第2讲 导数在研究函数中的应用生.doc

第2讲 导数在研究函数中的应用 知 识 梳理 1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 3解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 重 难 点 突 破 1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1. 设，令，讨论在内的单调性并求极值；（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数与函数的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，试讨论函数的单调性求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试例2: 若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系例3. 当，求证【新题导练】.1. 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a3 B.a=2C.a3D.0a32. 函数y=x3+x的单调增区间为A.(,+)B.(0,+)C.(,0)D.不存在3. 已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数在处取得极值,则 .例2（2008深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3（广东省六校2009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【新题导练】4在区间上的最大值为，则=（ ）A.B. C. D. 或5在区间上的最大值是A B0 C2 D46已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立. 抢 分 频 道 基础巩固训练1（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个 2、函数有（ ）A. 极小值1，极大值1B. 极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2D. 极小值1，极大值33函数y=f(x)=lnxx,在区间(0,e上的最大值为A.1eB.1C.eD.04(广东深圳外国语学校20082009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.5（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。综合拔高训练6（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.7（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在