1.2正余弦定理应用举例PPT课件

1 2正余弦定理应用举例 复习 请回答下列问题 复习 下列解三角形问题 分别属于那种类型 根据哪个定理可以先求什么元素 第4小题A变更为A 150o呢 余弦定理先求出A 或先求出B C 正弦定理先求出b 正弦定理先求出B 60o或120o 无解 余弦定理先求出a 要测量不可到达的两点间的距离 可用哪些方法 方案一 构造直角三角形 C 若能测得AC的长及 BAC 那么AB即可求出 此方案有缺限吗 例1 如图 设A B两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在A的同侧 在所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离是55m BAC 510 ACB 750 求A B两点的距离 精确到0 1m 练习1海上有A B两个小岛相距10海里 从A岛望C岛和B岛成60 的视角 从B岛望C岛和A岛成75 的视角 那么B岛和C岛间的距离是 A C B 解 应用正弦定理 C 45 BC sin60 10 sin45 BC 10sin60 sin45 例2 如图 A B两点都在河的对岸 不可到达 设计一种测量A B两点间距离的方法 A B D C 基线 练习2 为了测定河对岸两点A B间的距离 在岸边选定1公里长的基线CD 并测得 ACD 90o BCD 60o BDC 75o ADC 30o 求A B两点的距离 A B C D A B C D 1公里 分析 在四边形ABCD中欲求AB长 只能去解三角形 与AB联系的三角形有 ABC和 ABD 利用其一可求AB ACD 90o BCD 60o BDC 75o ADC 30o 略解 Rt ACD中 AD 1 cos30o BCD中 1 sin45 BD sin60 可求BD 由余弦定理在 ABD中可求AB 解斜三角形 练习 海中有岛A 已知A岛周围8海里内有暗礁 今有一货轮由西向东航行 望见A岛在北偏东75 航行20海里后 见此岛在北偏东30 如货轮不改变航向继续前进 问有无触礁危险 B C 解 在 ABC中 ACB 120 ABC 15 由正弦定理得 由BC 20 可求AC 得AM 8 97 8 无触礁危险 如何测量地球与月亮之间的距离 背景资料 早在1671年 两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离 利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角 测量计算出 的大小和两地之间的距离 从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km 例3 如图 甲船以每小时海里的速度向正北方向航行 乙船按固定方向匀速直线航行 当甲船位于处时 乙船位于甲船的北偏西105 方向的处 此时两船相距20海里 当甲船航行20分钟到达处时 乙船航行到甲船的北偏西120 方向的处 此时两船相距海里 问乙船每小时航行多少海里 1 分析题意 弄清已知和所求 2 根据提意 画出示意图 3 将实际问题转化为数学问题 写出已知所求 4 正确运用正 余弦定理 小结 求解三角形应用题的一般步骤 实际问题 几个概念 仰角 目标视线在水平线上方的叫仰角 俯角 目标视线在水平线下方的叫俯角 方位角 北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角 N 方位角60度 水平线 目标方向线 视线 视线 仰角 俯角 方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角 如北偏东30度 南偏西45度 C D 例4 如图 要测底部不能到达的烟囱的高AB 从与烟囱底部在同一水平直线上的C D两处 测得烟囱的仰角分别是 35 12 和 49 28 CD间的距离是11 12m 已知测角仪器高1 52m 求烟囱的高 练习4 如图 要测底部不能到达的烟囱的高AB 从与烟囱底部在同一水平直线上的C D两处 测得烟囱的仰角分别是 CD间的距离是12m 已知测角仪器高1 5m 求烟囱的高 图中给出了怎样的一个几何图形 已知什么 求什么 想一想 实例讲解 分析 如图 因为AB AA1 A1B 又已知AA1 1 5m 所以只要求出A1B即可 解 答 烟囱的高为29 9m 例5 如图 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 在塔底C处测得A处的俯角已知铁塔BC部分的高为27 3m 求出山高CD 精确到1m 如图 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 现测得 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔高AB 例6 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上 行驶5km后到达B处 测得此山顶在西偏北250的方向上 仰角为80 求此山的高度CD 例7 如图 一艘海轮从A出发 沿北偏东750的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东320的方向航行54 0nmile后达到海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 10 距离精确到0 01nmile 练习7 如图 某渔轮在航得中不幸遇险 发出呼救信号 我海军舰艇在 处获悉后 测出该渔轮在方位角为 距离为10nmile的 处 并测得渔轮正沿方位角为105 的方向 以 nmile h的速度向小岛靠拢 我海军舰艇立即以 nmile h的速度前去营救 求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 角度精确到0 1 时间精确到 min 方位角 指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角 解 设舰艇收到信号后xh在 处靠拢渔轮 则 21x x 又AC 10 ACB 45 180 105 120 由余弦定理 得 化简得 解得 x h 40 min 负值舍去 由正弦定理 得 所以 21 8 方位角为45 21 8 66 8 答 舰艇应沿着方位角66 8 的方向航行 经过 min就可靠近渔轮 练习 一货轮航行到M处 测得灯塔S在货轮的北偏东150相距20km处 随后货轮按北偏西300的方向航行 半小时后 又测得灯塔在货轮的北偏东450的方向上 求货轮的速度 练习 勘探队员朝一座山行进 在前后两处观察山顶的仰角分别是29度和38度 两个观察点之间距离是200m 求山的高度 练习 3 5m长的木棒斜靠在石堤旁 棒的一端离堤足1 2m的地面上 另一端沿堤上2 8m的地方 求地对地面的倾斜角 引例在 ABC中 已知a b及C 求 ABC的面积 D 结论 三角形的面积公式 例8 在 ABC中 根据下列条件 求三角形的面积S 精确到0 1cm2 1 已知a 4 c 6 B 300 2 已知B 450 C 750 b 3 已知a 41 4cm b 27 3cm c 38 7cm 例9 如图 在某市进行城市环境建设中 要把一个三角形的区域改造成室内公园 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m 88m 127m 这个区域的面积是多少 精确到0 1cm2 例10 在 ABC中 求证 1 已知 ABC中 B 300 b 6 c 6 求a及 ABC的面积 2 判断满足下列条件的三角形形状