数学人教版九年级上册24.1 圆周角.doc

24.1.4圆周角(第一课时)教学设计 师父：金志宁 徒弟：利俏蓉一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理。二、目标和目标解析1理解圆周角的概念。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：顶点在圆上；两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。2掌握圆周角定理。能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何语言表达的能力。3通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想方法。4引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。三、问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。所以，圆周角定理的正面要采用完全归纳法，分情况证明。学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。因此，教学的关键是：在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明中的分类讨论做好铺垫。学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用计算机软件来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。从特殊的位置关系圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形。鉴于上述分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理。四、教学支持条件设计教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用几何画板的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。五、教学过程设计活动一 创设情景，引出概念师：（出示动画微视频）很久很久以前，有一个圆心角，它的脑袋固定在圆心上，于是，它只能看到点这么大的世界。久而久之，它厌烦了。世界这么大，他想去看看。于是它的脑袋往上一跳，就跳到了圆周上，从此以后，它的脑袋就可以在这段圆弧上转来转去，不亦乐乎。同学们，你们知道这个角叫什么吗？生：圆周角师：你们太聪明了，它就是圆周角。今天就让我们一起来学习圆周角。（板书课题）师：上一节课我们学习了圆心角，哪个同学来说一下什么是圆心角？生：顶点在圆心上的角叫圆心角师：非常好，如图中的就是AB所对的圆心角。那从刚才看到的小视频中，你们知道什么叫圆周角吗？生：顶点在圆周上的角叫圆周角师：与与圆心角类似，圆周角的顶点在圆上，但它的两条边与圆有什么位置关系？生：两边与圆相交师：同学们观察得非常仔细，实际上圆周角的两条边也是圆的两条弦。那现在谁能给我们总结一下什么叫圆周角？生1：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫圆周角。师：归纳的非常准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（板书），请同学们打开课本85页，把圆周角的概念画出来。 【设计意图】 通过播放生动的动画微视频，吸引学生的注意，让学生经历观察、分析，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质。师：请同学们打开课本88页，完成练习题的第一题，判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一些学生作答） 【设计意图】 为了使学生更加容易地掌握圆周角的概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较。活动二、猜想同弧所对的圆周角与圆心角的关系师：从刚才的练习中，我们要判断一个角是否为圆周角的依据是什么？生：圆周角的顶点在圆上，并且两边与圆相交师：同学们总结得非常到位，这两个条件缺一不可。（在白板上圈出重要字眼）师：看了那么多别人画的是与不是的圆周角，你们想不想自己也画画？现在请同学们拿出学案，在六个圆中画出你喜欢的圆周角，看谁画的最漂亮最特别，给大家三分钟的时间。生：画圆周角（3分钟后）师：我们来看看某某同学画的圆周角（选出几个比较有代表的：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）【设计意图】 通过让学生画圆周角，进一步加深学生对圆周角的认识，并从中选出的三种情况进行分析，为后面证明中的分类讨论做好铺垫。师：老师还惊喜的发现有的同学不仅画出了圆周角，也画出了同弧所对的圆心角，你们说这两个角所对的弧相等，我觉得这两个角肯定有关系，至于有什么关系，请同学们在下面画出对应的圆心角，自己去发现。可以通过什么方法来找出它们的数量关系？同桌之间可以相互交流，等下请同学来回答。生1：圆周角等于圆心角的一半师：生1是通过测量的方法得出它们之间的关系，非常好。你们的答案跟他一样吗？还有其他不同的作法吗？（没有）那就看看老师借助计算机几何画板软件制作的微视频请大家认真观看。师：哪个同学来总结一下刚刚我们发现的规律？生1：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半师：板书“猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”【设计意图】 教师使用几何画板做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系。活动三 用分类讨论的方法证明圆周角定理师：刚刚我们通过观察、画图、度量等方式归纳得到了猜想，但这是远远不够的，将一个命题变成定理我们还需要通过严谨的证明。师：刚刚我们同学画的圆周角多种多样，如果直接研究那么多种情况，不利于我们问题的解决。那有什么办法将多种情况转化为比较少的情况呢？生：归类师：我们同学给出了非常好的方法，那谁来帮我归一下类？生2：上来归类师：同意他的看法吗？太棒了，我们同学回答的非常精彩，不仅懂得分类的作用，把多种情况转化为较少的情况，而且分类标准特别清晰。此处应该有掌声！师：那现在我们就可以将那么多种圆周角分成了三类：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部。那这三种情况哪一种最为特殊？特殊在哪里？生：第一种，圆心在圆周的一边上师：同学们观察得非常仔细。好，那现在请同学们思考如何来证明第一种情形。3分钟过后，生3口述答案，师在白板上板书师：生3 同学回答的非常好，不仅声音洪亮而且逻辑非常清楚。现在我们已经完成了圆心在圆周的一边上这种特殊情况的证明，那第二第三种情形如何证明？（分组证明：第一组的同学证明第二种情形，第二组的同学证明第三种情形）师：能否从第一种情形得到一些启发？在第一种情形中，起到关键作用的是哪条线段？（直径）师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角A的边AB部分就是O的直径，因此给予证明思路的寻找带来了不少方便，现在如果沿OA对折O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？生4：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，只需要延长AO交O于点D师：分析得非常透彻，那第三种情形是不是也可以这样添加辅助线？在我们数学的几何图形当中，添加辅助线往往能将复杂的图形转化为简单的图形，为我们解题带来便利。下面请同学们完善证明过程。大约5分钟后，请两组代表上来讲解（投影）【设计意图】 通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法。另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达。师：感谢两位同学的经常讲解。通过上述证明，我们得到：一条弧弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（教师板书）对于这个定理的证明，我们真的是花了九牛二虎之力，下面，我们看看它的应用。活动四 圆周角定理的应用如图，A是圆O的圆周角，A=40，则BOC = 度 （学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果）【设计意图】 通过转化考查了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力。活动五 课堂小结师：今天这节课我们就学到这里，至于圆周角定理的推论我们下节课在学习。