0309高二数学（2.2.2 反证法）.ppt

2 2 2反证法 2 2直接证明与间接证明 问题提出 1 综合法和分析法的基本含义分别是什么 综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理 性质 法则等 经过一系列的推理论证 最后推导出所证结论成立 分析法 从所证结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到归结为判定一个显然成立的条件 已知条件 定义 公理 定理 性质 法则等 为止 2 综合法是从条件 结论的推理方法 分析法是从结论 条件的推理方法 二者都是直接证明的方法 当某些数学命题难以直接证明时 我们可以采用一种间接证明的方法反证法 反证法 探究 一 硬币翻转问题 背景问题 桌面上有3枚正面朝上的硬币 每次用双手同时翻转其中2枚硬币 观察反面朝上的硬币数如何变化 思考1 若双手各翻转1次 则反面朝上的硬币数为多少 2枚 思考2 若双手各翻转2次 3次 4次 则反面朝上的硬币数分别为多少 0枚或2枚 思考3 由归纳推理可得什么猜想 猜想 无论怎样翻转 都不能使只有1枚硬币反面朝上或3枚硬币全部反面朝上 思考4 如何证明上述猜想 假设经过若干次翻转可以使只有1枚硬币反面朝上 因为每枚硬币从正面朝上变为反面朝上 需要翻转奇数次 则这枚硬币需要翻转奇数次 其余2枚硬币需要翻转偶数次 所以翻转的总次数必为奇数 但由于每次用双手同时翻转其中2枚硬币 若干次翻转的总次数必为偶数 所以翻转的总次数矛盾 故假设不成立 即无论怎样翻转 都不能使只有1枚硬币反面朝上 同理 也不能使3枚硬币全部反面朝上 探究 二 反证法的基本思想 思考1 上述证明方法叫做反证法 一般地 反证法的的基本含义是什么 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 思考2 如何用反证法证明是无理数 思考3 用反证法证题的核心问题是什么 在正确的推理下得出矛盾 思考4 在反证法应用中 矛盾的构设有哪几种情形 1 与已知条件矛盾 2 与假设矛盾 3 与定义 公理 定理 性质矛盾 4 与客观事实矛盾 思考5 反证法是否等同于证明原命题的逆否命题 例1已知直线a b和平面 如果 且a b 求证 a 理论迁移 例2设a b c为一个三角形的三边 若s2 2ab 求证 s 2a 例3已知x y 0 且x y 2 求证 中至少有一个小于2 小结作业 1 反证法是一种间接证明的方法 是解决某些 疑难 问题的有力工具 其基本思路是 假设结论不成立 构设矛盾 否定假设肯定结论 2 反证法主要适用于以下两种情形 1 所证的结论与条件之间的联系不明显 直接有条件推出结论线索不清晰 2 从正面入手需要分成多种情形进行讨论 而从反面证明 只要研究一种或很少的几种情形 作业 p91练习 1 2 p91习题2 2a组 1 4 推理与证明习题课 例1已知数列满足 试猜测数列的通项公式 并证明你的结论 例2过椭圆的左焦点f 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦ab 1 若在x轴上存在点m 使得 amb被x轴平分 求点m的坐标 2 试根据合情推理给出椭圆性质的一个猜想 并证明之 猜想 过椭圆的左焦点f 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦ab