高等数学案例教学的研究与实践.doc

高等数学案例教学的研究与实践58数学教学研究第3O卷第8期2011年8月高等数学案例教学的研究与实践杨雯靖(-峡大学理学院,湖北宜昌443002)摘要:在高等数学理论体系中,绝大多数的定义,定理或性质与实际应用有关.为适应高等数学创新人才培养的课程体系改革的需要,根据高等数学的不同知识点,采用案例教学法,将其隐含的数学思想引入课堂教学,引导学生用数学知识观察,分析,解决实际问题,有助于提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创造能力,从而提高高等数学的教学质量.关键词:高等数学;案例教学;数学思想;教学质量中图分类号:G6421引言数学是从应用中诞生的.二次世界大战以前,应用数学的研究对象绝大部分与物理学有关.二战期间,数学在高速飞行,火炮控制,物资调运,密码破译及军事运筹等方面发挥了重要作用.现在的数学已从传统的,相对成熟的领域扩展到化学,生物,经济及高新技术领域.早在2O世纪80年代,美国数学教师协会就已经将贯彻”问题解决”方面的成效作为衡量数学教育成败的重要标志之一.之后,英国,日本等教育发达国家都普遍认为”数学只有在解决各种实际问题的情况下才是有用的”,实施提出问题和创造性地解决问题的教学过程才是使学生学习数学知识,树立创新意识,发展数学能力的切实有效的途径.而案例教学就是贯彻”问题解决”方面的其中一种教学形式.案例,就是一个实际情境的描述,在这个情境中,包含一个或多个疑难问题,同时也可能包含解决这些问题的方法.案例教学最早起源于美国哈佛大学,它是指在课堂教学中,教师本着理论与实际相结合的原则,依据教学目的和教学内容的需要以及学生身心发展的特点,运用典型案例,将学生引入一个特定的真实情境中,通过对案例的分析,讨论,引导学生进行自主探究性学习,了解与教学主题相关的概念或理论,以提高学生分析和解决实际问题能力的一种教学方法.高等数学案例教学法的实施可以分为3个步骤:选择案例.教师在上课前要精心选择案例,选取案例时要考虑其目的性,趣味性,代表性,真实性和实用性.分析案例.在引导学生理解案例的基础上,教师提出一些有针对性的问题,引发学生去思考,讨论并归纳出解决问题的思路和方法,然后建立数学模型并求解,得到案例的答案.归纳推广案例.再列举一些类似的案例,分析案例解决的思想方法,通过对比找到共性,归纳并提炼出新的数学概念和方法.2案例教学法实例下面结合高等数学教学实践,介绍高等数学中的几个常见的案例.收稿日期:20110613基金项目:2010年湖北省高等学校省级教学研究项目(项目编号2010189)作者简介:杨雯靖(1971一),女.汉族,硕士,三峡大学理学院副教授.E-mail:第3O卷第8期2011年8月数学教学研究592.1重要极限及其应用在讲重要极限lim(1+)一e时,我们引一.一,们,入一个案例:连续复利问题.设本金为,银行年利率为r,则k年后的本利和为AtAo(1+r);如果一年分期计息,每期利率为二,则是年后的本利和为Ak=Ao(1+寺)威,如果按连续复利计算,即计息的时间间隔任意小,则有计息期数一.,这时,k年后的本利和为A一A.(寺)一A.(1+寺)_A0在自然界中,很多现象的变化都与这个极限有关,比如生物的生长过程就是一个例子.设生物原来的个数为A.,每天生长的百分率为r,于是是天后生物的个数为YA.(1+r).但事实上,很多生物的生长,例如细菌的繁殖,应该以更短的时间来计算.若把一天分为,z期,每期的生长率为,则k天后生物的个数为YA.(1-+-r)?实际上,细菌繁,触殖几乎时刻进行着,因此计算繁殖个数的时间区间可以认为无限缩小,即无限增大,这样k天后生物的个数为y=A.lim.A.(1+寺),l,一A.lim.(lq-r,/一A.e.函数3r=A.e叫做生长律.通过讲解这样的案例,学生就能够体会到重要极限有着广阔的实际背景,从而进一步加深对知识的理解和掌握.2.2零点定理及其应用零点定理:若函数厂(z)在闭区间n,6上连续,并且,(口)与厂(6)异号,那么在(口,6)内至少存在一点,使得厂()一0.在现实生活中,很多问题都和这个定理有关.例如,对任意一个凸多边形,总存在一条直线把它分成面积相等的两部分.考虑一条竖直直线从左至右扫过整个凸多边形,则凸多边形位于直线左边的那部分面积由0逐渐增大为整个凸多边形的面积,直线右侧的面积则由最初的整个凸多边形面积逐渐变为0.若把直线左侧的面积记为厂(z),直线右侧的面积记为g(z),则随着直线位置X的变化,(z)-g(x)的值由一个负数连续地变为了一个正数,它一定经过了一个零点,则在某一时刻一定有,(z)一g(z).还可以引导学生思考一个类似的问题:一块边界形状任意的蛋糕,若在蛋糕上取一点,能否过这点切一刀,使切下的两块蛋糕面积相等?又例如,如果你从海拔为一200的地方走到海拔为300的地方,那不管你是怎么走的,你一定会有经过了海平面的一瞬间.还有一个例子,一张四方桌子在不平的地面上如何才能放稳?如果不稳,我们总是将它旋转一下就放平稳了,这是什么道理呢?这些案例都可以用零点定理来解释.2.3定积分概念及其应用定积分概念是积分学中一个极其重要的概念,它是从很多实际问题中抽象出来的.笔者在给电气专业类学生讲授定积分概念时选择了如下案例.设时刻t秒时流过导线的电流强度i()在时间间隔,丁2上连续,求在这段时间内流过导线横截面的总电量Q().若每一时刻电流强度是不变的,则流过导线横截面的总电量为()(TzT).若不同时刻电流强度不同,就不能按上述方法计算.通过引导和讨论,具体做法如下:分割:在ETT2内插入一1个分点,将其任意分成个小的时间段tl-,ti每段的长度为At=tt卜l(=1,2,z).近似代替:根据函数()的连续性,把60数学教学研究第3O卷第8期2011年8月每个小时间段上的电流强度看作不变,在EtH,t1上任取一个时刻相应得到此时刻的电流强度为i(8),于是得到H,t内流过导线横截面电量的近似值为QI(8)At.求和:把,z个小时间段上流过导线横截面电量的近似值相加,得到丁1,内流过导线横截面总电量的近似值Qn(8)Atf.=1取极限:把,T2无限细分,即小时间段中去求解更为复杂的微分方程.3对案例教学法的评价高等数学案例教学是一种新的教学模式,与传统的教学法相比,案例教学法把抽象的数学概念具体化,大大缩短了教学情景与实际生活情境的差距,缩短了数学与专业课之间的差距,使学生通过对实际问题的解决,理解数学概念本质,通过对具体问题的探究,找出解决问题的方案,从而充分认识到数学知识既来源于实际又是解决实际问题的基本工具,有利于学生创新精神和解决实际问题能力的培养.在高等数学教学中开展案例教学,由于所选择的案例来自于不同的学科领域,往往需要补充一些相关知识,因而会给高等数学教学增加一些额外的负担.同时,案例教学法对教师也提出了更高的要求.因此,教师在采用案例教学法进行教学时,应把握学生的专业知识结构,根据不同的专业选取案例,针对不同的典型问题进行教学.例如:在讲授微分方程时,对电气学院的学生可以选择LRC回路方程的案例,使得他们在学习”电路”等课程时更易理解.在讲授函数的最值时,对经济学专业的学生可选取最小投入,最大收益,利润等典型案例等等.一总之,为适应高等数学创新人才培养的课程体系改革的需要,在传统的高等数学教学中结合学生的专业知识,适当地进行案例教学,能够激发学生的兴趣和求知欲,使学生树立正确的数学观念,拓宽学生的思路,强化数学思维及数学应用意识,提高学生分析和解决实际问题的能力,强化专业知识,对