高考数学第一轮复习考纲《导数在研究函数中的应用》课件40 理.ppt

第2讲导数在研究函数中的应用1 函数的单调性与导数的关系一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间 内 单调递增 单调递减 2 判别f x0 是极大 极小值的方法若x0满足f x0 0 且在x0的两侧f x 的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的 点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的 f x0 是 极大值 极小值 极小值 d 1 函数f x x3 3x2 1是减函数的区间为 a 2 b 2 c 0 d 0 2 2 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极 值 则a d a 2 b 3 c 4 d 5 3 函数y 2x3 3x2 12x 5在区间 0 3 上最大值与最小 值分别 a a 5 15 b 5 4 c 4 15 d 5 16 a 解析 y ex xex 2 斜率k e0 0 2 3 所以 y 1 3x 即y 3x 1 考点1 讨论函数的单调性 例1 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间与极值点 y 3x 1 5 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 解题思路 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值 解析 1 f x 3x2 3a 曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 2 f x 3 x2 a a 0 当a 0时 f x 0 函数f x 在 上单调递增 此时函数f x 没有极值点 当x a 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x a a 时 f x 0 函数f x 单调递减 当x a 时 f x 0 函数f x 单调递增 此时x a是f x 的极大值点 x a是f x 的极小值点 本题出错最多的就是将 1 中结论a 4用到 2 中 互动探究 1 设函数f x xekx k 0 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 3 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 考点2 导数与函数的极值和最大 小 值 例2 设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 互动探究 考点3 构造函数来证明不等式 例3 已知函数f x 是 0 上的可导函数 若xf x f x 在x 0时恒成立 2 求证 当x1 0 x2 0时 有f x1 x2 f x1 f x2 所以函数g x 因为xf x f x 所以g x 0在x 0时恒成立 f x x 在 0 上是增函数 2 由 1 知函数g x f x x 在 0 上是增函数 所以当x1 0 x2 0时 两式相加得f x1 x2 f x1 f x2 ln x 1 x 1 x 1 互动探究 3 已知函数f x ln x 1 x 1 求函数f x 的单调递减区间 2 若x 1 证明 1 1x 1 1 解 函数f x 的定义域为 1 f x 1x 1 x 由f x 0及x 1 得x 0 所以当x 0 时 f x 是减函数 即f x 的单调递减区间是 0 2 证明 由 1 知 当x 1 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 因此 当x 1时 f x f 0 即ln x 1 x 0 1 x 1 所以ln x 1 x 令g x ln x 1 1x 1 则g x 11x 1 x 1 2 x x 1 2 当x 1 0 时 g x 0 当x 0 时 g x 0 所以当x 1时 g x g 0 即ln x 1 1x 1 1 0 ln x 1 1 1 综上可知 若x 1 则1 1x 1 ln x 1 x 错源 f x0 0是f x0 为极值的必要但不充分条件例4 已知函数f x x3 3mx2 nx m2在x 1时有极值0 则m n 误解分析 对f x 为极值的充要条件理解不清 导致出现多解 正解 f x 3x2 6mx n 由题意 f 1 3 6m n 0 f 1 1 3m n m2 0 即x 1不是f x 的极值点 应舍去 故m 2 n 9 纠错反思 f x 0是f x0 为极值的必要但不充分条件 判断x0不是极值点需要检查x0侧f x 的符号 如果左正右负 那么f x0 是函数f x 的一个极大值 如果左负右正 那么f x0 是函数f x 的一个极小值 如果符号相同 那么f x0 不是函数f x 的极值 此题就没有讨论在两种情况下 f 1 是不是为极值 本题说明用导数求函数极值时一定要判断某函数值是不是极值 要检验相关区间内导数的符号 互动探究 4 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图像如图4 c 2 1 则y f x 的图像最有可能的是 图4 2 1 解析 由导函数的图像知 导函数在x 0和x 2时的导函数值为0 故原来的函数y f x 在x 0和x 2时取得极值 当x 0或x 2时 导函数值为正 或0 当0 x 2时 导函数值为负 所以当x 0或x 2时函数y f x 为增函数 当0 x 2时 函数y f x 为减函数 故选项为c 1 证明a 0 2 若z a 2b 求z的取值范围 解析 f x ax2 2bx 2 b 1 由函数f x 在x x1处取得极大值 在x x2处取得极小值 知x1 x2是f x 0的两个根 所以f x a x x1 x x2 当x0 由x x10 2 在题设下 0 x1 1 x2 2等价于 图4 2 2 1 求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 2 求函数最值的步骤 1 求出f x 在 a b 上的极值 2 求出端点函数值f a f b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 1 2010年佛山调研 已知函数f x x2 ax blnx x 0 实 数a b为常数 1 若a 1 b 1 求函数f x 的极值 2 若a b 2 讨论函数f x 的单调性 1 求函数f x 为奇函数的充要条件 2 若任取a 0 4 b 0 3 求函数f x 在r上是增函数 的概率 所以f x 为奇函数 故f x 为奇函数的充要条件是a 1 2 因为f