高考数学二轮复习 5.4 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理.ppt

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系重点知识回顾1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 0 直线与椭圆相交 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故 0是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 0 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 2 相切 0 直线与椭圆相切 0 直线与双曲线相切 0 直线与抛物线相切 3 相离 0 直线与椭圆相离 0 直线与双曲线相离 0 直线与抛物线相离 2 有关弦的问题 1 弦的中点问题 韦达定理 或 点差法 2 张长公式 若直线与圆锥曲线交于两点a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 则弦长 ab x1 x2 y1 y2 k 0 主要考点剖析考点一中点弦 弦长 最值 范围 问题命题规律直线与圆锥曲线的位置关系 由于交汇了解析几何中直线 圆锥曲线两部分的知识 因而成为解析几何中综合性最强 能力要求最高的内容 也成为高考的重点和热点 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系灵活转化 最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容 其解法是设变量 建立目标函数 转化为求函数的最值 范围问题 范围问题主要是根据条件 建立含有参变量的函数关系式或不等式 然后确定参数的取值范围 例1设椭圆e 1 a b 0 过m 2 n 1 两点 o为坐标原点 1 求椭圆e的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒在两个交点a b 且 若存在 写出该圆的方程 并求 ab 的取值范围 若不存在 说明理由 分析 1 由特定系数法确定椭圆方程 2 对存在性命题先假设存在 再求出方程 求弦长先通过联立直线与圆锥曲线方程进行消元 设而不求 再应用韦达定理和弦长公式解题 解析 1 把m 2 n 1 坐标代入椭圆方程得 所以椭圆方程为 1 2 设存在圆心在原点的圆满足要求 设圆的方程为x2 y2 r2 当切线的斜率存在时 设圆的切线方程为y kx m 代入椭圆方程得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 切线y kx m与椭圆总有两个交点 16k2m2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 即8k2 m2 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 则y1y2 k2x1x2 km x1 x2 m2 k2 km m2 x1x2 y1y2 0 即3m2 8k2 8 0 8k2 3m2 8 0 代入 得3m2 8 m2 4 2m2 4 0 于是 m2 圆心 0 0 到切线y kx m的距离d r 圆半径r 圆方程为x2 y2 当切线的斜率不存在时 切线方程为x 即得x12 x22 代入椭圆方程得y12 y22 也有 综合得存在符合要求的圆 其方程为x2 y2 法一 当切线的斜率存在时 ab 4 令 t 则 t 1 ab 2 32t 1 t t 2 12 ab 2 12 故 ab 2 当切线的斜率不存在时 ab ab 的取值范围为 2 法二 设d为切点 连结od 则od ab 设 obd oa ob 故 oad 90 则bd od r 同理ad tan ab tan 又2 oa 2 od cos tan 设u tan 显然当tan 时 u 故 ab ab 的取值范围为 点评 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆的位置关系 直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系 的取值范围也可利用均值不等式求解 互动变式1 2011长沙联考 已知f为双曲线c 1 a 0 b 0 的右焦点 斜率为1且过点f的直线交双曲线于a b两点 o为坐标原点 a 其中a 1 3 1 求双曲线c的离心率e 2 设p为双曲线c右支上一点 且位于x轴上方 m为左准线上一点 若四边形ofpm为菱形 经过焦点f且以为方向向量的直线交双曲线于g h两点 若 gh 12 求此时的双曲线方程 解析 1 f c 0 则直线ab的方程为y x c 由得 b2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2b2 0 令a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 a 其中a 1 3 即 x1 x2 y1 y2 与a 1 3 共线 3 x1 x2 y1 y2 又 y1 x1 c y2 x2 c 3 x1 x2 x1 x2 2c x1 x2 c 即 c b2 3a2 3a2 c2 a2 c2 4a2 双曲线c的离心率e为2 2 由 1 知b2 3a2 双曲线方程为 1 设p x0 y0 x0 0 y0 0 双曲线的左准线与x轴交于点n 四边形ofpm是菱形 则x0 mp on c y0 mn 即直线gh的斜率为 则直线gh的方程为y x 2a 代入到双曲线方程得 4x2 20ax 29a2 0 又 gh 12 由 gh 得 12 得a 1 b2 3 双曲线方程为x2 1 考点二解析几何与平面向量的综合应用问题命题规律以向量为载体的解析几何问题 是近几年各省市新课程高考中出现的一种新题型 这种问题往往融向量 解析几何 方程 不等式等知识于一体 能有效考查学生的思维水平和综合能力 例2已知直线l x my 1过椭圆 1的右焦点f 且交椭圆于a b两点 点a b在直线g x 4上的射影分别为d e 1 若直线l交y轴于点m 且 1 2 当m变化时 求 1 2的值 2 连结ae bd 试探索当m变化时 直线ae bd是否相交于一定点n 若交于定点n 请求出点n的坐标 并给予证明 否则说明理由 分析 1 由直线与椭圆的位置关系建立方程组 利用韦达定理和向量共线求出 1 2的值 2 利用向量证明a n e及b n d共线 从而得出结论 解析 1 由已知知m 0 故可得m 0 设a x1 y1 b x2 y2 由得 3m2 4 y2 6my 9 0 y1 y2 y1y2 由 1 得 x1 y1 1 1 x1 y1 y1 1y1 1 1 同理 2 1 1 2 2 2 2 2 当m 0时 a 1 b 1 d 4 e 4 四边形abed为矩形 n 0 不妨设m 0时 点n的坐标是 0 d 4 y1 e 4 y2 x1 y1 y2 由 x1 y2 y1 my1 1 y2 y1 y1 y2 my1y2 0 即a n e三点共线 同理可证b n d三点共线 综上 对任意实数m 直线ae bd相交于定点n 0 点评 本例将向量与解析几何结合在一起 考查综合运用知识解决数学问题的能力 主要考查直线与圆锥曲线的关系 向量的坐标表示 向量共线的充要条件 同时考查了设而不求的数学方法 解决这类问题 首先要理清知识顺序 弄明白未知与已知 在计算与变形的过程中逐步展开思维 寻找突破口 提高自己分析问题 解决问题的能力 逐步树立解决高难度综合题的信心 互动变式2如图所示 abc为直角三角形 c 90 若 0 4 m在y轴上 且 点c在x轴上移动 1 求点b的轨迹e的方程 2 过点f 0 的直线l与曲线e交于p q两点 设n 0 a a 0 与的夹角为 若 恒成立 求a的取值范围 3 设以点n为圆心 为半径的圆与曲线e在第一象限的交点为h 若圆在点h处的切线与曲线e在点h处的切线互相垂直 求a的值 解析 1 m是bc的中点 设b x y 则m 0 c x 0 2x y x 4 c 90 ob ca 0 即 2x y x 4 0 x2 2y x 0 2 设直线l的方程为y kx p x1 y1 q x2 y2 x1 y1 a x2 y2 a 由得x2 2kx 1 0 x1 x2 2k x1x2 1 由 0知 x1 y1 a x2 y2 a 0 即x1x2 y1y2 a y1 y2 a2 0 又y1 kx1 y2 kx2 x1x2 1 k2 k ak x1 x2 a a2 0 k2 恒成立 0 又a 0 a 3 由题意知 nh是曲线e的切线 设h x0 y0 则y x x0 x0 knh x0 又 x02 y0 a 2 2 x02 2y0 消去x0 y0 得2a2 a 1 0 解得a 1或a a 0 a 考点三对称性问题命题规律对称问题是解析几何的基本问题之一 也是了解解析几何的基本思想及利用坐标法研究几何问题的主要方法 本部分主要考查考生分析问题 解决问题的能力 对称问题主要有 点关于点对称 直线关于点对称 曲线关于点对称 点关于直线对称 直线关于直线对称 曲线关于直线对称等 学会利用中点 垂直 存在这三个条件进行求解 例3已知椭圆c 1 试确定m的取值范围 使得椭圆上有两个不同的点关于直线y 4x m对称 分析 两点关于直线对称 则两点连线与对称轴垂直且两点的中点在对称轴上 将此作为切入点可得解 解析 法一 设p x1 y1 q x2 y2 是椭圆上关于直线l y 4x m对称的两个点 则kpq 设p q所在直线为y b 由消去y 得13x2 8bx 16b2 48 0 8b 2 4 13 16b2 48 0 解得b2 又x1 x2 b x1x2 设pq的中点为m x y 则x y 点m b 在直线y 4x m上 b 4 b m b m m 2 解得 m 当 m 时 椭圆上有两个不同的点关于直线y 4x m对称 法二 用点差法设椭圆上关于l对称的点为p x1 y1 q x2 y2 pq的中点为 x0 y0 则有3 x1 x2 4 y1 y2 kpq 0 y0 3x0 由于点 x0 y0 在椭圆内部 故13m2 4 m 点评 本题的两种解法是处理圆锥曲线上两点关于某直线对称题型的两种典型方法 而 法一 是将对称转化用判别式大于零求解 一般要利用已知条件建立一个等式与一个不等式 法二 称为 点差法 主要用来处理弦的中点问题 互动变式3已知双曲线c的中心在原点 抛物线y2 2x的焦点是双曲线c的一个焦点 且双曲线过点 1 1 求双曲线的方程 2 设直线l y kx 1与双曲线c交于a b两点 试问 k为何值时 是否存在实数k 使a b两点关于直线y mx对称 m为常数 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意设双曲线方程为 1 a 0 b 0 把 1 代入得 1 又y2 2x的焦点是 0 则c2 a2 b2 联立 消去b2可得4a4 21a2 5 0 4a2 1 a2 5 0 a2 a2 5 不合题意 舍去 于是b2 1 双曲线方程为4x2 y2 1 2 由消去y得 4 k2 x2 2kx 2 0 当 0即 2 k 2 k 2 时 l与c有两个交点a b 设a x1 y1 b x2 y2 故 0 即x1x2 y1y2 0 由 知x1 x2 x1x2 y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 代入可得 k2 k 1 0 化简得k2 2 k 检验知符合条件 故当k 时 若存在实数k满足条件 则由 得m x1 x2 k x1 x2 2 把x1 x2 代得 得mk 4 这与 中mk 1矛盾 故不存在满足条件的实数k 考点四定点 定值问题命题规律圆锥曲线中的定点 值 是高考中经常考查的题型 是解析几何中较难的一部分内容 解决这类问题时 要运用辩证的观点去思考分析 在 变 中寻求 不变 用特殊探索法 即用特殊值 特殊位置 特殊图形等 先确定出定点或定值 再进行证明 例4已知中心在原点的椭圆c过点m 1 f 0 是椭圆的左焦点 p q是椭圆c上的两个动点 且 pf mf qf 成等差数列 1 求椭圆c的标准方程 2 求证 线段pq的垂直平分线经过一个定点a 分析 1 由特定系数法求出方程 2 由 pf mf qf 成等差数列得出p m q的横坐标成等差数列 取特殊位置 pq与x轴垂直 发现a点坐标为 0 再进行证明 解析 1 设椭圆c的标准方程为 1 由已知得 椭圆c的标准方程为 1 2 设p x1 y1 q x2 y2 由 1 知椭圆的标准方程为 1 2 x1 2 2 x2 2 pf a ex1 2 x1 同理 qf 2 x2 mf 2 2 mf pf qf 2 2 4 x1 x2 x1 x2 2 从而有 设线段pq的中点为n 1 n 由kpq 得线段pq的中垂线方程为y n 2n x 1 2x 1 n y 0 该直线恒过一个定点a 0 当x1 x2时 则p 1 q 1 或q 1 p 1 此时 线段pq的中垂线是x轴 也过点a 0 线段pq的中垂线过点a 0 点评 在解析几何问题中 有些几何量和参数无关 这就构成定点 值 问题 解决这类问题常通过取特殊值 位置 来确定 定点 定值 再证明 解决这类问题方法有两种 1 从特殊入手 求出定点 定值 再证明这个点 值 与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算的过程中消去变量 从而得到定点 定值 互动变式4双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 a f分别是双曲线的左顶点 右焦点 过点f的直线l交双曲线的右支于p q两点 交y轴于r点 ap aq分别交右准线于m n两点 1 若 5 求直线l的斜率 2 证明 m n两点的纵坐标之积为定值 解析 1 设p x1 y1 q x2