自动控制系统的数学模型

第二章第二章自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 教学目的 教学目的 1 建立动态模拟的概念 能编写系统的微分方程 2 掌握传递函数的概念及求法 3 通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法 并能应用各环节的传递函数 求 系统的动态结构图 4 通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法 并对系统结构图进行变 换 5 掌握信号流图的概念 会用梅逊公式求系统闭环传递函数 6 通过本次课学习 使学生加深对以前所学的知识的理解 培养学生分析问题的能力 教学要求 教学要求 1 正确理解数学模型的特点 2 了解动态微分方程建立的一般步骤和方法 3 牢固掌握传递函数的定义和性质 掌握典型环节及传递函数 4 掌握系统结构图的建立 等效变换及其系统开环 闭环传递函数的求取 并对重要 的传递函数如 控制输入下的闭环传递函数 扰动输入下的闭环传递函数 误差传 递函数 能够熟练的掌握 5 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法 6 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法 熟练掌握等效变换代数法则 简化图形 结构 掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法 教学重点 教学重点 有源网络和无源网络微分方程的编写 有源网络和无源网络求传递函数 传递函数的概念 及求法 由各环节的传递函数 求系统的动态结构图 由各环节的传递函数对系统的动态结构 图进行变换 梅逊增益公式的应用 教学难点 教学难点 举典型例题说明微分方程建立的方法 求高阶系统响应 求复杂系统的动态结构图 对复杂系统的动态结构图进行变换 求第 K 条前向通道特记式的余子式 k 教学方法教学方法 讲授 本章学时 本章学时 10 学时 主要内容 主要内容 2 0 引言 2 1 动态微分方程的建立 2 2 线性系统的传递函数 2 3 典型环节及其传递函数 2 4 系统的结构图 2 5 信号流图及梅逊公式 2 0 引言 引言 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 1 系统的数学模型 描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式 动态模型 描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式 他一般是时间函数 如 微分方程 传递函数 状态方程等 静态模型 描述过程处于稳态时各变量之间的关系 一般不是时间函数 2 建立动态模型的方法 机理分析法 用定律定理建立动态模型 实验法 运用实验数据提供的信息 采用辨识方法建模 3 建立动态模型的意义 找出系统输入输出变量之间的相互关系 以便分析设计系统 使系 统控制效果最优 2 1 动态微分方程的建立动态微分方程的建立 无论什么系统 输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律 来反映该系统的特征 为了使系统满足暂态性要求 必须对系统暂态过程进行分析 掌握其内在规律 数学模型 可以描述这一规律 一 编写系统或元件微分方程的步骤 一 编写系统或元件微分方程的步骤 1 根据实际情况 确定系统的输入输出变量 2 从系统输入端开始 按信号传递顺序 以此写出组成系统的各个元件的微分 方程 或 运动方程 3 消去中间变量 写出输入输出变量的微分方程 二 举例二 举例 例 1 R L C 电路 根据电路基本原理有 dt du ci uuLR c rcdt di i rc cc uu dt du Rc dt ud Lc 2 2 例 2 质量 弹簧 阻尼系统 由牛顿定律 maF 2 2 dt yd m dt dy fkyF Fky dt dy f dt yd m 2 2 3 电动机 电路方程 1 aa a aar iR dt di LEu 动力学方程 2 dt d JMM c 4 3 ad da ikM kE 4 2 得 5 d c d a k M dt d k J i 3 5 1 得 2 2 c d ac a a rd d a d a M k R dt dM R L uk dt d k JR dt d k JL 整理并定义两个时间常数 机电时间常数 m d a T k JR 2 电磁时间常数 a a a T R L 电机方程 1 2 2 r d mma u kdt d T dt d TT 如果忽略阻力矩 即 方程右边只有电枢回路的控制量 则电机方程是一典0 c M r u 型二阶方程 如果忽略 电机方程就是一阶的 a T0 a T r d m u kdt d T 1 小结 小结 本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型 介绍了系统的动态以及静态数学模型 描述了系统的动态微分方程 并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程 的步骤 2 2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 求解微分方程 可求出系统的输出响应 但如果方程阶次较高 则计算很繁 因此对系统的设计 分析不便 所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算 可是问题分析大大简 化 1 传递函数的定义 传递函数 线性系统 在零初始条件下 输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比 叫做系 统的传递函数 线性定常控制系统微分方程的一般表达式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述 1 1 1 10 1 1 1 10 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a mm m m m m nn n n n n 式中c t 是系统输出量 r t 是系统输入量 3 2 1 niai 和 2 1 mjbj 是与系统结 构和参数有关的常系数 设r t 和c t 及其各阶系数在t 0是的值均为零 即零初始条件 则对上式中各项分别求拉氏 变换 并令c s L c t R s L r t 可得s的代数方程为 1 1 101 1 10 sRasbsbsbsCasasasa mm mm nn nn 于是 由定义得系统传递函数为 1 1 10 1 1 10 sN sM asasasa bsbsbsb sR sC sG nn nn mm mm 式中 mm mm bsbsbsbsM 1 1 10 nn nn asasasasN 1 1 10 2 关于传递函数的几点说明 1 传递函数的概念只适应于线性定常系统 2 G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 因为许多 不同的物理系统具有完全相同的传递函数 3 传递函数只与系统本身的特性参数有关 与系统的输入量无关 4 传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律 5 传递函数分子多项式阶次 m 小于等于分母多项式的阶次 n 6 传递函数与微分方程之间的关系 sR sC sG 如果将 dt d S 置换 微分方程传递函数 7 脉冲响应 脉冲过渡函数 g t 是系统在单位脉冲 t 输入时的输出响应 因为 1 tLsR tt dgtrdtgtrsRsCLsCLtc 00 11 传递函数 G s 的拉氏反变换是脉冲响应 g t 3 传递函数的求法 图 2 6 输入量 Xr u 输出量 Xc i 列回路电压方程 u Ri L 2 27 dt di 即 Xr s RXc s LSXc s 2 28 经整理得 2 29 sXr sXc 1 1 1 sT R 其中 Tl 为电路的时间常数 R L 思考题 什么是零初始条件 0 0 2 2 2 ysysys dt yd L 如何从该框图求得与之间的关系 传递函数从微分方程 2 3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 任何系统都是由各环节构成 知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数 从而对系统进行分析 这些典型环节包括 比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节 振 荡环节和时滞环节 下面分别加以介绍 1 比例环节 KsG 式中 K 增益 特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 实例 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应式变送器等 2 惯性环节 1 1 TS sG 式中 T 时间常数 特点 含一个储能元件 对突变的输入其输出不能立即复现 输出无振荡 实例 图2 4所示的RC网络 直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节 3 微分环节 理想微分 KSsG 一阶微分 1 SsG 二阶微分 12 22 SSsG 特点 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 实例 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节 4 积分环节 S sG 1 特点 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 5 振荡环节 12 1 2 222 2 2 TSSTSS sG nn n 式中 阻尼比 10 无阻尼自然振荡频率 n n T 1 特点 环节中有两个独立的储能元件 并可进行能量交换 其输出出现振荡 实例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 6 纯时间延时环节 trtc s esG 式中 延迟时间 特点 输出量能准确复现输入量 但须延迟一固定的时间间隔 实例 管道压力 流量等物理量的控制 其数学模型就包含有延迟环节 小结 小结 通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数 并了解了典型 二阶环节各参数的物理意义 2 4 系统的结构图系统的结构图 一 结构图的定义及其组成一 结构图的定义及其组成 1 结构图 是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形 它表示了系统的输入输出 之间的关系 2 结构图的组成 1 信号线 带箭头的直线 箭头表示信号传递方向 2 分支点 引出点 表示信号引出或测量的位置 注意 同一位置引出的信号大小和性质完全一样 3 比较点 对两个以上信号加减运算 4 方框 方框图内输入环节的传递函数 3 动态结构图的绘制步骤 1 建立控制系统各元件的微分方程 传递函数 要标明输入输出量 2 对元件的微分方程进行拉氏变换 并作出各元件的结构图 3 按系统各变量的传递顺序 依次将各元件的结构图连接起来 二 系统动态结构图的求法二 系统动态结构图的求法 例如图 2 9 是闭环调速系统 图 2 9 一 求各环节的传递函数和方框图 1 比较环节和速度调节器的传递函数和方框图 sc R R R R su sI s f 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 2 0 1 0 1 0 R sc sc sII f sc R su sIc 1 1 1 0 1 R susI rr Ud 2 0 R 2 0 R ST KS Ur n id i C0 R0 R1 ir Ic if C1 Uk Cr Uf sIsIsI frc 1 1 1 01 1 sT susu s s ksu frck 式中 为滤波常数 为时间常数 004 1 0 cRT 111 cR 为比例系数 为速度调节器函数 0 1 R R kc 1 sw 为速度反馈滤波传递函数 2 sw 方框图如 图 2 10 2 速度反馈传递函数 为速度反馈系数 snksu spf sp k 图 2 11 3 电动机及功率放大器装置的传递函数 W1 S W2 S Ur S UK S Uf S KSP n S Uf S 函数 为功放电压放大系数 s s s k su su sw s k 图 2 12 电动机电框回路的微分方程 nc dt d liRu e id dddd 零初始条件下拉氏变换 1 4 swsncsu sTR sncsu sI ed dd ed d 电框回路传递函数 4 sw 图 2 13 电动机带负载时运动方程 dt dnGD cici mzmd 375 2 拉氏变换 375 2 sSn R c TsSn Rcc RcGD sIsI d e m dem de zd 2 47 swsIsI STc R sIsIsn szd me d zd 二 系统动态结构图 KS Ud S UK S W4 S Ce Ur S Id S n S 图 2 14 三 框图的等效变换三 框图的等效变换 1 框图几种常见的连接方式 1 环节串联连接的传递函数 W1 S Xr S X1 S W2 S X2 S W3 S XC S 图 2 15 证明 11 sxswsx r KC S S 1 1 1 KS Ur S E S Ur S n S STC R me d S R d d 1 1 IZ S Id S Ud S Ksf Ce Uf S STC 1 1 112 sxswsx 233 sxswsx 消去中间变量得几个环节串联的传递函数 2 50 321 swswswsw 若有几个环节串联 则等效函数 2 51 n i in swswswswsw 1 21 2 环节并联的传递函数 W1 S Xr S W2 S W3 S XC S W1 S W2 S W3 S Xr S XC S 图 2 16 证明 2 52 321 321 321 sxsw sxswswsw swsxsxswsxsw sxsxsxsx r r rrr c 2 53 321 swswswsw sx sx r c 若有几个环节并联 2 54 n i in swswswswsw 1 21 3 反馈连接的等效传递函数 图 2 17 特点 将输出量返回系统输入形式闭环 有两个通道 正向通道 反馈通道 传递函数的推导 1 sEswsxc sxsxsE fr 2 sxswsx cf 2 sxswsxsE cr 21 sxswsxswsx crc 121 sxswsxswswsx rcc 2 55 1 21 1 swsw sw sw 传递函数为 W1 S W2 S Xf S E S Xr S XC S 2 框图的等效变换 1 相加点从单元输入端移到输出端 图 2 18 变换前 2113 sxsxswsx 变换后 21112113 sxsxswswsxswsxsx 2 相加点从单元输出端移到输入端 图 2 19 变换前 2113 sxsxswsx 变换后 1 21112 1 13 SXSWSXSWSX SW SXSX 3 分支点从单元输入端移到输出端 W1 S X2 S X1 S X3 S W1 S X2 S X1 S X3 S W1 S W1 S X2 S X1 S Xf S W1 S X1 S X3 S 1 1 SW W1 S X1 S X2 S X1 S W1 S X2 S 1 1 SW X1 S 图 2 30 4 分支点从单元输出端移到输入端 图 2 31 5 分支点及相加点可以互换 图 2 32 W1 S X1 S X2 S X2 S W1 S X2 S X2 S W1 S X1 S W1 S X1 S X2 S X2 S W1 S W1 S X2 S X1 S W2 S X3 S X1 S X4 S X2 S X1 S X4 S X2 S X3 S 图 2 33 四 几个基本概念及术语四 几个基本概念及术语 R s 给 定输入 C s 输 出 B s 主 反馈量 E s 误 差 1 前向通 路传递 函数 假 设 N s 0 打开反馈后 输出 C s 与 R s 之比 在图中等价于 C s 与误差之比 E s 打开反馈后 输出量拉氏与输入量拉氏之比 21 sGsGsG sE sC 2 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设 N s 0 主反馈信号 B s 与输出信号 C s 之比 sH sC sB 3 开环传递函数 Open loop Transfer Function 假设 N s 0 主反馈信号 B s 与误差信号 E s 之比 图 2 34 反馈控制系统方框图 4 只有给定输入作用 N S 0 1 21 21 sHsGsG sGsG sGr 系统输出 1 21 21 sHsGsG sRsGsG sCr 5 只有扰动作用 0 sN 1 21 2 sHsGsG sG sGn 1 21 2 sHsGsG sNsG sCn 系统总输出 1 1 21 2 sNsRsG sHsGsG sG sCsCsC nr 小结 小结 通过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图的求法 并能应用各环节的传递函数 求系统的动态结构图 掌握等效的概念及等效变换的基本原则 能够求出复杂结构图的 传递函数 2 5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 一 信号流图一 信号流图 由系统的结构图可以求出系统的传递函数 但是系统很复杂时 结构图简化很繁 采用信 号流图 不必对信号流图简化 应用统一公式 可求出系统的传递函数 1 1 绘制方法 绘制方法 1 由代数方程绘制 例 描述系统的方程组为 X2 aX1 bX2 gX5 X3 cX2 X4 dX1 lX3 fX4 X5 X1 hX4 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络 节点表示系统的变量或是信号用 O 表 示 支路用有向线段表示 该系统的信号流图 图 2 35 c a b d h e g X4 X5 fX3X2X1 2 由系统结构图绘制 图 2 36 图 2 37 2 2 信号流图使用术语信号流图使用术语 源点 汇点 混合节点 闭通路 回环 回路增益 前向通路 自回路 不接触回 X4 X3 Xr X1X2 a g XC bc l d f g c d b a f l X4 Xc X2X1 Xr X3 路 讲法 讲法 结合信号流图讲述 3 3 梅逊增益公式求传递函数梅逊增益公式求传递函数 利用梅逊增益公式 不用对系统结构图变换 一点写出系统的传递函数 2 65 n K KK r c T X X T 1 1 X 系统输出量 X 系统的输出量 T 系统总传输 T 第 K 条前向通路的传输 rck n 从输入节点到输出节点的前向通路数 信号流图的特征式 2 66 m m LLLL 1 1 321 信号流图中所有不同回环传输之和 1 L 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和 2 L 信号流图中每三个互不接触回环的传输乘积之和 3 L 信号流图中每 m 个互不接触回环的传输乘积之和 m L 第 K 条前向通路特征式的余子式 是在中除去与第 K 条前向通路相接触的各回环传输 k 即将其置零 例 1 如图求系统总的传输 l X2X3 11 g c d b a f X4Xc X1 Xr X5 图 2 38 根据梅逊增益公式 T n k kk T 1 1 此系统有两条前向通路 n 2 其传输 abcd T fd 三个回环 L be L abcdg L fdg 1 T 2abc 三个回环只有 L 和 L 互不接触 ab 0 32 LLLL ca 系统的特征方程式 2 1 1LL 1 L cacba LLLL 1 be abc f bef dg 为除去 在中 得 T 特征余子式 1 1 1 1 在中除去与 T 接触回环 L得特征余子式 2 2cb L be 1 系统的传输为 T 2 1 2211 11 k kk TTT dgbefabcfbe befdabcd 1 1 例 2 如图求系统传递函数 X r Xr X1 X2 X2 X2 XCX5 W2 W3 W4 H2W5 H1 W1 图 2 39 信号流图 图 2 40 系统前向通路 T1 W1W3W5 T2 W2W4W5 系统回环及传输 W1W3W5H1 a W2W4W5b W3H2c W4H2d W1W3W5H1 W2W4W5H1 W3H2 W4H2 LdLcLbLaL1 X1 X3 W51 H2 Xc X 1XrX5 H1 1 1 W2 W4 W3 W1 X2 X4 各回环相互接触 0 32LL 各回环与前向通路 T1 T2 接 241315421531111HWHWHWWWHWWWL 触121 系统传递函数 W S 2211TT 2423154215311 542531 HWHWHWWWHWWW WWWWWW 小结 小结 通过本节课的学习 使学生掌握信号流图的概念 会用梅逊公式求系统闭环传递函数 并且能够求出第 K 条前向通道特记式的余子式 k 习题课习题课 1 J1 J2 1 2 M 1 2 f1 f2 Z1