高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合课堂导学案新人教B版选修.docx

1.2.2 组合课堂导学三点剖析一、组合数的运算【例1】已知,求.解析：m的范围x|0m5,mZ，由已知，=，即60-10（6-m）=（7-m）（6-m）.得m=21或m=2，又m0,5,则m=2,=28.温馨提示 用计算具体的组合数，用证明有关组合数的代数式，有时还用到组合数的性质化简.二、有限制条件的组合问题【例2】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队.（1）某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法？（2）至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法？解析：（1）某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可.故有=3 060（种）.（2）解法一：依据组合问题分类讨论原则.至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有+=14 656（种）.解法二：依据组合问题不符合条件的用剔除原则，事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生，”共有+种选法，则-（+）=14 656（种）.温馨提示 题目中含有“含”与“不含”，“最多”与“至少”等问题.解“含有”一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充，“不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解.三、分组、分配问题【例3】有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本.解析：（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本这件事分三步完成：第一步 从9本不同的书中，任取4本分给甲，有种方法；第二步 从余下的5本书中，任取3本分给乙，有种方法；第三步 把剩下的2本书给丙，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有不同的分法=1 260（种）.所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260种.（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本这件事，分两步完成：第一步 按4本、3本、2本分成三组，有种方法；第二步 将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有不同的分法=7 560（种）.所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种.（3）用与（1）相同的方法求解，得=1 680（种）所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种.温馨提示 易错认为甲、乙两人还应交换故有=12种，实际上，由于是平均分配，不论先取书给谁，都可能且一定得到两本不同的书.各个击破类题演练 1计算+的值.解析：原式中自然数n满足不等式组得n=10,则+=+=466.变式提升 1计算：（1）+;（2）-.解析：（1）+ =+35+35=70;（2）-=1-1=252-1=251.类题演练 2（2006山东高考，理9）已知集合A=5，B=1，2，C=1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）A.33 B.34 C.35 D.36解析：从集合A、B、C中各取1个数组成空间点的坐标，一共可以组成 =36个，其中点（5，1，1）、（1，5，1）和（1，1，5）各重复1个，于是一共有33个不同的点的坐标，故选A.答案：A变式提升 2 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查，（1）共有多少种不同的抽法？（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？解析：从98件正品和2件次品共100件产品中抽取3件产品进行检查，所抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题.（1）所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有=161 700（种）.（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成.第一步：从2件次品中任取1件，有种方法；第二步：从98件正品中任取2件，有种方法.根据分步乘法计数原理知，不同的抽取方法共有=24 753=9 506（种）.（3）从100件产品中任取3件的抽法，有种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有-=161 700-152 096=9 604（种）.类题演练 3一个口袋中有10个球，其编号为1，2，3，10从中任取5个球.（1）至少有一个奇数号球的取法有多少种？（2）至少奇数号球和偶数号球各2个的取法有多少种？（3）取出的球的最大号数与最小号数之差为7，这样的取法有多少种？解析：（1）间接法：10个球任取5个球的取法有种方法，其中没有一个奇数号球的取法为种方法，所以至少有一个奇数号球的取法为- =251种.（2）分两类：2个奇数号球，3个偶数号球的取法有种，3个奇数号球，2个偶数号球的取法有 种，所以取法种数为+=200.（3）满足要求的5个球中最大号数与最小号数共有3种情况：1与8，2与9，3与10.每种情况的取法均为种，所以取法种数均为=60.变式提升 3六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三堆，每堆两本；（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本.解析：（1）从6本不同的书取2本分给甲的分法有种，从余下4本书中取出2本给乙的分法有种，最后两本给丙的分法有种.故所求的不同分法有=90种.（2）设分为三堆，每堆两本的分法种数为x.因为将6本书平均分给甲、乙、丙三人，每人两本可分成