9圆锥曲线性质

第三讲 圆锥曲线性质的探讨524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝一、要点归纳(1)平行射影:平行射影是正射影的推广,正射影要求“作垂线”,平行射影要求“作平行线”.如,点的平行射影是点;直线的平行射影可以是点,也可以是直线;两条平行直线的平行射影可以是两条平行直线,两个点或一条直线;等,这些结论与正射影类似.(2)定理1:圆柱形物体的斜截口是椭圆.在解释该定理时,教材用了3个较为复杂的图形(请参阅课本图35、图36与图38)来说明三个问题:图35说明(或),为图36作铺垫,理解这个图时,需从对称性与整体上把握它,如由对称性有(同理);图36说明圆柱形物体的斜截口是椭圆,因为(定值),这也是从图形的对称性与整体性上快速把握的;图38指出了椭圆的焦点、长轴、短轴、焦距、准线与离心率的概念与几何意义,从中可得到一个求椭圆离心率的计算公式(是斜截面与圆柱轴所成的角).(3)定理2:圆锥曲线的统一定义.该定理是在定理1的基础上,通过图310(请参阅课本)直观说明的,从中得到了圆锥曲线的统一定义及离心率计算公式(是斜截面与圆锥轴所成的角,是圆锥母线与圆锥轴所成的角),显然,当时,交线为椭圆(),当时,交线为抛物线(),当时,交线为双曲线(),当时,圆锥退化为圆柱,有,这正是定理1,当时,截面与圆锥轴平行,交线为双曲线,离心率为.二、学法提示由上面的“归纳”我们不难找到学习这一讲的要领,就是从对称性与整体性的高度上把握问题,理解和活用离心率的计算公式.这一讲是平面解析几何中圆锥曲线的推广,需站在联系与发展的观点上理解这一讲,理解圆锥曲线的统一定义及几何意见,将我们的认识推上一个新的高度,这正是教材编写者的初衷。在高考中,这部分还是一片“未开垦的荒地”,所以我们不必深挖,只需理解基本的概念与方法即可.三、典例剖析例1(射影问题)过平面外一点P的两条斜线段PA、PB和平面所成的角分别30和45,且,APB=60,则这两条斜线段在平面内的射影所成角的余弦值等于 .PABO分析:设出,用它表示、,求得后,再用表示、,用余弦定理即可求得.解析:如图,设P在上射影为O,连OA、OB、AB,则PAO=30,PBO=45,APB=60,设PO=h,则BO=h,在APB中,AB2=PB2+PA2-2PAPBcos60=,在AOB中,AB2=BO2+AO2-2BOAOcosAOB,即,.评注:这类题表面上属“射影问题”,事实上,我们只需将思考角度定为“立几问题”即可解决.例2 (定理1的应用)如图,一个与圆柱底面成角的平面截圆柱,所得的交线为椭圆,则该椭圆的离心率等于 .分析:本题可以用圆锥曲线中的方法求解,也可用本讲中所得到的公式给予简解.解法一:如图,设圆柱的底面直径为,则椭圆的长轴为4,短轴为,在椭圆中,得.解法二:由题知斜截面与圆柱轴所成的角为,.评注:解法一回归到平面解析几何中求解问题,运算量稍大,而解法二运用相关公式,一步到位,但是需明确,公式中所提供的角为“斜截面与圆柱轴所成的角”,需作转化.例3(定理2的应用)如图,圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,过母线中点的平面与圆锥面的交线为一双曲线的一部分,则该双曲线的离心率等于 ;若母线的中点为双曲线的一个顶点,则该双曲线的虚半轴长等于 .分析:求得离心率后,结合,可得.解析:由题意知截面与圆锥轴所成的角,而母线与圆锥轴所成的角,双曲线的离心率,即,又,于是.评注:本题求离心率是关键,再数形结合得的值,再求即可.在求解的过程中,需灵活运用“圆锥曲线”的有关知识.四、实战演练1、直线a、b在平面外,若a、b在平面上的射影是两条平行直线,则a与b的位置关系是 ( )A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面2、已知ABC=90,BC平面,AB与平面斜交,那么ABC在平面内的射影是 ( )A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或直角3、一个底面半径为1的圆柱被一平面截去一部分,得如图所示的几何体,且最长的母线与最短的母线分别为2、4,则该几何体的体积等于 ;上底面椭圆的离心率等于 . 4、如图,一个圆锥的轴截面为等腰,圆锥的底面半径为,在圆锥底面上的直线与底面圆O相切于点B,点P是母线BC的中点,点Q是直径AB上的动点,平面过P、Q两点,且,设,平面与圆锥的侧面的交线为曲线.(1)当时,求曲线的离心率;(2)当时,曲线是什么曲线?(只需写出结果,不必说明理由)AEDCB五、参考答案1.D 构造“正方体模型”观察可得a与b平行或异面均可.2.B 如图,在正方体中,取平面ADE为,则ABC在平面内的射影为,可得为直角,故选B.3.; 该几何体可割补为一个底面半径为1,高为3的圆柱体,则其体积,过几何体上底面的最低点且与圆柱底面平行作平面,可得椭圆所在的平面与平面所成的角为,所以椭圆所在的平面与圆柱轴所成的角为,于是离心率.4.解:(1)当时,点Q与点A重合,曲线为椭圆,ABCPOE为等腰直角三角形,母线BC与圆锥轴所成的角,这时轴截面如图所示,P为BC的中点,得,又,