一元二次方程概念和解法教案(和课件不一致).doc

第1课时 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程定义，能熟练把一元二次方程整理成一般形式（0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。重点难点：一元二次方程的概念和一般形式.正确理解和掌握一般形式中的a0 ，“项”和“系数” .课堂教学实施设计一、做一做：1问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x10)900整理可得 x210x900=0.（1）2问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即5（1x）(1x)5(1x)2万册.可列得方程 5（1x）2=7.2,整理可得 5x210x2.2=0.（2）3思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2二、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.三、 例题讲解与练习巩固1例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4） 2例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1） 2）（x2）(x+3)=8 3） 说明：一元二次方程的一般形式（0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3例3： 方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳。4例4：已知关于x的一元二次方程(m1)x2+3x5m+4=0有一根为2，求m。分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。5练习1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 2x(x1)=3(x5)4 2、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？本课小结：布置作业：见学习指南第2课时 一元二次方程的解法（1）教学目标 1、会用直接开平方法解形如（a0,ab0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。重点难点 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。课堂教学实施设计一、情境创设：1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。（1） （2） （3）2、要求学生复述平方根的意义。4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 。二、新课讲授：思考：如何解方程呢？分析：由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。说明：形如方程可变形为 的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用表示。思考：形如的方程的解法。说明：（1）解形如的方程时，可把看成整体，然后直开平方程。（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，（3）如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。三、例题讲解1、例1 解下列方程 （1） （2）变式1：解方程变式2：写出两根互为相反数的一元二次方程。例2：解下列方程（1）（x1）240； （2）12（2x）290.分析：两个方程都可以转化为（a0,ab0）的形式，从而用直接开平方法求解.2、说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。3、练习一 解下列方程：（1）x2169；（2）45x20； （3）12y2250； （4）4x2+160练习二 解下列方程：（1）（x2）2160 （2）(x1)2180；（3）(13x)21；（4）(2x3)2250本课小结：1、对于形如（a0,a0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n0）的形式用直接开平方法解。 2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。布置作业：见学习指南第3课时 一元二次方程的解法（2）教学目标 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。3在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。重点难点 使学生掌握配方法，解一元二次方程。把一元二次方程转化为课堂教学实施设计一、复习提问解下列方程，并说明解法的依据：（1） （2） （3） 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b 0，方程就没有实数解。如请说出完全平方公式。 。二、引入新课我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解那么，我们能否将形如的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题三、探索：1、例1、解下列方程：（1）2x5； （2）4x30.思考：能否经过适当变形，将它们转化为= a的形式，应用直接开方法求解？四、归纳上面，我们把方程4x30变形为1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？五、试一试：对下列各式进行配方：； ； ；通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。六、例题讲解与练习巩固1、例2、用配方法解下列方程：（1）6x70；（2）3x10.2、练习：.填空：（1）（ ）（ ）（2）8x（ ）（x- ）2（3）x（ ）（x ）2； （4）46x（ ）4（x ）2 用配方法解方程：（1）8x20 （2）5 x60. （3） 本课小结：布置作业：见学习指南第4课时 一元二次方程的解法（3）教学目标1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。2、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点。重点难点 1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。2、配方法在方程变形中的应用。课堂教学实施设计一、复习旧知，提出问题解方程：和，请比较这两个方程的区别与联系。二、新课讲授探索：如何用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 （学生讨论）如果将方程的二次项系数化为1的方程，就可以用上节课的学习的配方法求解。说明：（1）当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：1二次项系数化为1，2移项，3直接开平方法求解。三、例题讲解：例1：解方程：归纳：二次项系数不为1，可将方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1，再进行配方。2、体会转化思想。变式题：解方程。点拨：将方程化为一般形式后，再化二次项系数为1，再进行配方求解。例2：解方程：点拨：两边同除以3，即化二次项系数为1，再进行配方求解。归纳：注意方程变形时符号变化。变式：请你用配方的方法说明，不论x取何值，不可能等于11。例3：一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是16m？点拨：根据题意可得方程，练习：1、用配方法解下列方程：（1） (2) (3)4x212x10,(4),(5)3x22x30. (6)（原方程无实数解）2、你能用配方法求代数式的最小值吗？3、一小球以15 ms的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t5t2小球何时能达到10 m高?点拨：只需求出方程15t5t2=10的解，本题即可解答 解：5t2+15t10， 两边都除以5，得 t23t2 配方，得 t23t+()2=2+()2， (t)2=， 即，t=或t=所以t12,t2=1由此可知：在1 s时，小球达到10 m；至最高点后下落，在2 s时，其高度又为10 m 四、课堂练习 小结:2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、比较用直接开平方法和配方法解一元二次方程，哪一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？作业: 见学习指南第5课时 一元二次方程的解法（4）教学目标 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。重点难点 1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。课堂教学实施设计一、复习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：（1） (2) 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、讲授新课问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程过程，让学生分组讨论交流，达成共识： 因为，方程两边都除以，得 移项，得 配方，得 即问题2：当，且时，大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而。问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？ 让学生讨论、交流，从中得出结论：当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。 由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （） 这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。思考：当时，方程有实数根吗？三、例题讲解：例1、解下列方程：(1) (2)；(3) (4)教学要点：（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；（2）强调确定、值时，不要把它们的符号弄错；（3）先计算的值，再代入公式。四、课堂练习 2、解方程：（1）（2）（3）2x27x+30 （4） x27x180(5) 2x29x+80 (6) 9x2+6x+103、解关于x的方程小结:根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。作业:见学习指南等6课时 一元二次方程的解法（5） 教学目标：学会用判别式判定一元二次方程根的情况。教学重点、难点：1、会用判别式判定一元二次方程根的情况。2、用判别式判定一元二次方程根的情况的推导。教学过程： 情境创设： 1、 叫就一元二次方程的求根公式。 2、提问：不解方程你能知道下列方程的根的情况吗？3x26x27=0 2x24x+2=0 4x2+4x=0 3y26x36=0二、探索活动. 1、议一议：和一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有何关系？ （1）当0时；（2）当=0时；（3）当0时。2、小结：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由来判定。我们把叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用符号“”来表示。所以一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）、当0时，有两个不相等的实数根；（2）、当=0时，有两个相等的实数根；（3）、当0时，没有实数根。反过来也成立。1、举例：（1）、我们现在做情境创设2。（2）不解方程，判断方程根的情况。(3)已知关于x的方程，K取什么值时方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（4）（中考连接）试说明关于x的方程无实数根。三、巩固练习。1、当 时，方程ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根，反之，当方程ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根时，必有 。2、一元二次方程的根的判别式的值是