高考数学（文科）中档大题规范练（圆锥曲线）（含答案）

中档大题规范练圆锥曲线1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实半轴长为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围解(1)设双曲线方程为1 (a0，b0)，由已知，得a，c2，b2c2a21，故双曲线方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意，知解得k1.所以当k1时，直线l与双曲线C的左支有两个交点(3)由(2)，得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2，所以AB中点P的坐标为.设l0的方程为yxb，将P点的坐标代入l0的方程，得b，k1，213k20，b0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，|PF1|.(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程；(2)直线xm与椭圆C1在第一象限的交点为Q，若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M，N，使得36|AQ|235|AM|AN|，求出直线l的方程解(1)在椭圆C1中cm，e，a2m，b23m2，设椭圆C1的方程为1，联立1与y24mx，得3x216mx12m20，即(x6m)(3x2m)0，得x或6m(舍去)，代入y24mx得y，设点P的坐标为(，)，|PF2|m，|PF1|2a，m1，此时，椭圆C1的标准方程为1，抛物线C2的标准方程为y24x.(2)由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，由消去y整理，得(34k2)x232k2x64k2120.由题意知(32k2)24(34k2)(64k212)0，解得kb0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0.因为1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为右焦点(c,0)在直线xy0上，解得c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB方程为xy0，所以设直线CD方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即A(0，)，B，所以可得|AB|；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|CD|，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)，O：x2y2b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是O上的动点(1)若P(1，)，PA是O的切线，求椭圆C的方程(2)是否存在这样的椭圆C，使得恒为常数？如果存在，求出这个常数及C的离心率e；如果不存在，说明理由解(1)由P(1，)在O：x2y2b2上，得b2134.直线PA的斜率kPA，而直线PA的斜率kPA，所以，解得a4.所以a216，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在椭圆C，使得恒为常数设椭圆C的半焦距为c，当P(b,0)时，则有；当P(b,0)时，.依假设有.当cb0时，有，所以(ab)(bc)(ab)(cb)，化简整理得ac，这是不可能的当cb0时，有.所以(ab)(bc)(ab)(bc)，化简整理得acb20.所以c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10.解得e，或e(0,1)(舍去)可见，若存在椭圆C满足题意，只可能离心率e.设P(x，y)为O：x2y2b2上任意一点，则.(*)由上c2a2ac0，得a2c2ac，所以c1，从而.代入(*)式得，所以存在满足题意的椭圆C，这个常数为 ，椭圆C的离心率为e.5已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x (x0)和y0 (x0)(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x1x21.因为l1l2，所以l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484216.当且仅当k2，即k1时，取最小值16.6在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1：y21上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x2的距离之比等于椭圆的离心率动点Q是动圆C2：x2y2r2(1r2)上一点(1)设椭圆C1上的三点A(x1，y1)，B(1，)，C(x2，y2)与点F(1,0)的距离依次成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点？说明理由(2)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P，Q两点的距离|PQ|的最大值解(1)椭圆C1：y21的离心率e，右焦点为(1,0)，由题意可得|AF|(2x1)，|BF|(21)，|CF|(2x2)因为2|BF|AF|CF|，所以(2x1)(2x2)2(21)，即得x1x22.因为A，C在椭圆上，故有y1，y1，两式相减，得kAC.设线段AC的中点为(m，n)，而m1，n，所以与直线AC垂直的直线斜率为ky2y12n.则线段AC的垂直平分线的方程为yn2n(x1)，即yn(2x1)经过定点(，0)即线段AC的垂直平分线过一个定点(，0)(2)依题意得，直线PQ的斜率显然存在，设直线PQ的方程ykxt，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于直线PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有得(2k21)x4ktx12(t21)0.故(4kt)242(t21)(2k21)0，从而可得t212k2，x1，直线PQ与圆C2相切，则r，得t2r2(1k2)，由得k2，并且|PQ|2|OP|2|OQ|21r23r232(1)2.即0|PQ|1，当且仅当r2(1,4)时取等号，故P，Q两点的距离|PQ|的最大值为1.中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11