专题03 导数与应用-备战2017高考高三数学（理）全国各地一模金卷分项解析版 Word版含解析

【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题三 导数与应用一、选择题【2017云南师大附中月考】若函数f(x)=lnx与函数g(x)=x2+2x+a(x0)，在区间0,2上存在三个不同的实数a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是 （ ）A. m4+42 B. 0m2+22 C. 4-42m4+42 D. 0m4+42【答案】D【解析】因f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，故当时，f/(x)0，函数f(x)单调递增，故fmin(x)=1-3+2+m=m，又f(0)=2+m,f(2)=m+4，所以fmax(x)=4+m，由题设可得(m+4)22m2，解之得4-42m0，所以0m0,e为自然对数的底数），f(x)是f(x)的导函数.（）当a=2时，求证f(x)1；（）是否存在正整数，使得对一切x0恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在且为.【解析】（）当a=2时，f(x)=ex-x2，则f(x)=ex-2x ，令f1(x)=f(x)=ex-2x，则f1(x)=ex-2 ，令f1(x)=0，得x=ln2，故f(x)在x=ln2时取得最小值，在上为增函数， ，（）f(x)=ex-ax ，由，得对一切x0恒成立，当x=1时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1，2.下面证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=exx2-2x-lnx ，则g(x)=(x-2)exx3+2x2-1x=(x-2)(ex-x)x3 ，由（） ， ，当0x2时，g(x)2时，g(x)0 ，即g(x)在(0,2)上是减函数，在上是增函数， ，当a=2时，不等式恒成立所以的最大值是2.【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决【2017云南师大附中月考】已知函数f(x)=ex-x2-ax.（1）若曲线y=f(x)在点x=0处的切线斜率为1，求函数f(x)在0,1上的最值；（2）令g(x)=f(x)+12(x2-a2)，若x鈮?时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当a=0且x0时，证明f(x)-ex鈮lnx-x2-x+1.【答案】（）； （）； （）证明过程见解析. 【解析】（）f(x)=ex-2x-a，f(0)=1-a=1，a=0，f(x)=ex-2x，记h(x)=ex-2x，h(x)=ex-2，令h(x)=0得x=ln2当时，单减；当时，单增，h(x)min=h(ln2)=2-2ln20，故f(x)0恒成立，所以f(x)在上单调递增， （ii）当1-a1时，m(x)在上单增，且m(0)=1-a0，当1a0，使m(x0)=0，即ex0=x0+a当时，m(x)0，即单增，由ex0=x0+a，a=ex0-x0，记，t(x)=ex-10，t(x)在上单调递增，10，等价于令h(x)=exx-lnx-1x-e+1，则h(x)=(x-1)(ex-1)x2x0，ex-10当0x1时，h(x)1时，h(x)0，h(x)单增h(x)在x=1处有极小值，即最小值，h(x)鈮(1)=e-1-e+1=0，a=0且x0时，不等式f(x)-ex鈮lnx-x2-x+1成立【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，不等式成立，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，（3）构造辅助函数h(x)，求导h(x)，求出在的单调性，可求出h(x)的最小值，即可证明不等式成立，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性.【2017湖北武汉武昌区调研】已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx .（）讨论f(x)的单调性；（）设a0，证明：当0xa时，f(a+x)0 .【答案】（）f(x)在(0,a)上单调递减，在上单调递增；（）当0xa时，f(a+x)f(a-x)；（）证明过程见解析（）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，则g(x)=12(a+x)2+(1-a)(a+x)-aln(a+x)-12(a-x)2+(1-a)(a-x)-aln(a-x) =2x-aln(a+x)+aln(a-x) .求导数，得g(x)=2-aa+x-aa-x=-2x2a2-x2 ，当时0xa，g(x)0，鈭磄(x)在(0,a)上是减函数.而g(0)=0，鈭磄(x)g(0)=0 ，故当0xa时，f(a+x)0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)0，不妨设0x1x2，则0x1ax2， ，由（）得f(2a-x1)=f(a+a-x1)2a-x1，于是x1+x22a，由（）知，f(x1+x22)0 .【点晴】本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间（）通过构造函数g(x)=f(a+x)-f(a-x)，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数g(x)当0xg(x1+x22).【答案】（1）答案见解析； (2)证明过程见解析.（）若a0，h(-a)=h(0)=10.两根x1,x2在区间(0,-a)上，可知当x-a时函数h(x)单调递增，h(x)h(-a)0，所以g(x)0，所以g(x)在区间上递增.（）若a2，则h(x)=2x2+2ax+1图象的对称轴x=-a20.，所以-ax1x2，当x1xx2时，h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(x1,x2)上单调递减.当-axx2时，h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在上单调递增.综上，当时，g(x)在区间上单调递增；当a2时，g(x)在(-a-a2-22,-a+a2-22)上单调递减，在上单调递增.【点睛】本题主要考查导数与单调性的知识，考查利用导数来证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数学思想和化归与转化的数学思想方法.求导之前要先求定义域.求导通分后往往只需要研究导函数的分子.本题利用分子的判别式进行分类讨论.第一问要证明不等式，采用的是差比较法，做差后利用导数求得右边函数的最小值大于零即可得证.【2017四川资阳上学期期末】已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2（其中a鈭圧,e为自然对数的底数，）（1）若f(x)仅有一个极值点，求的取值范围；（2）证明：当0a12时，f(x)有两个零点x1,x2，且-3x1+x2-2【答案】（1）0,1；(2)证明过程见解析.（2）由（1）当0a0对于0a12恒成立，f(-1)=-ae0对于0a0对于0a12恒成立，当-2x-1时，f(x)有一个零点x1，当-1x0时， f(x)有另一个零点x2，即-2x1-1,-1x20，且f(x1)=ax1ex1-(a-1)(x1+1)2=0,f(x2)=ax2ex2-(a-1)(x2+1)2=0，（#）所以-3x1+x2-1，下面再证明x1+x2-2，即证x1-2-x2，由-1x20得-2-2-x2-1，由于xf(-2-x2)，也就是证明f(-2-x2)0，f(-2-x2)=a(-2-x2)e-2-x2-(a-1)(-x2-1)2=a(-2-x2)e-2-x2-(a-1)(x2+1)2，借助（#）代换可得f(-2-x2)=a(-2-x2)e-2-x2-ax2ex2=a(-2-x2)e-2-x2-x2ex2，令g(x)=(-2-x)e-2-x-xex(-1x0)，则g(x)=(x+1)(e-2-x-ex)，h(x)=e-2-x-ex为(-1,0)的减函数，且h(-1)=0，g(x)=(x+1)(e-2-x-ex)0在(-1,0)恒成立，于是g(x)为(-1,0)的减函数，即g(x)g(-1)=0，f(-2-x2)0，这就证明了x1+x2-2，综上所述，-3x1+x2aa-1，求的取值范围.【答案】（1）b=1；（2）.（2）g(x)的定义域为，g(x)=ax+(1-a)x-1=1-ax(x-a1-a)(x-1)，若，则，故当时，g(x)0，g(x)在上单调递增.所以，对任意x鈮?，都有g(x)aa-1的充要条件为g(1)aa-1，即1-a2-1aa-1，解得a-2-1或.若12a1，故当时，g(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增.所以，对任意x鈮?，都有g(x)aa-1的充要条件为g(a1-a)aa-1，而g(a1-a)=alna1-a+a22(1-a)+aa-1aa-1在12a1上恒成立，所以12a1，g(x)在上递减，不合题意.综上，的取值范围是.【2017江西师大附中、临川一中联考】已知函数f(x)=12x2，g(x)=alnx（1）若曲线y=f(x)-g(x)在x=1处的切线的方程为6x-2y-5=0，求实数的值；（2）设h(x)=f(x)+g(x)，若对任意两个不等的正数，都有h(x1)-h(x2)x1-x22恒成立，求实数的取值范围；（3）若在1,e上存在一点x0，使得f(x0)+1f(x0)g(x0)-g(x0)成立，求实数的取值范围【答案】(1) a=-2 (2) （3）（3）不等式f(x0)+1f(x0)g(x0)-g(x0)等价于x0+1x0alnx0-ax0，整理得x0-alnx0+1+ax00设m(x)=x-alnx+1+ax，由题意知，在1,e上存在一点x0，使得m(x0)0，所以x+10，即令m(x)=0，得x=1+a 当1+a鈮?，即a鈮?时，m(x)在1,e上单调递增，只需m(1)=2+a0，解得a-2 当，即时，m(x)在x=1+a处取最小值令m(1+a)=1+a-aln(1+a)+10，即a+1+1aln(a+1)，可得a+1+1aln(a+1)考查式子t+1t-1e，即ae-1时，m(x)在1,e上单调递减，只需m(e)=e-a+1+aee2+1e-1综上所述，实数的取值范围是【2017湖北重点中学联考】设函数f(x)=ex-ax-1,对鈭x鈭圧,f(x)鈮?恒成立.（1）求的取值集合；（2）求证：【答案】(1) 1 (2)详见解析 (2)由(1)可得ex-x-10(x0)，xln(x+1)(x0)，令x=1n，则1nln(1n+1)=lnn+1n=ln(n+1)-lnn，所以【2017河北衡水六调】设函数f(x)=lnx,g(x)=m(x+n)x+1(m0)（1）当m=1时，函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数y=f(x)-g(x)在定义域内不单调，求m-n的取值范围；（3）是否存在正实数，使得f(2ax)路f(eax)+f(x2a)鈮?对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由【答案】（1）n=5；（2）m-n3；（3）a=22(3)令，其中x0,a0，则h(x)=aln2a-alnx-a+1x，则k(x)=aln2a-alnx-a+1x，则k(x)=-ax-1x2=-ax+1x20，a=22，存在满足条件的实数，且a=22【点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法， 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数f(x)，利用f(x)m恒成立鈬攆(x)minm；f(x)m恒成立鈬攆(x)maxm，即可求出参数范围.【2017江西上饶一模】已知函数（为常数）（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值【答案】（1）时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；（2）.当时，即在上单调递增；当时，故，即在上单调递增所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为（2）由得，由已知有两个互异实根，由根与系数的关系得，因为，（）是的两个零点，故 由得：，解得，因为，得，将代入得，所以，设，因为，所以，所以，所以，所以构造，得，则在上是增函数，所以，即的最小值为【2017内蒙包头十校联考】已知函数（其中，）.（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）.【答案】(1) ；（2）存在实数，使得恒成立.综上所述，的取值范围是4分（2），其中.（）当时，于是在上为减函数，则在上也为减函数.知恒成立，不合题意，舍去.6分（）当时，由得，列表得0最大值8分若，即，则在上单调递减.知，而，于是恒成立，不合题意，舍去.若，即.则在上为增函数，在上为减函数，要使在恒有恒成立，则必有则，所以11分由于，则，所以.综上所述，存在实数，使得恒成立.12分【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为.【2017山西五校联考】已知函数（1）若曲线在点处的切线与曲线的公共点的横坐标之和为3，求的值；（2）当时，对任意，使恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) ；（2）.（2），令，则，令，则或，因为，所以，所以当和时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数的极小值为，又，令，易知，当时，函数单调递增，故，所以，即当时， 9分又，其对应图像的对称轴为，所以时，所以，故有，又，因为，所以，所以 12分 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 .【2017广东深圳一模】已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数（1）求曲线y=f(x)在x=e-2处的切线方程；（2）关于的不等式f(x)鈮?x-1p:v:v:v:v)在上恒成立，求实数的值；（3）关于的方程f(x)=a有两个实根x1,x2，求证：|x1-x2|2a+1+e-2【答案】（1）y=-x-e-2；（2）；（3）见解析【解析】（1）对函数f(x)求导得f(x)=lnx+x路1x=lnx+1，f(e-2)=lne-2+1=-1，又f(e-2)=e-2lne-2=-2e-2，曲线y=f(x)在x=e-2处的切线方程为y-(-2e-2)=-(x-e-2)，即y=-x-e-2；当变化时，变化情况列表如下：(0,1)1+0-极大值，故当且仅当时取等号，又，从而得到；（3）先证，记h(x)=f(x)-(-x-e-2)=xlnx+x+e-2，则h(x)=lnx+2，令h(x)=0，得x=e-2，当变化时，h(x),h(x)变化情况列表如下：(0,e-2)e-2h(x)-0+h(x)极小值，恒成立，即，记直线y=-x-e-2,y=x-1分别与y=a交于(x1,a),(x2,a)，不妨设x1x2，则，从而x1x1，当且仅当a=-2e-2时取等号，由（2）知，则，从而，当且仅当a=0时取等号，故，因等号成立的条件不能同时满足，故|x1-x2|2a+1+e-2【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设，曲线在点处的切线与直线垂直. （）求的值；（）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；（）求证：【答案】（）（）（）详见解析（），即设，即. -3分若，这与题设矛盾 若当，单调递增，与题设矛盾.若当，单调递减，即不等式成立综上所述， .- -7分吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则 （ ）A B C D2.若是虚数单位，且，则的值为 （ ）A B C D3. 已知向量，若，则实数（ ）A或 B或 C D 4. 等差数列的前项和为，且，则公差 （ ）A B C. D5. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A B C. D6. 某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：收入 （亿元）支出 （亿元）根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2017年该公司收入为亿元时的支出为 （ ）A亿元 B亿元 C. 亿元 D亿元7.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 （ ）A B C. D8. 若实数满足，且，则的最大值为（ ）A B C. D9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D10. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（ ）A B C. D11.已知三棱锥，满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）A B C. D12.已知双曲线，点是抛物线上的一动点，且到双曲线的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则双曲线的实轴长为 （ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则 14.设等比数列的前项和为，若，则 15. 我国古代数学著作九章算术有如下问题: “今有人持金出五关，前二关而税一，次关而三税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤. 问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的关所收税金之和，恰好重斤. 问原本持金多少? ” 若将題中“关所收税金之和恰好重斤，问原本持金多少? ”改成“假设这个人原本持金为，按此規律通过第关” ，则第关需收税金为 16.点是圆上的动点，以点为直角顶点的另外两顶在圆上，且的中点为，则的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中的内角的边分别为 ，且满足.（1）求的面积；（2）若 ,求的值.18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面为上一点，且. （1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积.19. 中新网2016年12月19日电根据预报，今天开始雾霾范围将进一步扩大，日夜间至日，雾霾严重时段部分地区浓度峰值会超过微克/立方米. 而此轮雾霾最严重的时段，将有包括京津冀、山西、陕西、河南等个省市在内的地区被雾霾笼罩. 是指大气中直径小于或等于微米的顆粒物，也称为可人肺颗粒物. 日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标.某地区在2016年12月19日至28日每天的监测数据的茎叶图如下： （1）求出这些数据的中位数与极差；（2）从所给的空气质量不超标的天的数据中任意抽取天的数据，求这天中恰好有天空气质量为一级，另一天空气质量为二级的概率.20. 已知椭圆经过点,离心率为，点坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于两点，记弦的中点为，过作的垂线交直线于点，证明：点在一条定直线上.21. 已知函数. （1）当时，试求函数的单调区间；（2）若在区间内有极值，求的取值