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高一数学复习资料第一章 集合与简易逻辑集合初步知识（一） 集合的基本概念.1集合及其元素：“三要素”：确定性；互异性；无序性2集合的分类；3集合的表示法；4常见数集:； 注：表示除去0的自然数集， 表示正整数集，表示负整数集（其他数集类似）AB图1(二) 集合与集合的关系1子集、真子集（包含关系）如图1：注：有两层意思：或 有n个元素的集合A的子集个数为个，真子集个数为个是任何集合的子集，即 （A为任何集合） （A为非空集合）若且，则（即A、B的元素全部相同）任何集合A都是自己本身的子集，2补集及全集：注：同一集合在不同的全集中补集不同；设3交集、并集：常用结论： 若； 若； 若；(4)，（三） 例题与练习例1用适当的符号填空： （1）； （2）；（3）； （4）例2若集合A，B，C满足则A，C之间关系是 （ C ） C A 例3设， ，集合等于 （ B ） 例4满足关系 的集合B有 （ C ）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个例5足条件的集合M的个数是 （ C ）A.4 B.3 C.2 D.1 (2002北京，1)例6如图1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ C ）I 例7设全集为R，（a为常数），则 （ D ） （1998 上海） 例8若全集I=R，、均为a的二次函数，则不等式组的解集可用P、Q表示为例9已知解析：由集合互异性知x与y均不等于1，要使只有，显然，由此得例10设集合，求a的取值范围解： 练习:1下列关系式中：，正确的是_. 2设 ，则N_3集合，求实数a的取值范围含绝对值不等式的解法1的取值变化对含绝对值不等式的影响不等解集a的取值式RRR2形如的不等式思路：将绝对值符号内的式子看作一个整体先去掉绝对值符号再求解的解法雷同3复合型绝对值不等式（零点分段讨论法）如 分析：关键是去掉绝对值符号，这只要按分别是负数、零、正数讨论即可步骤：找分界点： -32分段去绝对值符号 当时，原不等式化为： 当时，原不等式化为： 当时，原不等式化为：原不等式的解集为的解集的并集注：在数轴上从左到右分段有序讨论;原不等式的解集为各部分的并集.4连立不等式形如： 解题思路：原不等式先化为不等式组，再求解例题与练习例1若不等式的解集为，则实数等于 （ C ）A.8 B.2 C.4 D.8 （2003京春理）例2已知全集U=R，例3已知例4已知不等式的解集为，则a,b=.例5对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围例不等式的解集是例7若恒成立，则实数a的取值范围为例在整数集内解不等式解：原不等式化为 故原不等式的解集为例解不等式解：由，它们将数轴分成三段，于是，原不等式变为 所以原不等式的解集为的并集R例10解不等式组：解：因为故原不等式化为：练习：1 解下列不等式：； 2 设不等式的解集为R，则b的取值范围是_.3 解不等式组. 4. 解不等式.一元二次不等式的解法1 形如一般形式不等式的解法：判别式二次函数的图象方程的根有两相异实根有两相等实根没有实根的解集R的解集记忆：当，不等式为“”时，解集取两根之外；“”时，解集取两根之间注：解一元二次不等式之前要把不等式化为一般形式再求解，要注意两点：不等号右边是否为0；二次项系数是否为正数2 因式不等式，形如的不等式解法：法一：讨论法：（符号法则）原不等式原不等式的解集为这两个不等式组的解集的并集法二：当x的系数为正数时 其对应方程的两根为： 然后根据上面的表格套用结论。 分式不等式，形如的不等式解法：同解于注：不论是因式还是分式不等式，解题前要注意：不等号右边为；x的系数为正数分式不等式中：若忽略，将产生错解；分式不等式不能两边同时乘以分母，否则容易出错（因为分母可能是负的，除非能确定分母是正数）3标根法如： （x的系数均要为正）步骤: 找分界点： 标根123X注：从右上方开始穿根 求解：“0”时，解集为在x轴上方各部分的并集；“0”时，解集为在x轴下方各部分的并集例题与练习例1若，二次函数的图象与x轴的交点个数是例不等式与不等式的解集相同，则a、b的值分别是例函数（）恒取正值的条件是 （ A ）例解不等式(分析：先把此不等式化为分式不等式的一般形式再求解)解：原不等式化为：故原不等式的解集为：例解不等式：解：要使原不等式成立，只有当且仅当时成立即例对于，是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由解析：因为，故两个集合均为空集，所以，即解得例设的定义域为，函数的定义域为，若，求实数a的取值范围解析：，由知故（注意端点）例8已知关于x的方程 (k-2)x2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k的取值范围解：练习：不等式对一切都成立，则实数a的取值范围是_不等式的解集为_设，则关于x的不等式的解集为_.解不等式若关于x的方程x2+ax+a-1=0，有异号的两个实根，求实数a的取值范围简易逻辑 命题:简单命题；复合命题 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”注：不含“或”、“且”、“非”这几个字，但具有“或”、“且”、“非”的意义的命题也是复合命题3复合命题真假的判别：（真值表）（1）“非p”形式：记忆：“真假相反”p非p真假假真（2）“p且q”形式：记忆：“同真为真 ” （3）“p或q”形式：记忆：“同假为假”pqp且q pqp或q真真真真真真真假假真假真假真假假真真假假假假假假4四种命题间的关系：逆命题若q则p逆否命题若q则p 互逆互逆互 否互 否互为逆互为逆否否原命题若p则q否命题若p则q 注：四种命题的关系是相互的，例如：如果p是q的逆命题，那么q也是p的逆命题互为逆否关系的两个命题等价（同真假），即：原命题逆否命题 （原命题的）否命题（原命题的）逆命题充要条件p是q的命题充分不必要条件必要不充分条件充要条件即不充分也不必要条件条件的证明：如充要条件：步骤：（1）“” （2）“”6反证法实质：欲证”若p则q”为真，即是证“若”为真（因互为逆否命题）步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确矛盾的情况：（1）与题设矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与公理、定理矛盾适宜用反证法的问题：已知条件很少的命题；结论的反面比原结论更具体的命题，尤其是结论为否定形式的；有关存在性和唯一性的问题；涉及无理数的问题；要证的结论是无限的，而其反面是有限的问题等例题与练习例下列命题中的复合命题是（）12是的倍数 集合不是空集例设不等式（或方程）p的解集是q，那么q是p的例设为全集，有下面四个命题：；其中是命题的充要条件的命题序号是（）例分别指出下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：；不等式的解集为空集，方程有两个正数根一个有理数与一个无理数的和是无理数，一个有理数与一个无理数的积是无理数例判断下列命题的真假：若xyyz，则xz的逆命题；面积相等的两个三角形全等的否命题；若a、b全为零，则ab的逆否命题；如果三角形有一个角是钝角，那么另两个角是锐角的逆命题；若，则有实根的逆命题、否命题、逆否命题例若a，b，c均为实数，且（x，y，z为实数），求证：a，b，c中至少有一个大于零证明：假设a，b，c全小于，则：与假设矛盾，故a，b，c中至少有一个大于零例求使关于x的一元二次不等式对一切实数均成立的充要条件解析：不等式对一切实数均成立函数的图象全在x 轴上方故使对一切实数均成立的充要条件为例设p和q是两个命题，如果p是q的充分不必要条件，那么的什么条件？例若均为实数，且，求证：中至少有一个大于零证明：假