2.填空题求解策略(白文)

第二节 填空题求解策略填空题的特点是叙述严谨、内涵丰富、考查灵活，但是解答它不需要在卷面上书写过程，而只需要将解答的结果以最简洁最完美的形式呈现出来，考查的是快速决策、迅速运算甚至是透过现象迅速抓住问题的本质与结果的直觉思维与相应能力。因此，研究填空题的特点进而迅速准确求解对于训练我们的数学思维甚至对我们的观察能力、估计水平以及透过现象分析问题本质与规律的意识与能力，都会有不可低估的作用。尽快获得简捷解题思路是顺利解答填空题的关键所在，其常规解法主要有：直观求解，数形结合，特例考察，归纳概括，等等。一、从解读符号或关键概念、主要条件的含义入手求解【例1】已知集合，定义：是一个确定的对应关系，如果使，且唯一确定，那么就称是集合到的一个映射则满足的映射的个数是 。【例2】设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则；对设，则是平面上的线性变换；若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，若共线，则也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）。【例3】下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点A的坐标为（0，1），如图3。图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m的象就是n，记作；有下列结论：；是奇函数；在定义域上单调递增；的图象关于点对称。则上述说法中正确的命题的序号是 （填出所有正确命题的序号）。【例4】已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_.【评注】本题具有较厚的科学背景，它改编于1993年全国卷试题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A6种 B9种 C11种 D23种做一般性推广，即利可努斯贝努利（Niklaus Bernoulli,16221708）“错位排列”问题：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少, 后来大数学家欧拉等都有所研究。记表示n个元素全部错位的所有排列种数，则“错位排列”问题的一般解表达式为以此为背景可设计如下试题：1.（2004湖北卷理科第14题）将标号为，10的10个球放入标号为，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种（以数字作答） 2.（例4的推广）若，则不同数表的张数为 。【例5】在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为.若到点，的“直角距离”相等，其中实数、满足，则所有满足条件点M的轨迹的长度之和为 .【例6】已知满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为，（其中、分别表示不大于、的最大整数），关于点的位置，给出如下判断：（1）一定在直线左上方的区域内； （2）一定在直线上；（3）在直线右下方的区域内； （4）在直线左下方的区域内 你认为正确叙述的序号有 （将你认为对的都填上）。【例7】已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则【例8】定义在上的函数满足，且当时，则_ 类似的例子有：已知函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。设函数在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：；则的值为 。【例9】如果对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有，也是某个三角形的三边长，则称为“型函数”，则下列函数：；，；，其中是“型函数”的序号为 【例10】设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.现给出下列命题：函数为上的高调函数；函数为上的高调函数；如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是；如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是其中正确的命题是_.（写出所有正确命题的序号）【例11】在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为 （将所有正确的命题序号填在横线上）二、按一定规则或规律列举后发现规律，猜测求解【例12】一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是 ，另一个是设第次生成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则 【例13】用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,，10的因数有1,2,5,10,那么 ； . 有兴趣的读者可做深一步分析，如从结构式分析证明此结论等。类题如2010西城区二模题：我们可以利用数列的递推公式（）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_项. 【例14】五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。y【例15】设，则数列的通项公式= .【例16】如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0) (2,0) ），若每秒运动一个单位长度，那么第2010秒时，这个粒子所在的位置为 。【例17】定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：，当时，设函数的值域为A，记集合A中的元素个数为，则式子的最小值为三、数形结合，用运动变化观点结合分析图形特点进行直观求解【例18】已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足若实数是方程的一个解，那么下列四个判断： ； ； ； 中有可能成立的命题的序号为 。（将你认为正确的命题序号都写上）。【例19】若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .【例20】当，不等式成立，则实数的取值范围是_.【例21】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.【例22】在数列中，（为常数），若平面上的三个不共线的非零向量满足，三点共线且该直线不过点，则等于 。【例23】在锐角中则的值等于 ，的取值范围为 .lBACDMN【例24】如图，平面平面，直线，是内不同的两点,是内不同的两点，且直线, 分别是线段的中点. 给出下列判断： 当时，两点不可能重合；当时， 线段在平面上正投影的长度不可能相等；两点可能重合，但此时直线与直线不可能相交；当与相交，直线平行于时，直线可以与相交；当是异面直线时，可能与平行；其中正确的判断序号为 （把你认为正确判断的序号都写上）【例25】设定义在上的函数 若关于的方程有3个不同的实数解，则等于 ，此时实数b,c满足的条件是 。四、从分析特例入手直觉求解【例26】已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=_时，.【例27】如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 【例28】我们把在线段上到两端点距离之比为的点称为黄金分割点。类似地，在解析几何中，我们称离心率为的椭圆为黄金椭圆，已知= 1 (ab0)是黄金椭圆，给出下列四个命题：a、b、c成等比数列；若F2为右焦点，B为上顶点，A1为左顶点，则：；以两通径的4个端点为顶点的四边形为正方形；若直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），则KPEKPF为定值其中正确命题的序号为 五、笨拙就是大巧回归最基本的方法：用运算辅助推理【例29】若，则函数的最大值为 。【例30】已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。【例31】设不等式组，所表示的平面区域的整点个数为，则 【例32】设为抛物线的焦点，、为该抛物线上三点，若，则的值为 。【例33】已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 类似例子有：直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 【例34】已知抛物线的直线与抛物线C交于M，N两点，且，过点M，N向直线作垂线，垂足分别为P，Q，的面积分别为记为S1与S2，则S1：S2 。【例35】设奇函数上是增函数，且，若对所有的都成立，当时，则t的取值范围是 。【例36】定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是 。类题有：已知函数是奇函数且是上的增函数，若，满足不等式，则的最大值是 。【例37】已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小值； 存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）六、注重“小题大做”，善于发现与开发问题的思维训练价值甲乙丙甲甲甲丙乙乙丙丙乙乙丙图1丙【例38】三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法种数为 。【解析】将传球路线一一列举，进行直观求解：法1 考虑传球次数不多，可用枚举法：画出详细树状图（图1），甲先传球给乙甲非12甲甲甲非非非非22111111图2（上面的一条道路）到最后回到甲手中，共有五种传球方法；同理甲先传球给丙，由对称性可知也有五种传球方法；故共有10种传球方法.法2 由于球开始和结束都在甲手中，因此球第一次传出后及最后一次传出前必须不在甲手中，不妨把乙、丙统称为“非”（意为非甲），故只要确定中间几次传球的情况即可.传球线路如图2，图中“”表示传球方向，“”之上所附数字表示对应于此步的传球方法数.所以，本题传球的不同方法数是+=10.我们平时遇到的与此相关的问题有：12003年新课程卷文科高考试题第16题：将3种作物种植在并排的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种.解析：可以将本题进行等价转化为涂色模型：相当于给图3六个方格涂红、黄、蓝三种颜色，要求第1、6两格涂红色，每个方格涂一种颜色，并且相邻的两个方格涂不同的颜色的方法种数.分类讨论如下：34图31256针对红色还可涂在3或4当中，分三种情况：（1）若3涂红色，则4、5只能涂黄、蓝两色，有种方法，而2只能选择黄、蓝两色之一，有种方法，由乘法原理知有=4种方法；（2）若4涂红色，同理有4种方法；（3）3、4都不涂红色，则只能在2、4 选涂一种颜色，在3、5涂另一种颜色，有种方法；综上，共有2+=24+2=10种方法.2改变问题的叙述形式，就成为很熟悉的排数模型： 用1、2、3三个数字排成6位整数，要求首位和末位排1，且任意相邻的两个数码不相同，可以得到多少个不同的6位整数？（解略）本题若止于此，则失去巨大的思维训练价值，实为可惜！将问题向一般情况推广，有推广1 （）人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过n次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是多少？ 可以考虑建立递推公式求解：设经过n次传球后，球在甲手中的不同方法有an种，球不在甲手中的不同方法有bn种，则有：a1=0，经过n次传球后共有(m-1)n种不同的传球方法；经过n次传球后球要么在甲手中，要么不在，可得(m-1)n =+；第次传球后，球在甲手中，则下一次必不在甲手中（甲传出去有两种可能）；第次传球后，球不在甲手中，则下一次可以传到甲手中；经过n次传球后，球在甲手中有an种方法，等于第次传球后球不在甲手中的方法数，即=，且.所以有这是此数列的递推关系式，结合可得，于是数列是首项为，公比为的等比数列，即 =，解得这里再提供几种有趣的解法：法1 建立涂色模型如图4：m个人m种不同颜色，传n次球在n个彼此相连的区域1，2，3，内涂色，且任何相邻2个区域涂不同色。则可将推广2改述为推广 用种不同颜色，给图4中n个区域涂色，要求任意2个相邻区域涂不同颜色，且规定区域1只涂一种指定颜色（如红色），则不同的涂色方法有多少种？简析 可以推测 事实上，假设区域1不固定只涂一种颜色，可任意选涂，记符合要求的涂色方法为种，则区域1有m种涂法，其它区域均各有种涂法。分成两类：是区域n与区域1涂同色，相当于将这2个区域合并成1个区域共个区域，这样符合要求的涂色种数为；是区域n与区域1涂不同色，则有种，故有于是求和得，由得即 推广2 用种不同的颜色，给图5中n+1个区域涂色，要求任意2个相邻区域涂不同颜色，则不同涂色方法有多少种？简析 设符合要求的涂色种数为Bn，则区域有种涂法，其它个区域均与区域不同色，只有种颜色供选涂，由推广知有种，故有法2 联想这样一个问题：正四面体的四个顶点记为1，2，3，4，从一点出发，等可能到其他3点，求从点1出发走7步又回到1的概率。正好能与传球问题等价：将其推广到一般情况是：对于任意一个由m个点组成的网络，如果对于这m个点中的任意一个点都与另外的m-1个点相连，那么从其中任意一个点A出发，每次都等可能地选择一条道路到达另外一点，则经过n步后又回到点A的概率是多少？我们能够得到如下概率递推式：，且由递推数列的有关知识可得 所以于是从点A出发经n步后又回到点A的方法种数为DBCA【评注】做法2值得借鉴的地方主要有两点:一是又联想了一个等价的网络模型,进一步扩大了传球问题的应用范围;二是对本问题的解决方法特别:考虑运用递归思想方法建立概率型递推数列，简捷明快!与传球问题有关的考题有： （ 2001年全国高中数学联赛题）如图6，在正六边形的6个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的2个区域种不同植物。现有4种不同植物可供选择，则有 种栽法。本题是推广的特例：（2003年新高考理科题）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图7），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种。此题是推广3的特例：（08年全国卷理12）如图8，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96B84C60D48此题是推广的特例：,选B。附注：从上述三题解答，可见有准备的重要，遇到这样的试题，可以尽快识别模型，思维路线是：特殊一般化公式特殊化（赋值）获解；当然，上述试题均可以用分类讨论策略尽快获解，在没有系统推广的前提下，分类讨论是解决此类问题的有效手段。（2010年天津卷理(10) ）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）（A）288种 （B）264种 （C）240种 （