2015届高考数学（理）二轮练习：活用“审题路线图”破解高考不再难（含答案）

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段其中第一步弄清问题就是我们常说的审题审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能例1(2014重庆)已知函数f(x)sin(x)(0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f()(0(已知)2条件：f(x)图象关于直线x对称f()取到最值2k(kZ)(已知)条件：f()代入f(x)sin()条件cos()欲求cos()sin sin()sin cos()解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期为T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ.由，得k0，所以.(2)由(1)得f()sin(2)，所以sin().由，得0，所以cos().所以cos()sin sin()sin()coscos()sin. (2014四川)已知函数f(x)sin(3x)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f()cos()cos 2，求cos sin 的值解(1)因为函数ysin x的单调递增区间为2k，2k，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有sin()cos()(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos cossin sin)(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时，cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向例2已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方审题路线图求f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求f(x)0的解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，所以在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方 (2014课标全国)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)单调递增所以，存在x 01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)单调递减，在(，)单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f()，所以不合题意若a1，则f(1)10，|02f(x)图象过点(，0)Atan(2)0k，kZ|f(x)图象过点(0,1)A1f()tan(2)答案解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0Atan(2)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|0)a12(下面的变形是有条件的，条件是n2)anSnSn1aanaan1(不变形怎么办？肯定要进行代数式变形)(anan1)(anan12)0(注意到an0了吗？anan10)anan12(关于等差数列的定义不用重复了吧！)an2(n1)22n(注意到bn与an的关系了吗？n是分奇偶的)b1a12；b2b12；b3a36；b4b22(cn与bn的关系很特殊！)c1b6b36c2b8b42(下面变化的条件是n3，这可是细节啊！)cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12.Tnc1c2c3cn62(222)(232)(2n12)2n2n(不要忘了当n1，n2时，对Tn的表达式的验证)Tn解(1)a1S1aa1aa10，因为a10，故a12；当n2时，anSnSn1aanaan1，所以(aa)(anan1)0，即(anan1)(anan12)0.因为an0，所以anan12，即an为等差数列，所以an2n (nN*)(2)c1b6b3a36，c2b8b4b2b1a12，n3时，cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12，此时，Tn8(222)(232)(2n12)2n2n；当n2时，T222228c1c2.所以Tn点评从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着 (2014浙江)已知数列an和bn满足a1a2a3an()bn(nN*)若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn；(2)设cn(nN*)记数列cn的前n项和为Sn.求Sn；求正整数k，使得对任意nN*，均有SkSn.解(1)由题意知a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2()n(n1)故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn(nN*)因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn，而0，得1，所以，当n5时，cn1 BmCm1 D.m1解析：m(3i)(2i)(3m2)(m1)i由题意，得解得m1.答案：D5若复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为()A BiC. D.i解析：由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.答案：A6已知复数z1，则1zz2z2 015()A1i B1iCi D0解析：z11i，1zz2z2 0150.答案：D7(2017芜湖一模)已知i是虚数单位，若z1ai，z2ai，若为纯虚数，则实数a()A. BC.或 D0解析：是纯虚数，解得a.答案：C8在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为()A. B1C.i Di解析：i，i，则A(，)，B(，)，线段AB的中点C(，0)，故点C对应的复数为，选A.答案：A二、填空题9复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析：复数z(12i)(3i)55i，其实部是5.答案：510(2016天津卷)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：(1i)(1bi)1b(1b)ia，所以b1，a2，2.答案：211已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.解析：因为bi，所以2aibi.由复数相等的充要条件得b2，a1，故ab1.答案：112在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_解析：解法1：由题意可知.解法2：i，.答案：1(2017河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|()A2 B3C2 D3解析：z12i，z2i，z1z22，故选A.答案：A2设复数z3i(i为虚数单位)在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OB，则点B在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为复数z对应点的坐标为A(3,1)，所以点A位于第一象限，所以逆时针旋转后对应的点B在第二象限答案：B3已知i为虚数单位，(z12)(1i)1i，z2a2i，若z1z2R，则|z2|()A4 B20C. D2解析：z1222i，z1z2(2i)(a2i)2a2(4a)i，若z1z2R，则a4，|z2|2，选D.答案：D4已知复数z1cos15sin15i和复数z2cos45sin45i