【毕业学位论文】（Word原稿）基于改进萤火虫算法的PID控制器参数整定

目 录 中文摘要 . 错误 !未定义书签。 . 错误 !未定义书签。 第一章 概述 . 1 究背景及意义 . 1 内外研究现状 . 3 火虫算法的研究进展 . 3 火虫算法的应用 . 5 文主要工作及章节安排 . 6 第二章 研究基础 . 8 优 问题 . 8 法性能评估准则 . 8 性权重 . 9 沌算法 . 9 擦 . 12 . 13 第三章 萤火虫算法分析及改进 . 16 . 16 . 16 . 16 . 18 键参数分析 . 18 法终止条件 . 20 法收敛性 分析 . 21 火虫算法特点 . 22 于惯性权重的萤火虫算法 . 22 法改进 . 23 . 25 沌萤火虫算法 . 28 法改进 . 28 . 30 第四章 基于改进萤火虫算法的 . 32 . 33 . 36 于惯性权重萤火虫算法的 . 37 第五章 基于萤火虫算法的摩擦参数辨识 . 42 流 伺服系统的 . 43 态摩擦模型 . 43 于萤火虫算法摩擦参数辨识 . 45 第六章 结论 . 48 要结论 . 48 在不足 . 48 究展望 . 49 参考文献 . 50 在学期间的研究成果 . 54 致 谢 . 55 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 1 第一章 概述 究背景及意义 在今天这个 讲大数据、推崇 虚拟化、 云计算的时代，快速发展的 科学技术 、信息技术 已成为当今社会的一个重要时代特征。 人类 社会的生产发展和生活质量，比以往任何时代，更加得益于和依赖 自然 科学 和工程 技术的发展，在伴随着人类对自然 科学 、 工程技术 ，特别是信息科学 的 研究 、掌控 程 度 的 加深 、 广度 的延展 ， 使 多种 学科 相互 交叉 、相互 融合，在这个过程中 催生 出 大量 新的研究领域 、新 的 学科， 相应的也出现了很多 新的研究方法和手段， 使我们 获得 了 丰富的、高价值的 研究成果，科 学技术的 发展 得到了空前的繁荣 ， 极大得 促进了与人类生活密切相关的各个领域信息化程度的提高， 加速人类社会 整体向前 进步 的步伐。 科学技术 、信息技术与 军事技术发展、 经济建设 、社会进步、生产力水平的不断提高 息息相关 。 例如 起源于提高火炮射击精度和发射速度的自适应控制技术，已得到快速发展，并已广泛应用于与我们经济生活密切相关的各个领域，从飞机的自动驾驶控制、汽车的自动装配流水线到 冶金冶炼过程中的无人值守自动控制、设备设施生产加工的 数控机床以及与我们日常生活分不开的全自动洗衣机等等，无一例 外改善了我们的生活，节省了人力，提高了安全； 用于战争的 原子弹，使我们实现了利用核能发电，找到了新的能源， 避免了因石油、煤炭被耗尽而出现的能源危机 ；因为当今世界数据 的 大爆炸，人类推出了大数据的概念，发展了云计算技术， 使人类对大数据自身的管理、储存与运算大数据的硬件设备的管理有了更科学的方案 ， 解决了针对大数据的“存”、“管”、“用”三个方面的难题，使人类能从容应对因大数据而产生的诸多挑战， 无数的这些实例说明，科学技术是提高我们人类生活水平和保障能力的强大推动力和重要支撑 。 现实 中 , 一方面，随着信息化在全球的快 速发展、推进， 信息产品和信息服务 与 各 国政府办公 、地区 发展 、企业 管理经营 、家庭、个人 生活息息相关 ， 以 信息技术支撑 的产业 成为 当今经济活动和社会生活的基石， 与信息技术相关的产业也 成为世界各国竞相投资、重点发展的战略性产业； 同时 ， 人类的 经济建设 、高质量的生活需求、以及大自然频频给我们带来的 急需解决的复杂难题 等 ，促使科研 人员进行 不断研究， 不断 获得新成就 ， 小的 成果 如移动设备的重力感应技术，大的方面如无人驾驶技术、自助泊车辅助技术等等， 给我们的工作、生活带来很多便利。但是 人类对于高科技、信息技术的这种需求与期望， 伴随着社 会发展、科技创新不断在增长， 特别 是在 信息领域、自动控制和智能控制 等 领域中， 还 急兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 2 切需要解决好提高计算速度、精度，改进关键控制的自适应、智能化等问题。 在当今社会的生产生活中，许多应用问题不但要精准，还需要实时响应，这对现有的控制系统提出了新标准、新要求，而优化理论的发展，使我们经济、生活中所面临的复杂难题和生产控制过程中的苛刻、零差错需求的解决有了峰回路转的机会。在伴随着计算机技术发展的过程中，一些非常实用的寻优算法纷纷崭露头角，其中拉格朗日乘数法、 、梯度法、牛顿法等理论、算法在推动优 化理论解决实际问题的过程中发挥了非常重要的作用。但是，这些算法在应用中也并非一帆风顺，如在解决含有大规模决策变量问题、多峰多极值优化问题等类似问题的过程中，这些算法存在运行效率低、精度不够高、收敛性不好等问题，不能 完全 满足解决实际应用问题的需要。 众多学者在完善优化经典控制、优化理论方法的同时，把视线投向了大自然、转向了经过大自然的历练进化成功的生物，尝试从生物各自发展生存、适应环境的角度，去探索、开发适合大规模运算、能并行处理、有智能特性等理论、算法，以解决经典控制理论、优化方法解决实际问题所出现的瓶颈问 题，这使得控制理论和优化方法又充满生机、蓬勃发展。 20世纪 40年代 ， 从美国学者 出二值神经元模型以来， 受 生物 进化论思想的启发， 人工智能、并行信息处理、优化控制等方面大量新颖的智能 算法得到了 迅猛 发展 。 人工神经网络 (拟了 生物神经系统的神经元输出特性、连接、并行处理 的 独特方式 ；遗传算法(全学习、 借鉴 了 大自然 适者生存 的进化 规律 ；蚁群优化算法 (用了 蚂蚁 群体 的 分工协 作的 寻径方式； 禁忌搜索 (法模拟了人类 智能的 学习 记忆 机制 ； 模拟退火 (法 基 于物理中固体物质的退火过程 与一般组合优化问题中的相似性 ； 粒子群算法 (拟了鸟群、鱼群的群体合作觅食行为；细菌觅食优化算法（ 拟人类大肠杆菌之间的具有相互合作和排斥行为的觅食行为 。 上述几种算法有一个共同特征，即都源于学习或模拟某些生物的生存本领或 自然界的奇特现象，因此此类算法多用于寻优或并行处理，因此又被统称为群智能优化算法 (群智能算法对待解决问题不要求具有严格的模型，对于目标函数没有严格的约束条件（连续性、凸性、可导、可行域连通等）；此外由于群智能算法的并行处理特性，和经典算法相比，使其在计算复杂度上表现的更加出色，因此智能算法在问世后，短时间内就得到了广泛应用，为优化理论的发展提供了一个崭新的平台， 使优化理论有了更广阔的发展空间 。 本文所研究的 萤火虫算法 1( 是基于生物群智能的随兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 3 机优化算法，通过模拟萤火虫因觅食、择偶等习性而产生的相互因光而吸引移动的行为来解决最优问题。 法是一种介于遗传算法和进化规划之间的进化计算方法 ， 和其它进化算法相似，也是基于群体的，然而它不使用进化算子，而是将每个个体看作是搜索空间中的一个没有体积的微粒，在搜索空间中 移动搜索 ，移动距离的 大小 由 它 周围同伴所发荧光亮度和光强吸收系数决定 。 备群体智能算法的共同特点： 首先，它们都是基于群体的优化技术，亦即搜索轨道有多条，显示出较强的并行性 ； 其 次，无需梯度信息，只需利用目标的取值信息，具有很强的通用性。 发展历史尚短， 虽在寻优速度和精度上与其他算法相比，具有一定优势，但在应用中 还存在 一些 问题有待解决，例如参数选取、早熟收敛、理论基础薄弱等。 所以进一步研究、分析和掌握它的性能、规律，具有理论和应用两个方面重要意义。 内外研究现状 萤火虫算法自 2008 年提出后， 国内外许多学者都进行了研究工作， 已先后产生相关学术文章 数十 篇， 并提出了一些 有效的 改进策略和方法，并在图像处理、生产调度、工程设计、经济管理、优化控制等领域得到 了理论 研究和 工程 应用 。 火虫算法的研究进展 目前对萤火虫算法的研究和改进工作可概括为以下几个方面 ： （ 1） 基于权重系数调节随机移动项的 多种群萤火虫算法 将多种群技术及权重系数因子引入到萤火虫算法，利用多种群技术细分萤火虫种群，使萤火虫子种群能够覆盖待优化问题的各个极值点；利用权重系数调节位置更新公式中的随机移动项，已加强的算法的局部搜索能力 2。 其位置更新公式为： 20( ( ) )i j i ix s x e x x w e i g h t （ 1 （ 2） 结合混沌算法调节光强吸收系数与自由移动 项的 法 提出了 法，将混沌序列引入到光强吸收系数及随机移动项步长因子中，利用混度序列的动态遍历特性调节两控制参数，使算法的寻优效果得到了优化 3。 其位置更新公式及光强吸收系数、自由移动项为： 2()0 1( ) ( ) ( )2i j ix x e x x w e i g h t t r a n d （ 1 1( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) t t t （ 1 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 4 2( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) t t t （ 1 式中： 120 , 4。 的改进算法思路与该算法相似，对光强吸收系数及随机移动项步长因子进行了参数限制，有效改善了算法全局寻优与局部搜索间的平衡能力。 20 1( ) ( )2i j ix x e x x r a n d （ 1 式中：120 . 0 3 , 0 . 0 3 ,服从正态分布，取值在 0,1 区间。 （ 3） 基于 萤火虫算法 出了 火虫算法 5，算法在随机移动部分引入了 对随机移动项步长因子 向量化，使算法在局部搜索方向和步长的调整上更为科学。 其位置更新公式为： 2()0 1( ) 2i j ix x e x x s i g n r a n d L v y （ 1 式中： , (1 3 )L v y t （ 4） 与 自动学习机 技术 (结合的萤火虫改进算法 6在萤火虫算法中引入 3 项 自动学习机 控制方法，细分萤火虫种群，加强子种群间的相互联系，并借鉴 法的速度概念，改善了萤 火虫算法的收敛特性，优化了寻优性能。 （ 5） 基于离散二进制的萤火虫算法 萤火虫算法最初用于设计解决连续函数的优化问题，而在实际工程中应用中还存在 此 7在标准萤火虫 算法的基础上发展了离散二进制萤火虫算法 ，并成功用于解决 水作业等组合优化类问题。 算法中萤火虫位置编码采用二进制方式，采用 和 1之间，取 1的概率由下式决定： 1() 1 e x p ( )ik x （ 1 式中： ()值为 1 的概率。 8提出了进化离散萤火虫算法，萤火虫的移动采用进化策略，该算法成功将萤火虫算法至 题的解决上。 9离散二进制萤火虫算法的基础上，进一步优化算法，对光兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 5 强吸收系数进行自适应处理， 新算法的光强吸收系数公式如下： 0m a x() ()x （ 1 式中：0 m a x 0 , 1 , m a x t a n ( , ) i s c e x x此外， 10还提出了基于后向神经网络的萤火虫改进算法，新改进算法在收敛时间与寻优效果在训练神经网络方面都优于遗传算法。 火虫算法的应用 鉴于萤火虫算法的有效性、可靠性和通用性， 法应用至包括优化连续问题和离散问题的 两个方向 ，主要包括以下几个 领域 ： （ 1）函数优化 11将 束优化问题的 求解； 12将萤火虫算法用于多模函数的解决寻优问题； . 13将萤火虫算法应用于噪声非线性问题的优化，并与粒子群算法进行了对比研究； 刘长平等 14、 5、16利用 离散 研究结果证实，萤火虫算法在解决连续空间、离散空间以及受约束情况下优化的可行性和有效性，具有高效的应用前景。 （ 2） 电力系统 17将萤火虫算法用于电力系统中的负载 经济 均衡分配问题的解决； 8在发电机组的任务调度问题的优化上应用了 M. H. 9用 电力网络发电机组位置分布 、机组组合 问题。 O. 20用萤火虫算法进行电力系统降低燃料损耗及最小化污染物排放等指标优化问题上的解决。 研究表明， 改善和稳定电压 、位置优化 、机组组合 等问题上，优化效果比较理想，达到了降低功耗、节省费用的目标。 （ 3） 工程 设计 21在焊接问题和压力容器设计等六个机械结构设计优化上应用了萤火虫算法； 22在形状和尺寸设计上应用了 23在形状与尺寸的结构质量优化上应用了萤火虫启发算 法； 24、 25、26用 法对控制器参数进行了整定。 实验数据 表明，萤火虫算法在工程、机械设计上 以及控制器参数优化上 ，与其他 寻优 算法相比，在时间和精度上都占有一定优势 ，使机械产品和控制器系统能够获得较好性能 。 （ 4） 图像处理 27用 图像压缩等处理 ；兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 6 30,31利用 割组合优化 处理 ； 32应用基于萤火虫算法进行癌细胞图像检测及病情诊断。研究结果表明，该算法在图形处理方面效果明显 ，能够迅速、准确地确定被分割图像的最佳阀值 。 （ 5）数据挖掘 J. 33在数据的聚类分析上应用了萤火虫算法 ，并对其性能进行了评估，使数据挖掘的技术在基于统计学理论的基础上，又增加了一门启发式聚类分析方法，对于解决大量数据集的挖掘分析多了一种有效手段 ; 34结合萤火虫算法与 果表明，文中所用方法实验结果优于 法与 析处理的结果 。 （ 6） 通信领域 B. 35、 A. 36在天线阵列设计优化上应用 法，使天线阵列可产生的理想的扇形模式主波束、低旁瓣 ； 37在非均匀空间中的线性天线阵列设计中应用，解决天线辐射元之间的最优空间间距问题 。38在无线传感网络中的传感器分布上应用 验结果证明， 行，在试验中均达理想效果。 （ 7） 神经网络训练 39 采用 法 对 径 向 基 函 数 (络进行训练，并成功用于数据分类和疾病诊断； 40用 数，在解决语音识别问题上，取得较好效果； M. R. 41应用萤火虫算法对局部线性小波网络 行训练，在乳腺癌检测上进行了有效应用，提高了检测准确性。 此外，还有一些学者们将萤火虫算法还应用至 参数辨识 42、故障诊断 43、路径规划 44等 应用 领域。 文主要工作及 章节安排 本文 介绍了 萤火虫算法的基本原理以及应用研究 ， 并 在总结与借鉴国内外已有研究成果的基础上，针对萤火虫优化算法存的在一些 问题 ，对其进行改进，以解决过早收敛 、 全局搜索能力与局部搜索能力 平衡、 以及收敛速度与优化结果精度的冲突问题，并将改进后的算法应用到实际优化问题中去。 本文 共有 6个部分 ： 第一章 概述 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 7 通过前期 相关文献的查询、阅读 ，简要地介绍了 萤火虫算法 研究 的 背景 、 意义 和 研究应用 现状 。 第二章 研究基础 对 最优化问题、 算法 评估准则以及 擦模型等 相关的 基础知识 、应用背景进行了阐述。 第三章 萤火虫算法原理及收敛性分析 详细介绍了萤火虫算法的基本原理，分析了 算法中参数对算法性能的影响，以及算法的收敛性能，并详细叙述了本文改进的萤火虫算法的原理，给出了两种改进萤火虫算法的实现过程，通过在几个典型问题测试函数上的不同条件下的实验，进行实验结果对比，证明两类改进萤火虫算法在解决针对性问题上的有效性。 第 四 章 基于改进萤火虫算法的 在介绍了 制器的原理后，将改进的惯性权重萤火虫算法应用至 参数的整定，在验证算法寻优的有效性的同时，也说明了该算法在工程应用上的可行性与可靠性 。 第 五 章 基于萤火虫算法的摩擦参数辨识 通过与混沌搜索结合，进一步 改进 萤火虫 算法的 收敛精度 ， 并将 萤火虫算法用于 基于 从而进一步 验证 改进算法的有效性 。 第 六 章结论 对全文的研究工作做了 概括性 的总结，并 指出了该领域研究目前所存在的一些问题以及今后需进一步研究的问题，给出了本文的总结与 展望。 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 8 第二章 研究基础 优问题 寻优问题 即最优化问题， 就是在满足一定前提条件 或约束条件 下，寻找一组 或几组 参数使待寻优问题的某种 性能达到最佳效果或使系统运行稳定、可靠 。一般的寻优问题 用数学 公式可 描述为： m i n ( ) , . . | ( ) 0 , 1 , 2 , . . . , s t X S X g X i m （ 2 其中， m i n ( ) 为目标 性能指标 函数， ()束条件作为寻优问题的前提条件，可以为多个， S 为约束域， X 为多维优化变量或参数。上式为求最小化问题的求解，对于最大化问题，可转换为上述最小化问题，公式如下： 1m a x ,m i n 为 常 量 ， 确 保 分 母 不 为 零 法性能评估准则 对于萤火 虫算法的性能评估，本文采用通用的适应度值、收敛时间指标衡量外， 将 密歇根大学 学者 出的两个用于定量分析遗传算法的 指标 引入萤火虫算法，即 算法 在线性能 (标 和 算法 离线性能(标 45。 算法 在线性能 指标 体现系统的 动态性能， 算法离线性能 指标 反映系统的 收敛性 能 。 1、 算法 在线性能评估 指标 定义： 设 Xa(b)为环境 a 下策略 b 的在线性能， fa(t)为时刻 t 或第 t 代中相应于环境 a 的目标函数或平均 适应度函数，则 Xa(b)可以表示为： 11( ) ( )b f (2上式表明， 算法 在线性能 指标是 所有优化 进程 代数 适应度值 的平均值 。 2、 算法 离线性能评估 指标 定义： 设 b)为环境 a 下策略 b 的离线性能，则 b)表示为 ： 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 9 *11( ) ( )b f (2其中， t)=) , ), fa(t)，上式表明，离线性能 指标 是特定时刻群体 优化进程 最佳性能的累积平均。 性权重 群智能算法本质属于随机优化算法，不论作为个体的飞鸟、鱼还是萤火虫等，在群体中每个 成员 寻优的移动过程中， 个体搜索步长的大小直接影响着算法的收敛性 能 。 在 1998 年 ， 一 次提出了约束惯性权重的概念 46，在粒子群算法的速度 更新 方程中 加 入 常数 权重 参数 ， 调整前一代粒子飞行速度对当前粒子飞行速度的影响， 平衡寻优个体在算法中的全局探索和局部搜索能力，避免算法陷入局部最优 ， 两位学者 并通过实 验证实了大的权重有利于全局搜索，小的权重方便局部寻优。 之后， 为进一步改进粒子群算法 收敛精度和速度 性能 ， 提出了随机权重 47、 提出了 基于 提出了函数权重 48、 J. 提出了 线性递减权重 49、 Y. 提出了 混沌权重 50、K. 提出了 振荡权重 51、 W. 提出了 模拟退火权重 52、Y. 提出了 对数递减权重 53，常见权重见 表 2 沌算法 19 世纪 末法国数学家庞加莱提出“由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的”设想，预言混沌的一些行为， 1963 年被称为“混沌之父”的麻省理工学院洛伦兹教授设计并建立了模拟气候的方程组实验，发现气候对于初始条件当中的变化极其敏感（即蝴蝶效应），由此洛伦兹教授等学者开始深入研究大气流动中的“混沌”效应，由此促进了混沌研究飞速的发展，并产生了混沌理论，在费根鲍姆、曼德勃罗、洛伦兹、约克、斯梅尔、梅、茹厄勒塔肯斯、兰福德、巴恩斯利、哈勃德、埃侬、斯特森肖、法默、佛朗西斯基尼、利布沙伯及其始祖庞加莱、威尔逊、卡丹诺 夫、尤利亚、费希尔等学者的努力下，混沌理论研究掀起了继相对论和量子力学以来 20 世纪物理学的第三次大革命。 混沌现象表现为物体聚散有法，周行而不殆，回复而不闭，不断以特定规则复制重复前一阶段的运动状态，并产生不可预测的随机效果。具体而言，具有混沌特性的运动完全受规律支配，但相空间中轨道运动不会中止，在有限空间中永兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 10 远运动着，不相交也不闭合。浑沌运动的外在表观是无序的，富有类随机性，貌似充满了不确定性、不可重复性和不可预测性，但是此种运动状态不同于一般无序的随机非线性运动状况，其结构具有内在的遍历性、随机性、规律 性、分形性等特征特点，通常其在一定范围内会按自身特定的“规律”无重复地遍历所有状态，表现出极具规律性的特征。 表 2常见权重表 序号 权 重 公 式 文 献 1 常数权重 39 2 随机权重 ()0 a n 40 3 基于 数递增权重 ()0 a n 41 4 基于 数递减权重 ( l o g ( ) 2 )()() , 1 0( 1 ) g e ns t a r t e n dk e n du k n g e w 41 5 线性 递减权重 m a x m i nm a x m a w ki t e r 42 6 混沌权重 m a 2m a x()4 ( 1 )i t e r i t e rw w w w zi t e rz z z 43 7 混沌随机权重 0 . 5 ( ) 0 . 54 (1 )w r a n d zz z z 43 8 振荡权重 m a x m i n m a x m i ) c o s ( )22232w w w w 44 9 模拟退火权重 ( 1 )m i n m a x m i n( ) , 0 . 9 5w w w 45 10 对数递减权重 m a x m a x m i n 1 0 m a ) l o g ( )tw w w w 46 混沌现象介于随机性和确定性、有序与无序之间，时空状态丰富，吸引子会伴 随系统动态的演变发生转移，这种优良特性，使混沌理论已经出现，就被应用兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 11 至优化问题、加密、图像处理、智能科学等领域，并由此形成了各种形式的混沌算法。在解决优化问题的过程中，对于被优化求解问题，给出特定的能够度量优化结果的函数或模型后，将搜索寻优过程映射为混沌轨道的遍历搜索过程，可使搜索寻优过程具有跳出局部极值点、避免陷入早熟的能力，并可最终获得全局最优解或理想解。 混沌序列是高度依赖迭代精度的序列，当理论精度趋于 +时，混沌序列可以看 作 是理想的随机序列，常用的混沌序列映射方法有 射、 射、 射、 射等，本文采用 射所生成混沌序列实现寻优。 基于 射所生成混沌序列 的算法 包含以下 两个关键步骤 ，即 ： （ 1）将混沌 序列 映射到待 处理 问题的 可行 解空间； （ 2）利用混沌 系统的 特性来实现对 可行 解空间的遍历搜索 寻优 。 射 54，即 10( 1 ) , 0 1k k kx x x x (2式中： 为控制参数， 混沌 变量， k=0,1,2， 。 当参数 =4 时，且0 0 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 0 . 7 5 , 1 x 时， 射所产生的序列呈现出混沌的动态特性，初始变量的微小变化将 不断放大， 导致后续轨道的巨大不同。 当 =4 1 4 ( 1 ) , 1, 2 , . . . ,k k kj j jc x c x c x j n (2其中， 第 j 个混沌变量 ， k 表示迭代步数。 通过计算 与 仿真实验 可确定 ，当 00( 0 , 1 ) 0 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 0 . 7 5 , 1 x c x且时， 0,1间 分布 呈 现完全 混沌状态 。 (a) 同的的取值 程映射图 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 400 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 12 (b) 程在 时的倍周期分叉图 图 2程映射图 图 2-1(a)为描述了 取 ，对于不同的的取值，迭代可能得到的程映射图；图 2-1(b)为参数 x 在 0,1， 在 时， 射方程的倍周期分叉图。从两幅图中可看出，在越接近 4 的地方，混沌变量 x 取值范围越是接近平均分布在 整个 0 到 1 的区域，分布越随机，混沌状态越明显。 擦 擦 模型 最早 由 德国学者 1902 年提出 ，被称为“ 。通过大量的 实验 ， 他 发现 了负斜率摩擦现象，即 摩擦力与 相互连接的 接触物体表面的润滑油膜厚度 相 关， 同时两物体 接触面间的润滑油膜厚度 伴 随相对运动速度的 增大或减小 而发生改变，摩擦力表现为运动速度的 连续 函数 。通常 在低速 运动 状态下， 当克服静摩擦力后，随着相对速度的增加，摩擦力反而下降， 摩擦力矩和速度之间呈一定非线性的负斜率关 系 ，如图 2摩擦 各 阶段，摩擦力矩与速度之间的关系曲线，即 线） 所示负斜率 部分。在速度 着速度的增加，静摩擦力逐渐以指数形式下降到库仑摩擦；而随速度 滞摩擦力与速度成线性关系。后来经 运动中的摩擦分为边界摩擦、混合摩擦和粘性摩擦 3个阶段 ，并提出了经典的静态摩擦指数模型，并经试验证明，该模型在能以 90%3 3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7 3 . 8 3 . 9 400 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 13 的精确程度拟合区域的真实摩擦力 。 由 出的描述 应的指数摩擦模型为： ( / )( ) s g n ( ) ( ) c s c vF v F v F F F e F v (2式 2： 库伦摩擦参数， 静摩擦参数， 粘性摩擦参数， 度， 取经验值，在 化模型和 化模型中取值为 2。 图 2线 擦模型 擦 模型 是在瑞典兰德工程技术学院和法国格勒诺布尔实验室的共同努力下，法国学者 型的基础上于 1995 年提出了型 ， 该模型能够 全面 精确 描述摩擦 力的 静态特性 和 动态 特性 ，它概括了实验所能观测到的大多数摩擦现象，包括 低速区摩擦行为 应、应、粘 预滑动位移 (摩擦滞后 (静摩擦力的类弹簧特性以及变化的临界摩擦力 (可清晰描述出机械系统从静止到低速运动状态下的瞬态摩擦特性 。 该模型同时采纳了鬃毛模型的思想，即在微观下接触表面可以看成是 为数众多 的具有随机行为的弹性鬃毛， 模型采用六个 关键 参数可精 准 描述 摩擦力粘 擦滞后、预滑动位移、变最大静摩擦力、稳态振荡环 55， 由国内外许多学者的研究表明， 擦模型 是一种 实用 性强 、具有 良好应用前景 的动摩擦力模型。 微观 环境 下，刚体的接触表面 是 粗糙 、凸凹不平的 ，可认为两 物 体 间的接触v F +fs 斜率段 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 14 面大量具有 随机行为的 弹性刚毛 的 接触。 当施加外力，由于 切向力 的作用 ， 弹性刚毛就会 变形， 像弹簧那样 相互作用 而使接触面 产生摩擦力 ，其原理可 简化为一个弹簧和 一个活塞组成的简单系统， 模型 如图 2 图 2型示意图 当 滑动物体 切向力足够大时，刚毛偏移 至一定程度 就产生滑行，由于刚体接触表面 粗糙 不规则， 接触面产生的摩擦力完全 随机 ， 础 之 上。 如图 2 状态变量 毛的平均偏移量， 模型 如下 56： ()t g v(2式中 ： 程右边第一项为与相对速度积分成比例的偏移量；由 第二项可知，稳态时： ()( ) s g n ( )g v v(2函数 g(v)恒大于 0， 具有非对称性，不依赖于温度、润滑、材料等特性，在稳态时， 例如 v 为常数，函数 g(v)为正值，其取值由多方面因素所决定，对典型的齿轮摩擦力而言，当 v 增大时， g(v)由 g(0)单调递减，这与 型在低速状态下随着相对速度增加而摩擦力减小的 负 效应 相一致 。 当两物体 受到外力作用， 接触面 会 发生相对滑动， 刚 毛 会因 挠 曲 变形， 产生摩擦力 ；外力 消失后，刚毛又恢复原状。刚毛弯曲变形产生的摩擦力 模型 近似 为 ： 兰州大学硕士研 究生学位论文 萤火虫算法研究与应用 15 01(2式 2： 参数0为 刚毛刚度系数， 参数1为 阻尼系数。 由于粘滞摩擦力的存在，式 2还需 增加一个与速度成比例的项，从而 摩擦模型 变为： 0 1 2z (2式 2称为 型的标准参数化形式 57，其中，2表示 粘滞摩擦 系数 ； 式中前两项01， 表示由 摩擦面 刚毛弯曲而产生的摩擦力 ； 与相对速度成比例的粘滞摩擦力用第三项2v表示，两部分 共同构成实际 摩擦力 F。当 滑动相对速度 v 为常 数 时，通过测量稳态时的摩擦力 即可 确定函数02()g v v，其中 ()示 擦 效应， () 一个与 两摩擦物体接触面 润滑情况、摩擦 表面材料特性、 温度相 关的正定函数： 2( / )0 ( ) ( ) s cg v F F F e (2式中： 库伦摩擦力， 静摩擦力， 度 。 由式 222看出， 擦模型有 6 个 重要 控制参数 ： 0、 1、2、 根据 以上 三式 ， 稳态时的速度与摩擦力的关系式 可表述为 ： 202( / ) 2( ) ( ) s g n ( )s g n ( ) ( ) c s cF v g v v vF v F F F e v (2通过 比较 ， 式 2 2本一致，表 明 擦模型可描述 象。 摩擦力有其内在的 静态特性和 动态特性， 其中动态特性 包括：粘滑运动，摩擦滞后，预滑动位移，变最大静摩擦力等特性。 态数学摩擦模型用一阶微分方程刻画了所有这些静态和动