6看方程思想七十二变

看方程思想七十二变524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝古希腊数学家丢番图在他死前的墓碑上记录了他一生的痛苦和艰辛旅程：过路的人,这儿埋葬着丢番图,请计算下列数目,便可知他一生过了多少寒暑,他一生的六分之一是幸福的童年,十二分之一是无忧无虑的少年,再过去七分之一生命的旅程,他建立了幸福的家庭,五年后儿子出生,不料儿子竟先于父亲四年而终,年龄只是父亲享年的一半,晚年丧子老人真可怜,在悲痛之中度过了风烛残年.请你算一算,丢番图活到多少岁,才和死神见面?若用方程,不难求得丢番图的寿命为84岁,其他的,也可一一算得.这种通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化的思想,我们称之为方程思想.它就象一座“桥梁”,勾通了未知与已知,激活了我们的思维.一、解决函数应用问题 有些应用题问题,读懂题中的文字、符号、图形、表格与专业用语后,设入相应的未知数,建立方程,再解方程、检验,即可解决问题.例1某旅行社为了在广州亚运会期间,组团观看亚运会,特设计一个组团包飞机去广州旅游,其中旅行社的包机费为30000元,旅游团的人数最多只能有75人.旅游团中的每个人的费用按以下方式计算:旅游团的人数人人每人收费元每多一人,每人(包括原来的30人)减少20元(1)试将旅行社的利润表示为旅游团人数的函数关系式(注:利润=机票收入包机费30000元).(2)当旅行社的利润为40000元时,旅游团有多少人?思路点拨:设旅游团的人数为人,旅行社的利润为元,旅游团人数的范围不同,利润的计算方法不同,需分为与两种情况计算,若,;若,每人收费元,算得利润,于是得到所求的函数关系式;(2)在(1)的帮助下,我们可建立方程求旅游团的人数了,若,建立方程,解得,超出了的范围,不可能.如果,建立方程,约分整理后得,解得或,均在内,于是旅游团有50人或70人.二、解决三角问题方程思想是求三角函数中的系数的好方法,不防借之一用.例2数列满足:.(1)求的值; (2)若有一个形如的通项公式,其中,均为实数,且,求此数列的一个通项公式(求出一个即可).思路点拨:(1)由已知不难得,再多求几个看看,原来3个值在不断重得出现;(2)由(1)我们顺便得知是以3为周期的周期数列,也就是的周期,以三角函数观之,可建立方程,便得,还有3个系数未知,起码还需列出3个不同的方程,怎办?回想前面已得的结果,知道了,再建立3个方程非难事矣,为方便计算,将最简单的,代入,得到方程组,这个方程组不易解得,紧扣“消元法”解之,将与展开后,+消去整理得 ,由又得代入消去,保留,整理得 ,由建立方程,可解得,下面再求即可,有及,两式平方相加可得,于是,这时由与可取了,最后求得了的一个表达式.为什么题只要“求出一个即可”?细想来,的周期不止一个,还可以取6,9等,也就产生多个值,就多了.还有,怎么不可以用求A?我们不能保证与就是的最大值与最小值呀.三、解决数列问题很多非等差(比)数列问题需要转化为等差(比)数列问题才能顺利解答,这些转化得依靠方程的变形实现.例3已知数列满足,设是方程的两实根,且.(1)证明:; (2)求的通项公式.思路点拨:(1)要证明该方程,得利用已知的方程,走“以方程治方程”的路子,在其左边消去得,继续向的形式转化有=,而,?这是与方程的实根有关的问题,需紧扣它的两个实根实施验证,由得,再变形便得,作同样的验证可得,最后剩下?继续“以方程证方程”吧,要是就好了,即若能得,问题即得以证明,回想到是方程(即)的两实根,原来不难得,现在该方程被我们“以方程治方程”完整的给证明了;(2)观察(1)的得证的等式,发现了数列是以为公比,首项为的等比数列,先写出的通式,再从该方程中解出,不就求得了?我们试一下,解得,而结合题意算得,代入整理吧,.至此,我们用“以方程治方程”的思维解开了教材留给我们的一个难解的结子已知数列满足,求该数列的前5项,通项是否存在?四、解决解几问题解析几何问题与方程的关系非常密切,可“以方程渡方程”的方式解决这类问题.OABCD例4已知长方形ABCD, AB=2, BC=1.以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;(2)过点P(0,2)的直线交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.思路点拨:(1)标出A,B,C的坐标后,不难由定义法求得椭圆的标准方程为;(2)若存在这样的圆,则有,设,抓住建立方程,即,得设法将直线的斜率引入该方程,才能从中解出的值.、可从哪里来?我们想起了“根与系数关系”,于是设出直线的方程,与椭圆联立,消去整理得,这时得到了,还有怎么办呀?若从方程组中再消去求,运算量显然很大,能否从、直接过渡到、? M,N是直线与椭圆的两交点,原来它们的坐标均适合直线的方程,出现了,这样好了,把代入得,回想到方程,终于可由它建立关于的方程,解之得,将它们回代到直线的方程便得,或.五、解决创新问题不少“创新型问题”根植方程思想,以方程思想展开探究,也会大有收获.例5 在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数对组成,在上定义一个运算,记为,对于中的任意两个元素,规定:.(1)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明; (2)若“中的元素”是“对,都有成立”的充要条件,试求出元素.思路点拨:(1)要证明方程,那,我们得作出一翻演算,而,发现=,=,原来并不难证得;(2)我们不防从题中的“对,都有成立”入手,看能否将求出来,要是能,再进一步加以证明即可.设中的元素,对,都有成立,该式存在两个等号,可得到3个方程,能否简化点?回想(1),原来我们已证明了,于是只需考虑即可,不防以它建立方程组,看能否求出的值.,得到,解方程组时,需要在两方程的两边分别乘以,实施消元,但是这两个数会等于0吗?检验一下,若,方程组显然成立,若,方程组为,得,若,方程组为,也得,有现在剩下了,解方程组得,于是A中存元素满足.最后反过来验证它,当时,而由(1)的交换律有=.于是得仅存在满足题设.通过以上几例,相信同学对“方程思想”的认识与掌握有了更深刻的领会,方程用得活,我们的变形就可“来去自如”、“点石成金”.金题精练1.对于任意x,y,定义运算,其中a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知,并且由一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有,则m的值是 ( )A.4 B.3 C.2 D.12.设等差数列的前项和为,已知,+则下列结论中正确的是 ( )A. B. C. D.3.已知集合A=1,a,b,集合B=a,a2,ab,若A=B,则a2 010+b2 010的值为_.4.已知函数的图象关于直线对称,求实数的值.参考答案：1.由建立方程组得所以.又由对于任意实数x恒成立,再立程所以b=0=2+2c,所以c=1,所以(16c)+cm=1,所以1+6m=1,所以m=4.故选A.2.直接解出与较为困难,可建立方程解之.由两已知方程的形式,我们考察的单调性,易得它在R上为单调递增函数,且为