圆锥曲线的切线性质及应用.doc

圆锥曲线的切线性质及应用水寨中学 邓定扬摘 要:本文论述了圆锥曲线切线的一个重要性质，深刻揭示了圆锥曲线的光学性质，并列举了在求解最短距离问题上的一些应用。关键字：圆锥曲线 切线一、猜想笔者在教学中发现，教材在圆的切线问题上有举例：“已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程是”，但在学习椭圆、双曲线、抛物线时，教材始终没有讨论这些曲线的切线性质，因此，笔者对此做了一些研究。我们知道，圆、椭圆、双曲线、抛物线都可以用一个平面截圆锥得到，他们的渊源是如此密切，可以说是亲如兄弟，应该具有一些共性。就拿椭圆和圆来说吧，圆的切线性质和椭圆的切线有什么联系呢？椭圆和圆可以通过纵横伸缩而互相转化，如图（1），椭圆向圆的变化过程中，两个焦点的距离越来越小。我们可以这样理解：圆是一种特殊的椭圆，此时两个焦点重合。由此想到椭圆的切线应该与通过切点的焦半径有关系。 图（1） 图（2）如上图，椭圆的切线为a，切点为P。猜想：椭圆的切线a与的角平分线相互垂直，即，即：猜想1:椭圆切线与过切点的两条焦半径的夹角相等。图（3） 图（4）如图(3)(4)，a是曲线的切线，切点为P，可类比得到下列猜想：猜想2:双曲线切线与过切点的两条焦半径的夹角相等；猜想3:抛物线的切线与过切点的焦半径的夹角等于切线与抛物线对称轴的夹角。下面，笔者对上述的猜想1进行证明。二、性质的证明：1、椭圆切线与过切点的两条焦半径的夹角相等。如图（5）：过椭圆上一点P，过点P作椭圆的切线a，求证：证明：在a上任意取一点P,连PF1，PF2，又设PF1交椭圆于Q。连Q F2则PF1 PF2Q F1Q F2仅当P与P重合时取“等号”。由椭圆的定义有P F1P F2= Q F1Q F2。 图（5）所以，切线上的点到两焦点的距离和的最小值为P F1P F2，作F2关于切线的对称点F，连PF，则点P到点F1、F的距离的和最小，根据两点间直线距离最小，所以PF与P F1共线，所以： 即椭圆切线与过切点的两条焦半径的夹角相等。2、过椭圆上一点（）与该椭圆相切的切线方程是.证明：不防先设点（）在椭圆的上半部分，此时令y0，y=.所以过点（）与椭圆相切的直线方程是.化简即得：.易证点（）在椭圆其它位置时，上式依然成立。这个结果形式简单对称，与圆的切线方程有好多可以类比的地方。前面笔者对双曲线切线的性质提出了猜想：双曲线的切线与过切点的两条焦半径的夹角相等，因为证明方法和椭圆类似，所以就不在这里赘述了，留给读者的一个思维空间，下面就对抛物线的切线性质的猜想给出简要证明。3、抛物线的切线与过切点的焦半径的夹角等于切线与抛物线对称轴的夹角直接证明这个性质比较难，考虑到抛物线在任一点上的切线只有一条，所以笔者逆向考虑这个问题，从寻找切线入手，进而证明切线性质。如图（6）：P（）是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，Q是P在抛物线准线的投影，连QF交y轴于M，则易得M是QF的中点，作QF的中垂线a，根据抛物线的定义，有PQ=PF，所以P点在直线a上。又设P是a上不同与P的任意一点。则有P到准线的距离必定小于P到Q的距离。又因为PQPF，所以P到准线的距离必定小于P到F的距离。也就是是说P是抛物线外 图（6） 部的点，因此直线a与抛物线的交点只有一个P点。所以a就是抛物线的切线。由上述过程可知，所以抛物线的切线与过切点的焦半径的夹角等于切线与抛物线对称轴的夹角。这一性质提供了一种过抛物线上一点作抛物线切线的方法。从以上三种圆锥曲线的切线性质中，可以看到，圆锥曲线的共性充分体现在他们的切线性质上，这和三种圆锥曲线的渊源有莫大的关系；同时结论也让我们体会了数学中结构的对称美，内在的统一美。三：应用1、 圆锥曲线有很好的光学性质，圆锥曲线绕它的对称轴旋转一周得到圆锥曲面，圆锥曲面形状的反射镜可以满足人们好多的光照要求。 抛物线对平行光的聚焦原理。如图平行于抛物线的光线射到抛物线上，就好像光线射到过入射点的抛物线切线（平面镜）上，此时入射光线与切线的夹角等于切线与对称轴的夹角，根据抛物线的切线性质和平面镜的反射原理可知，过入射点的焦半径正好在反射光线上。因此一束平行于抛物线对称轴的光线射到抛物线上，反射光会聚焦于抛物线的焦点。又因光路可逆，从抛物线焦点发出的光，经过抛物线反射后，反 图（7）射光线平行于抛物线的对称轴。探照灯、太阳灶就是根据这一原理设计的，椭圆和双曲线的光学现象虽然与抛物线不同，但从焦点发出的光，经过反射后，入射角与反射角都与过入射点的切线有关，根据圆锥曲线的切线性质，不难作出光路图，这在教材中已有叙述，在此略去。2、 求解最短距离问题举例。例：如图（8）已知抛物线，焦点为F（1，0），定点A（3，4），在抛物线上找一个点P，使得该点到y轴的距离与它到A的距离和最小。求点P的坐标。解：连AF交抛物线于一点，该点就是所求的点P ，设点P在y轴上的投影为点Q，下证点P就是所求。如图过P点作抛物线的切线，设点P是抛物线 不同于点P的任一点，点P在y轴上的投影为点Q，连AP交切线与点M，M在y轴上的投影为点N，由于点P的任意性，可知点M也是切线上不同于点P的任意一点。 延长QP，由抛物线的切线性质可知，作A关于切线的对称点A必定