高考数学一轮复习 12.3 不等式选讲精品课件 理 新人教A版.ppt

12 3不等式选讲 1 绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用 特别要注意等号成立的条件 a b a b a b a b ab 0 ab 0 考点分析 ax b c ax b c 解 x c x b a采用方法 3 证明不等式的常用方法 1 比较法 分作差比较法和作商比较法两种 一般对于多项式类和分式类的用作差比较法 对于含有幂指数类的用作商比较法 2 综合法 利用已知条件和公式 定理等直接推导所要证明的不等式 其过程是 由因导果 常用到以下不等 a2 0 a b 2 0 a2 b2 2ab a b r a b r 零点划分法 c ax b c ax b c或ax b c 3 分析法 从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的条件 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题 这是一种 执果索因 的方法 4 放缩法 依据不等式的传递性 具有一定的技巧性 常用的放缩法有 加项或减项 利用比例的性质 利用均值不等式 利用函数单调性 一定要把握好 度 使其恰到好处 5 换元法 注意新元的取值范围 保证等价性 6 含有 至多 至少 唯一 不大于 不小于 等词语的 考虑用反证法 考点一 ax b c 型不等式的解法 解不等式 1 2x 5 8 2 2 3x 7 分析 利用绝对值的意义 将绝对符号去掉 题型分析 解析 1 由原不等式得 8 2x 5 8 x 原不等式的解集为 x x 2 由原不等式得3x 2 7或3x 23或x3或x 评析 含绝对值的不等式的解法 关键是利用绝对值的意义去掉绝对值 在变形过程中要特别注意保证同解 同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰 区别 并 还是 交 的关键是 或 还是 且 同时还要分清端点是否包括在内 对应演练 解不等式 3 x 2 9 解法一 原不等式等价于 x 2 3 x 2 9 x 2 3或x 2 3 x 5或x 1 9 x 2 9 7 x 11 原不等式的解集为 x 7 x 1或5 x 11 即 解法二 原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 x 2 0 x 2 0 3 x 2 9 3 2 x 9 不等式组 1 的解集为 x 5 x 11 不等式组 2 的解集为 x 7 x 1 原不等式的解集为 x 7 x 1或5 x 11 1 2 解法三 不等式3 x 2 9的几何意义是表示在数轴上到2的距离大于或等于3且小于9的点的集合 如图所示 原不等式的解集为 x 7 x 1或5 x 11 考点二 x a x b c 型不等式的解法 解不等式 x 1 x 2 5 分析 这是一个含有两个绝对值符号的不等式 为了使其转化为不含绝对值符号的不等式 要对未知数x进行分类讨论 即用 零点划分法 将实数分成x 2 2 x 1和x 1三个部分进行讨论 解析 解法一 用 零点划分法 将实数分类 令x 1 0得x 1 令x 2 0得x 2 1 当x 3 3 x 2 2 当 2 x 1时 原不等式化为 x 1 x 2 5 即3 5恒成立 2 x 1也是原不等式的解集 3 当x 1时 原不等式化为 x 1 x 2 5 即x 2 1 x 2 综合 1 2 3 可知 原不等式的解集为 x 3 x 2 解法二 不等式 x 1 x 2 5表示数轴上与点a和点 两点距离之和小于5的点的集合 而a b间距离为3 因此 线段ab上每一点到a b的距离之和等于3 如图12 3 1所示 要找到与a b距离之和为5的点 只需由点b向左移1个单位 此时距离之和增加2个单位 即移到点b1 或由点a向右移1个单位 移到点a1 可以看出 数轴上点b1向右和点a1向左之间的点到a b距离之和小于5 原不等式的解集为 x 3 x 2 解法三 分别作函数y1 x 1 x 2 2x 1 x 2 3 2 x 1 2x 1 x 1 和y2 5的图象 如图所示 不难看出 要使y1 y2 只需 3 x 2 原不等式的解集为 x 3 x 2 评析 解这类含两个绝对值符号 且绝对值符号里是一次式的不等式 一般解法有三种 分别是 零点划分法 利用绝对值的几何意义法 和 利用函数图象法 对应演练 设不等式 x 1 x 2 k的解集非空 求k的范围 由y x 1 x 2 可知 当x 2时 y 2x 1 2 2 1 3 当 1 x 2时 y 3 当x 1时 y x 1 2 x 1 2x 3 即y 3 对于k x 1 x 2 无解 即k x 1 x 2 恒成立 可知k 3 即所求k的范围是 3 考点三不等式的证明 比较法 已知a b m n r 求证 am n bm n ambn anbm 证明 am n bm n ambn anbm am an bn bm bn an am bm an bn y xn y xm在 0 上是增函数 当a b时 am bm an bn 当a b时 am bm an bn 当a b时 am bm 故 am bm an bn 0 所以am n bm n ambn anbm 分析 可用比较法证明 评析 1 此题用的是作差比较法 其步骤 作差 变形 判断差的符号 结论 其中判断差的符号为目的 变形是关键 常用的变形技巧有因式分解 配方 拆项 拼项等方法 2 本题易错的地方 不讨论而直接判定出an bn am bm 对应演练 求证 x2 5 3x 证明 x2 5 3x x2 3x 5 x 0 x2 5 3x 考点四不等式的证明 综合法 分析法 若a b c均为正数 求证 分析 证明时可用分析法 也可用综合法 证明 证法一 欲证只要证只要证只要证 a b c a b c b c a c a b 故原不等式成立 证法二 a b c 3 b c a c a b 3 3 评析 1 本题证法一联合使用了综合法与分析法 实际上是以分析法为主 借助综合法 使证明的问题明朗化 此种方法称为分析综合法 分析综合法的实质是既充分利用已知条件 又时刻不忘解题目标 即不仅要搞清已知是什么 还要搞清干什么 瞻前顾后 便于找到解题途径 2 本题证法二是综合法 运用分析法易于找到思路 但书写较繁 所以常常用分析法探索证明途径 用综合法书写证明过程 对应演练 广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考 数学理 a b是不相等的正数 且a3 b3 a2 b2 求证 1 a b 证明 a3 b3 a2 b2 且a b a2 ab b2 a b a b r 于是 a b 2 a2 2ab b2 a2 ab b2 a b 且a b 0 两边同除以a b 得a b 1 欲证a b0 可证3 a b 20 a b 2 0 a b 则不等式成立 故a b 成立 1 a b 考点五不等式的证明 放缩法 证明 2 令k 1 2 3 n 则有 2 0 2 1 2 2 以上各式相加得1 2 证明 不等式1 2 n n 分析 此种类型的题宜用放缩法 评析 用放缩法时 放缩要有目标 才能放缩适度 用放缩法证明不等式的过程中 往往采用添项或减项的 添舍 放缩 拆项对比的分项放缩 函数的单调性放缩 重要不等式的放缩等方法 要注意合理使用 保证不等式的同向传递 已知a b c均为正数 且a b c 求证 证明 a b c a b c 0 由真分数的性质 可得 对应演练 考点六不等式的证明 反证法 已知函数f x ax a 1 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 2 证明 方程f x 0没有负根 分析 1 利用单调性的定义 2 用反证法 证明 1 证法一 任取x1 x2 1 不妨设x10 1且 0 1 0 又 x1 1 0 x2 1 0 于是f x2 f x1 0 故函数f x 在 1 上为增函数 证法二 f x ax 1 a 1 求导得f x axlna a 1 当x 1时 axlna 0 0 f x 0在 1 上恒成立 f x 在 1 上为增函数 2 证法一 设存在x01 0 f x0 1与f x0 0矛盾 故方程f x 0没有负根 评析 1 用反证法证明命题 若p则q 时 可能会出现以下三种情况 导出非p为真 即与原命题的条件矛盾 导出q为真 即与假设 非q为真 矛盾 导出一个恒假命题 2 适宜用反证法证明的数学命题 结论本身是以否定形式出现的一类命题 关于唯一性 存在性的命题 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题 3 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 常见的 结论词 与 反设词 列表如下 若a b c x y z均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 证明 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 a b c 0 而a b c x2 2y y2 2z z2 2x x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 a b c 0 这与a b c 0矛盾 故a b c中至少有一个大于0 对应演练 1 解含绝对值的不等式 要根据绝对值的意义 去掉绝对值符号 转化为不含绝对值符号的不等式 或不等式组 求解 对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法 2 在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题 1 比较法证题通常是进行因式分解或进行配方 利