私家车保有量增长的预测及调控.docx

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除私家车保有量的增长的预测及调控长安大学 程牧刚 陈晓渭 杨剑浩摘 要本文针对私家车保有量的增长的预测及调控问题的几个要求，建立了多个模型进行解答。由于该问题总体上是一个确定性离散问题，无法通过分析问题对象的因果关系建立合乎机理规律的模型。因此，我们从数据处理入手，通过对数据的合理处理找寻其内部关系。 对于问题一，由于题目中给出的影响因素过于繁多，对模型的建立造成干扰，同时又因为数据形式是一个时间序列数据 ，各因素间可能会产生自相关现象，影响模型预测的准确度，因此我们先对数据进行了相关性分析，排除了部分因素。，因为私家车保有量与各剩余因素间的关系是非线性的，我们对私家车保有量取自然对数，使之变为线性关系，然后采用逐步回归的办法，继续排除部分因素，确定最终的主要影响因素。接着对选取的主要影响因素进行数据拟合，并对相关数据建立多元线性回归模型，求得最终结果。对于问题二，题目中给出了一条关于政府货币调控政策信息，由于附表中给出了2007年四个季度的各个经济因素的统计值和实际私家车保有量，因此我们考虑对07年之前的数据进行线性回归，建立模型，预测出在没有政府政策影响的情况下应该会有多少量私家车，用这两个数据进行比对。同时，用1996年至2006年的数据，确定出这十一年的私家车保有量增加速率，再用2007年四个季度和2008年第一季度的数据，计算出政府调控期间的私家车保有量增加速率，将以上两组数据画成图形，比较这两组图形的趋势。通过以上两项，找出政府政策的影响。对于问题三，我们通过建立车辆数，运行里程等相关因素与废气排放物排放额度的关系式组，计算出该地区私家车保有量与公交车辆数的比例，从而确定调控方法。问题一的结果：影响该地区私家车保有量的主要因素有人均国内生产总值，全社会消费品零售总额，运营公交车辆数和居民储蓄款余额；2010年该地区的私家车保有量约为211万辆。问题二的结果：由于政府采取紧缩性货币政策，07年从一季度到四季度，人均国内生产总值不断降低，社会流动资金减少，使得全社会消费品零售总额(亿元)也随季度不断下降，而2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率使得人们更愿意将钱存入银行，所以居民储蓄款余额(亿元)一路攀升。由于政策对这些因素的影响，使得这些因素发生改变，从而导致该地区私家车保有量增加速度下降，最终的量数减少。问题三的结果：我们给出该地区私家车保有量与公交车辆数的比例的计算式，和最终比例选取方法：。 关键词： 相关性分析 逐步回归 多项式拟合 多元线性回归一、问题重述 我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右。在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比。私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，环境污染对汽车工业的发展提出了严格的要求。我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX和PM允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准)。从2007年7月1日起实施国排放标准，据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。问题1、根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？问题2、自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等. 据统计, 2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？ 问题3、 假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？二问题假设和符号说明2.1符号说明：第i年运营的公交车数量。：第i年的私家汽车保有量。：第i年公交车运营总里数。：受到调控限制后第i年运营的公交车数量。：受到调控限制后第i年的私家汽车保有量。：受到调控限制后第i年公交车运营总里数。：第i年每辆运营的公交车每公里排放的j类废气量。:第i年第j类废气每公里实际排放额。:第i年第j类废气每公里排放限额。2.2问题假设1.每辆小汽车平均每年运行的公里数是每辆公交车平均每年运行的公里数的1/5。2.每辆小汽车每公里排放的污染物比公交车高九倍。3.污染物仅为CO、HC、NOX和PM。三、问题分析和基本思路3.1 问题分析和处理思路该问题是一个确定性离散性问题，由于对该问题本身的认识有很大的局限性，同时，问题内部规律过于复杂多变，无法通过分析问题对象的因果关系建立合乎机理规律的模型。因此，我们决定通过对题目中所提供的数据进行分析以此来探寻内部联系，建立模型。 (一) 问题1的分析问题一要求分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测2010年该地区私人汽车保有量的数量。附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据，该数据表主要包含了该地区的人均国内生产总值，全社会消费品零售总额额，全社会固定资产投资总额等十一类经济数据，以及各年份的私人汽车保有量。这些数据与私人汽车保有量的变化或多或少都有着一些关系，为了准确完成对该地区2010年私人汽车保有量的预测，我们对这十一类数据进行相关性分析，选出主要影响因素，构造模型进行预测。(二) 问题2的分析问题二中给出了一条信息，即政府的货币调控政策：政府决定自2007年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等，要求我们分析这些措施对该地区私人汽车保有量产生了怎样的影响。由于附表中给出了2007年四个季度的各个经济因素的统计值和实际私家车保有量，因此我们考虑用07年之前的数据建立模型，预测出在没有政府政策影响的情况下应该会有多少量私家车。用这两个数据进行比对，找出政府政策的影响。同时分析政策影响使得07年各个季度主要因素的变化。(三) 问题3的分析问题三中给出了汽车排放污染物的一些标准，同时给出了私人汽车和公交车的排放污染物的关系, 要求通过这些关系和标准调控该地区的公交车和私人汽车保有量。问题三要求对公交车和私人汽车保有量进行调控，首先我们希望选定调控标准，即表示方法。由于题目中并没有给出具体的数据来显示该地区的公交车量数，因此我们没有办法给出具体到辆的调控方案，因此我们决定采用比例的形式给出调控方案。使得该地区私家车保有量与公交车辆数保持在一定的比例，只要给出总的汽车辆数，即可知道两类车具体的数量。4 问题处理与求解4.1问题准备（1）.主因素的初步选取问题一是对某地区私人汽车保有量的影响因素进行分析，并预测2010年该地区私人汽车保有量的数量。考虑到题目中提供的经济因素过于繁多，从表中无法直接看出主要影响因素，因此，我们首先对表中的数进行处理，对其作相关性分析。定义指标：到为自变量，按顺序依次对应附表中的某地区相关统计数据；为私人汽车保有量，即应变量。需要寻找与间的相关关系。计算相关系数由三种方法：（1）.Pearson相关系数：度量两个变量之间的线性相关程度，其相关系数前的符号表示相关关系方向，绝对值表示相关程度大小，系数越大，相关性越强；（2）.Kendall偏执相关系数：适用于度量等级变量或秩变量相关性的一种非参数度量；（3）.Spearman秩相关系数：主要基于数据的秩，适用于等级数据和不满足正态假定的等间隔数据。在这里我们采用第一种方法，即Pearson相关系数。利用MATLAB统计工具箱中的corrcoef命令直接得到这十二个变量的相关系数矩阵，如下表所示：表一相关系数x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11yx110.990570.993790.966240.9264-0.080710.961130.988970.97950.988240.961890.90241x20.9905710.9880.966150.93044-0.178470.960430.987370.978330.98940.954750.90475x30.993790.98810.955960.90788-0.077050.947740.994160.981780.982590.940520.87757x40.966240.966150.9559610.94036-0.050850.997450.952110.910560.987190.968970.96098x50.92640.930440.907880.940361-0.058060.954520.895220.891130.95220.963060.96533x6-0.08071-0.17847-0.07705-0.05085-0.058061-0.0254-0.14745-0.12283-0.081870.0069870.017236x70.961130.960430.947740.997450.95452-0.025410.939720.903530.98570.979450.97702x80.988970.987370.994160.952110.89522-0.147450.9397210.974090.979830.920250.86303x90.97950.978330.981780.910560.89113-0.122830.903530.9740910.955550.921630.83562x100.988240.98940.982590.987190.9522-0.081870.98570.979830.9555510.970440.94499x110.961890.954750.940520.968970.963060.0069870.979450.920250.921630.9704410.97061x120.902410.904750.877570.960980.965330.0172360.977020.863030.835620.944990.970611在相关性分析中，一般认为只有两个变量的相关系数超过0.85时才具有显著的相关关系。由上表的结果可知，与相关关系显著的有，这九个变量，排除了变量和。4.2问题求解第一部分：问题1的处理与求解我们发现，经过相关性分析虽然排除了两个变量，但依然有九个变量都与有很大的关系，变量的数目仍旧很多，仔细观察上表，不难发现在这九个变量中两两之间的相关性几乎都很强，这就意味着这九个因素之间对互相都有很大的影响。而我们认为，在这九个因素中由于其互相影响性的存在，其中的某些因素对的影响必然可以因为其他相关因素的存在而显得多余，举个例子：若与，存在显著相关性，且与，与也分别存在显著的相关关系，则可以认为，有了，的存在，变量就是多余的，应该去掉。从而使模型变得尽量简单有效。基于以上分析，我们考虑通过逐步回归的方法对因素进行再次的筛选，以使因素的数目进一步减少。我们进行逐步回归的基本思路如下：先确定一个包含若干自变量的初始集合，然后每次从集合外的变量中引入一个对因变量影响最大的，再对集合中的变量进行检验，从变得不显著的变量中移出一个影响最小的，依次进行，直到不能引入和移出为止，其中引入和移出都以给定的显著性水平为标准进行判别。我们对第一步中选出的九个变量进行重新的标号：按顺序依次为到，仍然为私有汽车保有量，即因变量。在进行逐步回归之前，我们先对因变量与这九个因素中每一个因素之间的关系进行大致的分析，利用附表中的数据，分别作出对的散点图,这里我们给出与其中四个因素的散点图，其余的图均与之类似，如下图所示：图一从散点图中可以看出，因变量分别与九个自变量之间的关系均不是线性关系，从图形的走势来看接近于指数函数。这样的关系对逐步回归会产生一定的影响，因此我们考虑对因变量做一定的变化，对取自然对数得:，对新的因变量与这九个因素中每一个因素之间的关系进行大致的分析，分别作出对的散点图,这里我们仍然给出与其中四个因素的散点图，其余的图均与之类似，如下图所示：图二从散点图中可以看出，因变量分别与九个自变量之间的关系均近乎于线性关系，这正是我们希望看到的结果。接下来对因变量与九个自变量进行逐步回归处理。按照逐步回归的基本思路，我们得到最终的结果为：剔除了因素，保留变量，即人均国内生产总值，全社会消费品零售总额，运营公交车辆数和居民储蓄款余额。下面是逐步回归后得到的最终评价参数:表示决定系数；表示统计量值；表示剩余标准差。上面的数据显示，因变量的99.9531%可由这四个因素决定，值远远超过检验的临界值，剩余标准差仅有0.0308836，非常小，这些都表明模型中仅选取变量，是合适的。为了便于叙述，我们对得到的四个因素重新进行编号，按照顺序依次为：，。现利用上面选出的四个主要影响因素以及1996至2005年的数据进行线性回归，得到关于，的线性函数表示式为：下表为模型的参数估计值及参数置信区间：其中表示回归方程的决定系数；表示统计量值；表示与统计量对应的概率值，为置信水平。表二参数参数估计值参数置信区间0.23472-1.78E-01 6.47E-012.59E-051.02E-05 4.17E-050.00046875-4.51E-05 0.00098258-1.36E-04-0.00026999 -2.31E-066.69E-040.00032598 0.0010122 =0.99929 F=1767.6 p=4.6441e-008该表显示指因变量的99.929%可由模型确定，值远远超过检验的临界值，远小于，因而模型从整体来看可用。表中的回归系数给出了模型中，的估计值，检查它们的置信区间发现， ，估计值的置信区间均不包含零点，的置信区间包含零点，但区间的左端点距离零点很近，表明回归变量对因变量的影响相对于其他因素不是太显著，但其区间的端点距离零点很近，因此我们仍将变量保留。代入估计值，得到函数为：为了验证该模型的可行性以及选取的四个因素是否恰当，我们代入2006年的数据进行验算，模型预测得到的06年预测值为78.34万辆，06年实际值为78.2万辆，绝对误差为千分之一，可以认为因素选取正确，模型可信。现在预测2010年该地区的私人汽车保有量，如果用以上得到的线性函数进行预测我们发现预测值十分的大，超出了合理的范围，究其原因，是因为上述模型用的是1996至2005年的数据，而在这些年份里由于我国经济的快速增长，使得每年的私人汽车保有量增长速度逐步加快，尤其是2003年以来，我国国内人均GDP首次突破1000美元，随着中国人均GDP的稳健增长，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。但是在2007年，我国政府为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机,开始采取从紧的货币政策，据统计, 2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，使得家用汽车的增速迅速下降。而这就导致了如果继续用07年以前的这些数据预测，势必会导致预测的失准。因此，考虑到政府调控后对私有汽车保有量增长的影响，我们采用2007年四个季度和2008年第一季度的数据进行预测，其模型的建立仍然使用上文得到的四个主要因素，利用这四个主要影响因素以及2007年四个季度和2008年第一季度的数据进行线性回归，得到关于，的线性函数表示式为：对数据y进行自然对数处理的表如下：表三年份人均国内生产总值(元)全社会消费品零售总额(亿元)运营公交车辆数（辆）居民储蓄款余额(亿元)ln私人汽车保有量(万辆)07.1季20505528.677867874.54.53689134507.2季19619487.757962908.74.61115225807.3季19874479.798074968.24.67376297707.4季19223408.8281881041.24.72738781908.1季19703551.978328987.914.852030264下面给出经过求解后的函数系数估计值：表四参数参数估计值8.5139-1.77E-040.0034276-6.65E-043.52E-03代入估计值，得到函数为：利用2007年四个季度和2008年第一季度的数据对四个主要影响因素进行线性拟合，得到函数式如下：，联立这五个函数式：， ，得到2010年该地区的私家车保有量为：211.0748082万辆。第二部分：问题2的处理与求解问题二中给出了一条信息，即政府的货币调控政策：政府决定自2007年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等，要求我们分析这些措施对该地区私人汽车保有量产生了怎样的影响。由于附表中给出了2007年四个季度的各个经济因素的统计值和实际私家车保有量，因此我们考虑用07年之前的数据建立模型，预测出在没有政府政策影响的情况下应该会有多少量私家车。用这两个数据进行比对，找出政府政策的影响。我们仍然采用问题一中选出来的四个主要因素，选用由1996至2005年的数据进行线性回归，得到的关于，的线性函数作为预测函数模型：由于附表中给出的07年的数据是受到政府调控影响之后的数据，为了计算没有调控情况下的私家车保有量，我们需要对未经调控下的07年数据进行预测。我们对1996年到2005年的四个主要影响因素数据进行多次拟合，得到图像如下：图三从图像上看，函数拟合良好。下面给出四个图像的函数关系式：，用以上四个函数预测2006年的数据，预测数据与原始数据比对：表五 预测数据原数据绝对误差X171367.76705971.09%X21682.6781671.290.68%X37309.31973050.06%X43805.1413744.71.61%由绝对误差项可以看出，均小于2%，可以认为模型预测值可信。联立这五个函数式：根据该函数式组，计算出如果不受政府政策调控的影响，2007年四个主要影响数据和私家车保有量为：年份人均国内生产总值(元)全社会消费品零售总额(亿元)运营公交车辆数（辆）居民储蓄款余额(亿元)私人汽车保有量(万辆)200778448.241921.00685874477.218148.02下表为2007年实际统计值：年份人均国内生产总值(元)全社会消费品零售总额(亿元)运营公交车辆数（辆）居民储蓄款余额(亿元)私人汽车保有量(万辆)2007792211905.03818837926113可以看出，如果不受政府政策影响，2007年该地区应有私家车约148万辆，由于受到政府政策的影响，2007年该地区实际拥有私家车仅113万辆，相比之下减少了近35万辆。为了更方便的看出政府的货币政策对该地区私家车保有量的影响，我们先找出该政策对四个主要因素的影响。由于政策对运营公交车辆数的影响关联性不是很大，在这里我们只画出2007年四个季度人均国内生产总值，全社会消费品零售总额和居民储蓄款余额的变化图。从图中可以看出，从一季度到四季度，人均国内生产总值不断降低，社会流动资金减少，使得全社会消费品零售总额(亿元)也随季度不断下降，而2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率使得商业银行可提供放款及创造信用的能力下降，因为准备金率提高，货币乘数变小，从而降低了整个商业银行体系创造信用，扩大信用规模的能力，其结果造成货币供应减少，利息率提高，投资及社会支出相应缩减。使得人们更愿意将钱存入银行，所以居民储蓄款余额(亿元)一路攀升。正是由于政策对这些因素的影响，使得这些因素发生改变，从而导致该地区私家车保有量增加速度下降，最终的量数减少。图四分析1996年到2006年的私家车保有量的增长速率和2007年四个季度，08年第一季度的私家车保有量的增长速率，如下图所示。从图中不难看出，96年到06年期间，私家车保有量的增长速率基本上处于逐年上升阶段，在06年时几乎接近于1。因此这一时段私家车保有量增长很快。而观察2007年四个季度，08年第一季度的私家车保有量的增长速率图发现，在整个07年中，一个季度比一个季度的增长率要低，直到08年第一季度私家车保有量的增长速率才有所回升。因此政府出台的相关政策对私家车买卖影响很大。图五第三部分：问题3的处理与求解问题三中给出了汽车排放污染物的一些标准，同时给出了私人汽车和公交车的排放污染物的关系, 要求对公交车和私人汽车保有量进行调控，首先我们希望选定调控标准，即表示方法。由于题目中并没有给出具体的数据来显示该地区的公交车量数，因此我们没有办法给出具体到辆的调控方案，因此我们采用比例的形式给出调控方案。令表示第i年运营的公交车数量；表示第i年的私家汽车保有量；表示第i年公交车运营总里程数；表示第i年每辆运营的公交车每公里排放的j类废气量；为第i年第j类废气每公里实际排放额；为第i年第j类废气每公里排放限额。由问题三中的条件：假设私人汽车的平均年运行公里数是公交车平均年运行公里数的五分之一。由于条件中没有给出年运行公里数是一辆汽车的还是所有汽车的，因此，在这里我们理解为每辆小汽车的年运行公里数是每辆公交车年运行公里数的五分之一。其中每辆小汽车的年运行公里数和每辆公交车年运行公里数我们按平均值计算。则由此条件可以推得：（1）.第i年每辆公交车的平均运营里程数为：第i年每辆私家车的运营里程数为：由另一个条件：单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。我们理解为每辆小汽车每公里排放的污染物比每辆公共汽车高9倍。因为每辆运营的公交车每公里排放的j类废气量已知，所以可以推得：（2）. 第i年每辆运营的私家车每公里排放的j类废气量为：综合以上条件及推出的关系式可以得到下面的式子：（3）.所有公交车第i年排放的第j类废气的量为：（4）.所有私家车第i年排放的第j类废气的量为：（5）.所有私家车第i年运行的总里程数为：综上可得：即第i年第j类废气每公里实际排放额，记为式一。令，对上式进行化简得：记为式二。同理，用代替式一中的，再令表示受到调控限制后第i年运营的公交车数量；表示受到调控限制后第i年的私家汽车保有量；表示受到调控限制后第i年公交车运营总里数。用，和代替式一中的，和。则得到：即第i年第j类废气每公里限制排放额，记为式三。令，对上式进行化简得：经过化简得到最终表达式为：即为调控后该地区第i年公交车辆数与私家车保有量的比例关系，记为式四。由于已知，当j取1，2，3时，式二共包含三个式子，可以分别求出第i年每辆公交车每公里三种废气排放物的量。则b可以求出三个值。代入式四中，可以求得三个，分别记为：，代表调控三种不同废气排放物要求的公交车辆数与私家车保有量的比例。由于要同时满足三个标准，因此取三个值中最大的：五模型的改进与评价5.1模型评价本问题中给出的数据是以时间为序的，可以称为时间序列。由于人均国内生产总值，全社会消费品零售总额，居民储蓄款余额等许多经济变量均有一定的滞后性，比如前期的投资额对后期的投资额一般有明显的影响。因此，在这样的时间序列数据中，同一变量的顺序观测值之间一定会出现相关现象，数据会存在多元共线问题。然而对于数据的相关性，如果仍然采用正常的回归模型处理，将会对预测产生严重影响。在我们的模型中，为了减少数据间相关性产生的不良影响，我们采用了逐步回归的方法去剔除某些相关变量，从而降低了多元共线问题，使数据的相关性影响尽量到达最小。5.2模型改进与推广因为在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项有可能存在相关性，如人均国内生产总值，全社会消费品零售总额，运营公交车辆数和居民储蓄款余额之外的因素（比如政策因素）对私家车保有量的增长的影响包含在随机误差中，如果它的影响成为主要部分，则由于政策的连续性，它们对私家车保有量的影响也有时间上的延续，及随机误差会出现自相关性。为了解决这个问题，可以对模型做以下改进：1. 利用残差散点图直观上判断的自相关性，残差可以用计算出估计值前多元线性回归模型中的和代入估计值后模型中的的差代替，即为-。2.进行D-W检验，根据D-W分布表判断是否存在自相关。其中，残差统计量DW运算式如下：上式中约等号后面是当n较大时的近似计算式。3.若存在自相关，则按照下式进行修正即可。，最终的模型可化为：其中相互独立且服从均值为零的正态分布。该模型所采用的方法，可以用于类似的问题上，例如某个经济指标与其他一些影响因素的关系；教学成果的评价等等，具有广泛的应用性。六参考文献1 曾建军，matlab语言与数学建模，安徽大学出版社，2005年。2 姜启源，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月。3 邬学军，数学建模竞赛辅导教程，浙江大学出版社，2009年8月。附录1：第一问程序：%求相关系数x=27000297.35327.5326586.3168.31594873716316583.891.963.130619325390.5127636.9469.61713078918600707.672.283.633282423474.6328015.7369.71786689419886861.882.324.233689467.57569.5528877.7669.818961101520249941.992.384.841020538.17616.2529208.2369.7196881198216261082.62.736.743344832.04686.3734958.8768.3244651361235441373.42.899.146030941.94788.1534959.5768.2248141710249411756.52.8213538871095.1969.148859.6568.7361492100259362199.53.0818.9592711250.61092.6537610.1169.2430082314265962625.43.5629645071437.71176.1609115