大纲版高二数学下§6.4不等式的解法(修改稿40-50页).doc

* 64 不等式的解法 *磨法石核心知识归纳：（1）一元一次不等式的解法：一元一次不等式axb的解集情况是：当a0时，解集为；x| x 当a0时，解集为x| x（2）一元二次不等式的解法：设a0，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1x2，一元二次不等式的解集如下表所示：类型解集ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)0x| xx1或xx2x| xx1或xx2x| x1xx2x| x1xx2=0x| x-，xRRx| x=-0RR（3）简单的一元高次不等式的解法：一元高次不等式f (x)0用根轴法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将f (x)的最高次项的系数化为正数；将f (x)分解成若干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线。根据曲线显现出的f (x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。（4）分式不等式：0f (x)g (x)00（5）含绝对值的不等式：| f (x)|a(a0)-af (x)a| f (x)|a(a0)f (x)a或f (x)-a找捷径难点疑点突破：1二次不等式ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的解集规律，需注意都是以a0为前提的。例1：若不等式ax2-2x+3=0的解集为x|-3x1，求ax2+2x-30的解集。解：由已知可得： x1=-3，x2=1是ax2-2x+3=0的两根，-31= a=-1则ax2+2x-30-x2+2x-30x2-2x+30解集为x| x3或x-1点评：若x2的系数为负数时，必须转化为正数，才能使用二次不等式解集结论。2解高次不等式时，怎样处理(x-a)k符号问题。例2：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)4 (x+4)(x-5)50解：(x-3)40，(x-5)5与(x-5)同号，531-2-4原不等式可化为：由根轴法可得不等式的解集为x| x-4或-2x1或x=3或x5点评：对(x-a)k的处理，可对k为奇数与k为偶数进行讨论，若k=2n，则(x-a)k0；若k=2n+1，(x-a)k与(x-a)同号。3解分式不等式时，不能随便去分母。例3：解不等式1解：移项，得-10，通分，得0，即0，亦即0，6432的符号如图所示：原不等式的解集是x|2x3或4x6错解：将原不等式去分母得，xx2-7x+12，x2-8x+120，解得：2x6 点评：错解中实际上是添加了一个条件x2-7x+120，从而丢失了部分解。金钥匙解题方法技巧：例1：解不等式(1+x)(1-|x|)0解法1：原不等式等价于下面不等式组解题规律：解含绝对值的不等式，首先应考虑去绝对值，而讨论去绝对值是一种最常用、最基本的方法，注意最后解集应合并。或0x1，或x0且x-1原不等式的解为x| x1且x-1解题规律： 利用|x|2=x2来去绝对值也是一种解绝对值不等式的有效方法，如x2-2|x|-30：亦可将其转化为|x|2-2|x|-30来解，这里的退是为了进。解法2：原不等式等价于(1+x)(1-|x|)(1+|x|)0(1+x)(1-x) 20 (x+1)2(x-1)0原不等式的解为x| x1且x-1例2：解不等式分析：不等式左右两边互为倒数，辅以换元法求解。解答：令t=原不等式可化为：t解题规律： 一般地，分式不等式可转化为整式不等式来解，式子较为复杂的可考虑变量代换，但不管怎样转化都应该是同解变形。即0，(t+1)(t-1)0，t1或-1t0原不等式同解于1或-10由知0，即(x+1)(x+4)(x-6)0，-4x-1由知，2-x1或2x2+故原不等式的解集为(-4，-1)(2-，1)(2，2+)(6，+)例3：设关于x的不等式 (kR，k0)，（1）若此不等式的解集为(3，+)，求k值；（2）若x=3属于此不等式的解集，求k的取值范围。解：原不等式化为(k-1) xk2-2k-3，当k1时，x；当k1时，x；当k =1时，xR。解题规律： 对于含有参数的不等式的要找准讨论分值点，一般地是从比较两数大小开始来确定参数的分类情况，注意最后解集还是分类写出，不能全合并。（1）解集为(3，+)时，k=5（2）x=3为解集中一个元素时，x=3满足，代入得3(k-1)k2-2k-3 解之得0k5例4：已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是x|x或x，求关于x的不等式ax2-bx+c0的解集。解题规律： 已知一元二次不等式的解集，求另一个一元二次不等式的解集可利用与二次函数、一元二次方程的关系，找到该一元二次不等式同解的不等式，对于二次不等式的解的端点值是相应二次方程的两根，一般地含参数的二次不等式，经常用到韦达定理来分析根与系数的关系。解：考虑二次函数y=ax2+bx+c的图象，可知不等式ax2+bx+c0的解集是x|x或x的等价条件是a0，且x1=，x2=是方程ax2+bx+c=0的两根。=-，=又a0，不等式ax2-bx+c0同解于x2-x+0解之得-x-不等式ax2-bx+c0的解集是x|-x-点金术思维拓展发散：例1：解不等式2+0；3x-3解法1：原不等式等价于+2思维互动：生：这是一个对数不等式，如何脱去对数符号？师：我们只能利用函数单调性来分析（如：）转化为不等式组。0x1或4x5，故不等式的解集为x|0x1或4x5解法2：原不等式等价于所以原不等式的解集为x|0x1x|4x5方法规律：对于指数不等式、对数不等式，一般地是先化同底，再利用函数的单调性将不等式化为最基本的一元一次或一元二次不等式求解，但其中特别要注意是在定义域内求解。解：设t=3x0，3=，原不等式可化为t-，9t2-80t-90t-或t9，即3x-或3x9，x或x2，故不等式的解集是x| x2方法规律：这是指数或二次式复合而成的不等式，一般地先解二次不等式，再解指数不等式，变量代换并非必要，但可优化解题过程。例2：解不等式（1）|x+3|-|2x-1|+1；（2）x+1（1）分析：着眼如何脱掉绝对值符号，鉴于不等式中含有两个绝对值符号，可考虑分段讨论求解。解：分别由x+3=0及2x-1=0得x1=-3，x2=，下面分段讨论：当x-3时，不等式化为x-4+1，解得x10，而x-3，故此时无解。当-3x时，不等式化为3x+2+1，解得x-，这时不等式的解为-x。当x时，不等式化为-x+4+1，即x2，这时不等式的解为x2综上所述，原不等式的解集为（-，2）方法规律：对于含多个绝对值符号的不等式，可先确定各绝对值符号内多项式的零点，然后据零点分实数集R为若干区间后分别讨论求解，然后求它们的并集。（2）解法1：（同解变形）x+1或-x-1或-1x2，原不等式的解集为x|-x2解法2：（换元法）设=t（t0），则原不等式化为t2-3t-30它的解集为0t3，03-x2方法规律：一般地无理不等式应作同解变形成有理不等式或不等式组，方法是在充分考虑定义域和不等式两边符号的情况下实施平方。例3：设集合M=x|x2-7x+100，N=x|x2-(2-m)x+5-m0，且NM，求实数m的取值范围。520解：M=x|2x5，令f (x)= x2-(2-m)x+5-m=0，要使NM，当N时，就是要方程x2-(2-m)x+5-m=0的两根x1，x22，5，如图所示，也就是要抛物线y= f (x)与x轴两交点在2到5之间，因此必须满足条件，解此不等式得m-5，-4，又当N时，x2-(2-m)x+5-m=0的0m2-160-4m4综合，可知m的取值范围是-5，4）。方法规律：充分利用二次不等式、二次方程、二次函数之间的联系，将代数问题用图形来分析，即用数形结合的思想来处理较为抽象或较为复杂的不等式问题，是解决不等式问题的一种重要方法。例4：设函数f (x)= -ax，其中a0。（1）解不等式f (x)1；（2）求a的取值范围，使函数f (x)在区间0，+）上是单调函数。解：（1）不等式f (x)1，即1+ax，11+ax，a0原不等式等价于即当0a1时，所给不等式的解集是x|0x当a1时，所给不等式的解集是x|x0（2）在区间0，+）上任取x1，x2，使x1x2，则：f (x1)-f (x2)=-a(x1-x2)=-a(x1-x2)=(x1-x2)(-a)当a1时，1，a又x1-x20，f (x1)-f (x2)0，即f (x1)f (x2)当a1时，函数f (x)在区间0，+上是单调递减函数。当0a1时，在区间0，+上存在两点x1=0，x2=，满足f (x1)= f (x2)=1，即f (x1)= f (x2)，所以f (x)在区间0，+上不是单调函数。综上，当且仅当a1时，函数为区间0，+上的单调函数。方法规律：（1）把简单无理不等式转化为不等式组来处理，是解决无理不等式的一般方法，但必须注意变换不等式的等价性，当然也可用数形结合方法来分析；（2）利用单调函数的概念转化为作差比较法，对参数a的分类讨论是作最后结论的关键。例5：某厂制定明年的一种新产品生产计划，人事部门提出该厂实际生产的工人数不多于130人，每人年工时以2400小时计；销售科预测明年的销售量至少是60000件；技术科计算每件产品的工时定额为4小时，需钢材20公斤；供应科说目前库存钢材720吨，而今年尚需220吨，明年能补充960吨，试根据以上信息决定明年可能的生产量。分析：根据问题情景所提供的信息，从中找到数量中的不等关系，从而化为不等式模型来解决。解：设明年产量为x件， 4x1302400， （人事信息与定额）由题意得 x60000， （销售预测） 20x(720-220+960)1000 （原材料供应）解得60000x73000故生产计划可在60000到73000件考虑。方法规律：利用不等式组模型来处理系统信息，寻求问题的解决是处理生产实际中的问题的一种有效方法。试试看潜能挑战测试：基 础 知 识1若a，则a的取值范围是（ ） A(-，-1)(1，) B(-1，1) C(-1，0)(1，+) D(-1，0)(0，1) 2设A=x| |x-1|2，B=x|0，则AB等于（ ） Ax|-1x3 Bx| x0或x2 Cx|-1x0 Dx|-1x0或2x33不等式x +1的解集是（ ） Ax| x3 Bx|x Cx|x1 Dx|x-或1x 4不等式|xlg0.5|5|lg0.25|的解集是（ ） Ax|x5 Bx|-10x10 Cx|x10 Dx|x10 5不等式+0的解集是（ ） A-2，2 B-，0( 0，2) C-2，0)( 0，2 D-，0）( 0，6不等式0的解集是 。7不等式的解集是 。8不等式的解集是x|x2，则a 。思 维 拓 展9当不等式2x2+px+106恰有一个解时，实数p的值是多少？10解不等式|2x2-x-1|7x +9。11p为何值时，对任意实数x不等式96恒成立。12a取哪些值时，方程x2+a2=4的较小的解满足不等式x2+2ax-2a-10。应 用 创 新13已知函数y=的定义域为R，求实数k的取值范围。14某产品总成本c万元与产品x台之间满足关系：c=3000+20x-，其中x（0，240），若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本（即销售收入不低于总成本）时的最低产品量为多少？15为加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价为每台5580元，优惠条件是购买10台以上则从第11台开始可按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5580元，优惠条件是为支持教育每台均按报价的85%计算，假如你是学校的有关负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你将选择购买哪个公司的电脑？16某厂家拟在2002年举行“买产品，看韩日世界杯”的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足：x=3-（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2002年，生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为“年平每件产品成本”的1.5倍（产品的成本包括固定投入和再投入两部分资金）。（1）将2002年该产品的利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该厂家2002年促销投入为多少万元时，厂家的年利润最大。标准答案与提示1C点拔：a0a(a-1)(a+1)0-1a1 2D点拔：A=x|-1x2或x0,AB=x|-1x0或2x33D点拔：x+1或1x或x-4B点拔：不等式可化为|xlg2|10lg2，即|x|10，-10x10 5B点拔：定义域为-2x0或0x2，原不等式可化为或-x0或0x26x|x-2或3x2或x1，-=2 a=9解：y=x2+px+10的图象开口向上，y=x2+px+10与y=6有且仅有一个公共点，即x2+px+10=6有两个相等的实数根。=p2-16=0，p=410解：由得不等式的解集为x|-x511解：x2-x+1=0，原不等式可化为由（1）恒成立1=(p-9)2-41250 (3)由（2）恒成立2=(p+6)20 (4)由（4）得p=-6，此时（3）成立，p=-6时，原不等式恒成立。12解：由x2+a2=4知|a|2，若a2=4，则x=0，当a=2时，x=0不满足x2+2ax-2a-10，当a=-2时，x=0也不满足x2+2ax-2a-10，若|a|2，方程x2+a2=4较小解为x=-，又由x2+2ax-2a-10，得-a-|a+1|x-a+|a+1|，-a-|a+1|-a+|a+1|，解之得a213要使函数y=的定义域为R，必须有kx2-6kx+8+k