八年级（下）数学17.2勾股定理的逆定理

17.2勾股定理的逆定理1.(2016包头改编)已知下列命题:若ab,则a2b2;若a1,则(a-1)0=1;两个全等的三角形的面积相等;直角三角形的两个锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(D)(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个2.(2016东平县期末)已知三角形三条边的长度分别是:1,2,3;2,3,4;3n,4n,5n(n0);32,42,52.其中一定能构成直角三角形的有(B)(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组3.如图,大正方形是由49个边长为1的小正方形拼成的,A,B,C,D四个点是小正方形的顶点,由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)44.(2016河北模拟)一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发,如图所示,轮船从港口O沿北偏西20的方向行60海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处,若M,N两点相距100海里,则NOF的度数为(C)(A)50(B)60(C)70(D)805.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则ABC的度数为(C)(A)90(B)60(C)45(D)306.“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等,那么这个三角形是等腰三角形,这是一个真命题.7.已知ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,且abc=15817,若ABC的面积为240.则此三角形的周长为80.8.(2015厦门期末)在四边形ABCD中,AB=AD=2,A=60,BC=25,CD=4.则ADC=150.9.如图,在长方形ABCD中,AB=24,AD=50,E是AD上一点,且AEED=916.(1)求BE,CE的长;(2)BEC是否为直角三角形?为什么?解:(1)由AD=50,且AEED=916,解得AE=18,DE=32.根据勾股定理,得BE=AE2+AB2=182+242=30;CE=DE2+CD2=322+242=40.(2)BEC是直角三角形.因为BE2+CE2=302+402=2 500,BC2=AD2=502=2 500,即BE2+CE2=BC2,所以BEC是直角三角形.10.如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,ADC=90,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.解:连接AC,则ADC为直角三角形,因为AD=8,CD=6,所以AC=10.在ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.因为102+242=262,所以ABC也是直角三角形.所以这块地的面积为S=SABC-SADC=12ACBC-12ADCD=121024-1286=120-24=96 m2.所以这块地的面积为96 m2 .11.某县辖A,C,D三镇在一条直线上,相互两镇间的公路里程如图所示,由于大山阻隔,原来从A,C两镇去D镇都需绕到B镇前往.为了发展经济,缩短A,C两镇到D镇的路程,现决定开凿隧道修通A,C两镇直达D镇的公路AD.请问公路修通后从A镇去D镇比原来缩短路程多少千米?解:因为AC2+AB2=102+242=100+576=676,BC2=262=676.所以AC2+AB2=BC2.由勾股定理的逆定理得BAC=90.所以BAD=180-BAC=90.在RtABD中,由勾股定理得AD=BD2-AB2=402-242=1 024=32(km).24+40-32=32(km).答:公路修通后从A镇去D镇比原来缩短路程32 km.12.如图所示,已知等腰ABC的底边BC=20,D是腰AB上一点,且CD=16,BD=12.(1)求ABC的周长;(2)求ABC的面积.解:(1)因为BD2+CD2=122+162=400,BC2=202=400,所以BD2+CD2=BC2,所以BCD是直角三角形,BDC=90,设AC=AB=x,因为BD=12,所以AD=x-12,在RtACD中,AD2+CD2=AC2,即(x-12)2+162=x2,解得x=503,即AC=AB=503,所以ABC的周长=5032+20=1603.(2)ABC的面积=12ABCD=1250316=4003.13.(拓展探究题)如图,等腰RtABC中,ABC=90,O是ABC内一点,若OA=6,OB=42,OC=10,O为ABC外一点,且CBOABO,则四边形AOBO的面积为(C)(A)10(B)16(C)40(D)8014.(易错题)请阅读下列解题过程:已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.解:因为a2c2-b2c2=a4-b4, 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以c2=a2+b2, 所以ABC为直角三角形. 问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误:;(2)错误的原因是 ;(3)写出正确的结论,并说明理由.解:(1)第步;(2)方程两边同除以(a2-b2),但(a2-b2)的值有可能是0;(3)该三角形为直角三角形或等腰三角形.理由如下:因为a2c2-b2c2=a4-b4,所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所以c2=a2+b2或a2-b2=0,因为a2-b2=0,所以a+b=0或a-b=0,因为a+b0,所以c2=a2+b2或a=b.所以该三角形是直角三角形或等腰三角形.15.(规律探究题)李老师在一次“勾股定理探究性学习”课中,设计了如下数表:n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并且用含自然数n(n1)的代数式表示:a=,b=,c=;(2)猜想:以a,b,c为三边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.解:(1)n2-12nn2+1(2)以a,b