精讲 例1 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.解 是第二象限的角，k360+90k360+180（kZ）.（1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k180+45 k180+90（kZ），当k=2n（nZ）时，n360+45n360+90；当k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270.是第一或第三象限的角.（3）k120+30k120+60（kZ），当k=3n（nZ）时，n360+30n360+60；当k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180；当k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300.是第一或第二或第四象限的角.例2（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,=-2=(-2)1.14257.3065.446526,扇形的面积为S=r2=（-2）r2.（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r (0r10) 扇形的面积S=lr，将代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时，l=20-25=10,=2.所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.例3 （14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解 角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P（4t,-3t） (t0), 2分则x=4t,y=-3t,r=, 4分当t0时，r=5t,sin=,cos=,tan= 8分当t0时，r=-5t,sin=,cos=,tan= 12分综上可知，t0时，sin=,cos=,tan=;t0时，sin=,cos=-,tan= 14分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos.解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .巩固练习1.已知是第三象限角，问是哪个象限的角？解 是第三象限角，180+k360270+k360（kZ），60+k12090+k120.当k=3m(mZ)时，可得60+m36090+m360（mZ），故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180+m360210+m360（mZ)，故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得300+m360330+m360（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6,（1）求 的弧长；（2）求弓形OAB的面积.解 （1）=120=rad，r=6， 的弧长为l=6=4.(2)S扇形OAB=lr=46=12，SABO=r2sin=62=9，S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-9.3.已知角的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.解 角的终边在y轴上，可在的终边上任取一点（0,t)(t0),即x=0，y=t.r=|t|.当t0时，r=t,sin=1,cos=0,tan=不存在；当t0时，r=-t，sin=-1,cos=0,tan=不存在.综上可知：sin=1,cos=0,tan不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解 （1）2cosx-10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-,k+）（kZ).回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.已知costan0,那么角是第 象限角.答案 三或四2.若0x，则sinx x2（用“”,“”或“=”填空）.答案 3.与610角终边相同的角表示为 .答案 k360+250(kZ)4.已知（）sin21,则所在象限为第 象限.答案 一或三5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第 象限.答案 二6.已知且sin+cos=a，其中a(0，1），则关于tan的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）.-33或-3或-答案 7.已知角的终边落在直线y=-3x (x0)上，则 .答案 28.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t0,60.答案 10sin二、解答题9.已知sin=,cos=,若是第二象限角，求实数a的值.解 是第二象限角，sin0,cos0,，解得0a.又sin2+cos2=1,解得a=或a=1(舍去），故实数a的值为.10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.（1）依题意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周长为40,R+2R=40，S=lR=R2=R2R.当且仅当R =2R,即R=10, =2时面积取得最大值，最大值为100.11.设为第三象限角，试判断的符号.解 为第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ (kZ)，当k=2n (nZ)时，2n+,此时在第二象限.sin0,cos0.因此0.当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ)此时在第四象限.sin0,cos0,因此0,综上可知：0.12.角终边上的点P与A（a，2