高考数学复习方案 第2单元第11讲 函数与方程课件 理 北师大版.ppt

第11讲 函数与方程 第11讲函数与方程 知识梳理 1 一般地 如果函数y f x 的图像与横轴有交点 我们把这个交点的 称为这个函数的 2 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有 函数y f x 有 3 1 如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 2 并且满足 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即至少存在一个c a b 使 满足上面条件 1 2 后 在 a b 内存在的c不一定只有一个 第11讲 知识梳理 横坐标 零点 交点 零点 f a f b 0 f c 0 4 函数f x 的图像是一条连续的曲线 且在区间 a b 上有f a f b 0 通过不断地选取区间的中点 把函数f x 所在的零点区间 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为 第11讲 知识梳理 一分为二 二分法 要点探究 探究点1方程的根与函数的零点 第11讲 要点探究 思路 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数 答案 b 第11讲 要点探究 解析 当x 0时 令x2 2x 3 0 解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0 解得x e2 所以已知函数有2个零点 选b 点评 函数f x 的零点是一个实数 不是点 就是方程f x 0的实数根 也是函数y f x 的图像与x轴的交点的横坐标 因此判断零点的个数就是判断方程f x 0的实根个数 有时也可以根据函数图像的交点来判断零点的个数 如 第11讲 要点探究 变式题 函数y lnx 2x 6的零点个数为 答案 一个 解析 在同一坐标系画出y lnx与y 6 2x的图像 由图可知两图像只有一个交点 故函数y lnx 2x 6只有一个零点 探究点2函数零点位置的判断 第11讲 要点探究 思路 对于区间上连续不断的函数 在区间 a b 内寻根 往往需要利用零点的存在性定理判断 即判断f a f b 0是否成立 例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 第11讲 要点探究 解答 1 方法一 因为f 1 20 0 f 8 22 0 所以f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18在x 1 8 上存在零点 方法二 令x2 3x 18 0 解得x 3或6 所以函数f x x2 3x 18在x 1 8 上存在零点 2 f 1 1 0 f 2 5 0 f x x3 x 1在x 1 2 上存在零点 3 f 1 log2 1 2 1 log23 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x在x 1 3 上存在零点 点评 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间 a b 上是否存在零点的定理 该定理只能判断存在零点 不能判断区间 a b 不存在零点 即如果函数y f x 在区间 a b 上有f a f b 0 函数在区间 a b 上也可能存在零点 如 第11讲 要点探究 变式题 答案 d 2009 天津卷 设函数f x x lnx x 0 则y f x a 在区间 1 e 内均有零点b 在区间 1 e 内均无零点c 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点d 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 解答 由题意得f x 令f x 0 得x 3 令f x 0 故选择d 探究点3二次函数零点的分布问题 例3已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 第11讲 要点探究 思路 设出二次方程对应的函数 可画出相应的示意图 然后用函数性质加以限制 点评 本题综合考查了二次函数 二次方程以及二次不等式等的基本关系 有效地训练对 三个二次 的整体理解与掌握 解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法 第11讲 要点探究 第11讲 要点探究 第11讲 要点探究 变式题 求a为何值时 方程9 x 2 4 3 x 2 a 0有实根 探究点4利用函数零点求参数 例4 1 若函数f x ax2 x 1有且仅有一个零点 求实数a的值 第11讲 要点探究 思路 函数的类型为初等函数 因此可以利用方程的思想求解 第11讲 要点探究 思路 通过图像变换法作出函数的图像 利用数形结合思想求解 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 解答 若f x 4x x2 a有4个零点 即 4x x2 a 0有四个根 即 4x x2 a有四个根 令g x 4x x2 h x a 作出g x h x 的图像 由图像可知如果要使 4x x2 a有四个根 那么g x 与h x 的图像应有4个交点 故需满足0 a 4 即 4 a 0 a的取值范围是 4 0 第11讲 要点探究 点评 函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想 其要点是通过构造函数 把函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题 第11讲 要点探究 变式题 已知函数f x x x 4 5 当方程f x a有三个根时 求实数a的取值范围 规律总结 第11讲 规律总结 1 方程的根 从数的角度看 函数图像与x轴的交点的横坐标 从形的角度看 函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2 函数零点的求法 1 代数法 利用公式法 因式分解法 直接法求方程f x 0的根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 3 二分法 主要用于求函数零点的近似值 第11讲 规律总结 3 要注意对于在区间 a b 上的连续函数f x 若x0是f x 的零点 却不一定有f a f b 0 即f a f b 0仅是f x 在 a b 上存在零点的充分条件 而不是必要条件 4 有关函数零点的重要结论 1 若连续不断的函数f x 是定义域上的单调函数 则f x 至多一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数