241平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义兰州九中 姜旭东教学目标：知识与技能：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求 向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条 重要性质，并能运用性质进行相关的判断和 运算；3、了解 用平面向量数量积可 以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用 意识.过程与方法：（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。学习重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 学习难点: 平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学方法：探究、精讲学习方法: 自主、合作探究学习法学习过程：回顾复习：向量的夹角：两个非零向量夹角的概念：非零向量与，作， 则（）叫与的夹角（两向量必须是同起点的） 特别地：当时，与同向；当时，与反向； 当时，与垂直，记；物理问题：一个物体在力的作用下产生的位移，那么力F 所做的功应当怎样计算？结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？一、 平面向量的数量积的定义1、定义：已知两个非零向量和，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.其中是和的夹角（）说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。问题1：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 问题2：向量的数量积运算与同向量的线性运算的结果有什么不同？ 向量的线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个实数，是一个数量 。问题3：设和都是非零向量，时，等于多少？反之成立吗？问题4：当与同向时，等于多少？当与反向时，等于多少？ 特别地，等于多少?当与同向时,;当与反向时, 问题5：与的大小关系如何？为什么？问题6：对于与，如何求他们的夹角？2、向量数量积的性质以上五条二、平面向量数量积的几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 说明：（1）作图： 当为锐角时投影为正值 当为钝角时投影为负值 当q时投影为0当q = 0时投影为 |；当q时投影为0；当q = 180时投影为 -|（2）投影是一个数量，不是向量。向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。（2）向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。三、数量积的运算律（1） 交换律（2） 对数乘的结合律（3） 分配律运算律