三角形的性质.doc

三角形与全等三角形一、三角形的概念与分类1由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形，叫做三角形2三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形二、三角形的性质1三角形的内角和是180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角2三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半三、全等三角形的概念与性质1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等四、全等三角形的判定1一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)2直角三角形全等的判定(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为(HL)3.证明三角形全等的思路(1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角注意：(1)判定三角形全等必须有一组对应边相等； (2)判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定五、定义、命题、定理、公理有关概念(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密(2)命题：判断一件事情的语句命题由题设和结论两部分组成命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题(3)定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理六、证明1证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明2证明的一般步骤：审题，找出命题的题设和结论；由题意画出图形，具有一般性；用数学语言写出已知、求证；分析证明的思路；写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密七、典例解析例1(1)现在四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为()A1个B2个C3个D4个(2)如图，BDC98，C38，B23，A的度数是()A61 B60 C37 D39例1(2)题【解答】(1)C.(2)如图，延长BD交AC于E.因为BDCCBEC，而BECAB，BDCCAB，ABDCCB98382337，故选C.变式训练11.如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，A80，ACB60，那么BDC()A80 B90 C100 D1102.在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC5，则DE的长是() A2.5 B5 C10 D153.若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是() A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形例2下列命题中，错误的是()A三角形两边之差小于第三边 B三角形的外角和是360C三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 答案：D变式训练21下面的命题中，真命题的是()A有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D有一条高对应相等的两个等边三角形全等例3(1)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BCFD，ABEF.请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使ABCEFD，你添加的条件是_；根据所添加的条件，证明ABCEFD.【解答】(1)BF(或ABEF或ACED)，答案不唯一证明：当BF时在ABC和EFD中，ABEF，BF，BCFD.ABCEFD(SAS)变式训练31、如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE.求证：ACDBCE；若D50，求B的度数 课后练习1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA5，则线段PB的长度为()A6 B5 C4 D32到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A三条中线的交点 B三条高的交点C三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点3如图，ACBACB，BCB30，则ACA的度数为()A20 B30C35 D404.已知在ABC中，(1)如图，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则；(2)如图，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P90A；(3)如图，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则上述说法中真命题的有()A0个 B1个 C2个 D3个5如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AECD，AD与BE相交于点F.(1)求证：ABECAD；(2)求BFD的度数6如图，已知ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等(2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的一条边上相遇？等腰三角形一、等腰三角形1概念及分类有两边相等的三角形叫等腰三角形；有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴3等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两角相等的三角形是等腰三角形二、等边三角形的性质与判定1性质：等边三角形的内角都相等，且等于60；等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴2判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形三、典例解析例1(1)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是()A8B7C4D3(2)已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为()A40 B100C40或100 D70或50【解答】(1)B.(2)C.变式训练11、如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，A20.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则CBE等于()A80 B70 C60 D501题2题2、如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个例2如图，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD；OBOC.上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形？(用序号写出各种情形)【解答】满足、，可判定ABC是等腰三角形变式训练21某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为()A9 cm B12 cmC15 cm D12 cm或15 cm2已知一个等腰三角形两内角的度数之比为14，则这个等腰三角形顶角的度数为()A20B120C20或120D363等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为()A60B120C60或150D60或1204如图，ABC内有一点D，且DADBDC，若DAB20，DAC30，则BDC的大小是()A100B80C70 D50课后练习 1等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是() A9 B12 C15 D12或152在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，则A等于()A30 B40 C45 D363若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为()A75或15 B36或60 C75 D304在等腰ABC中，ABAC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A7 B11 C7或11 D7或105等腰ABC的周长为21，底边BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为()A13 B14C15 D166如图，在ABC中，ABAC，BFCD，BDCE，FDE，则下列结论正确的是()A2A180 BA90C2A90 DA1807如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为()A. B2 C3 D48在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE_. 相似三角形一、相似三角形的定义、性质、判定定义：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似性质：1相似三角形的对应角相等，对应边成比例2相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比3相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方判定：1两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似2两角对应相等的两个三角形相似3三边对应成比例的两个三角形相似二、典例解析例1(1)如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DEBC，若ADAB34，AE6，则AC等于()A3B4C6D8例(1)题例(2)题 (2)如图，在ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是()AAB2BCBD BAB2ACBDCABADBDBC DABADADCD(3)如图，12，添加一个条件：_，使得ADEACB. 【解答】(1)DEBC，ADEB.又AA，ADEABC.，AC8.故选D.(2)ABCDBA，即AB2BCBD，故选A.(3)答案不唯一，如DC或EB或.变式训练11已知ABCDEF，且ABDE12，则ABC的面积与DEF的面积之比为()A12B14C21D412如图所示，RtABCRtDEF，则cosE的值等于()A. B. C. D.(第2题)3如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么( ) . 4、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形。 (1)ACF与ACG相似吗？说说你的理由.(2)求1+2的度数.课后练习1如图，在ABC中，若DEBC，DE4 cm，则BC的长为()A8 cm B12 cm C11 cm D10 cm2下列命题中，是真命题的为()A锐角三角形都相似 B直角三角形都相似C等腰三角形都相似 D等边三角形都相似3如图，在ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上，若BDCD，BCDE，DE2，则AB的长度是()A4 B5 C6 D74如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为()A. B. C. D无法确定5如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，BDDC，BDDC，CE平分BCD，交AB于点E，交BD于点H，ENDC交BD于点N.下列结论：BHDH；CH(