2010高三数学高考《立体几何初步》专题学案：两个平面垂直

基础过关第7课时 两个平面垂直1两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直3两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面4异面直线上两点间的距离公式：EF，其中：d是异面直线a、b的 ，为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA与a、b的交点A，A的距离例1 如图所示，在四面体SABC中，SASBSC，ASBASC60，BSC90求证：平面ABC平面BSCCASDB证明：略变式训练1：如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBCASBC 求证：ABBC； 若设二面角SBCA为45，SABC，求二面角ASCB的大小证明：(1) 作AHSB于H，则AH平面SBCAHBC， 又SABCBC平面SAB BCAB(2) SBA是二面角SBCA的平面角，SBA45，作AESC于E，连结EH，EHSC，AEH为所求二面角的平面角，AEH60例2.在120的二面角PaQ的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB10，求：(1) 直线AB和棱a所成的角；(2) 直线AB和平面Q所成的角答案：(1) arc sin (2) arc sin变式训练2：已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点（1） 证明：平面PED平面PAB；（2） 求二面角PABF的平面角的余弦值（1）证明：连BDABAD，DAB60，ADB为等边三角形，E是AB中点ABDE，PD面ABCD，AB面ABCD，ABPDDE面PED，PD面PED，DEPDD，AB面PED，AB面PAB面PED面PAB（2）解：AB平面PED，PE面PED，ABPE连结EF， EF面PED，ABEF PEF为二面角PABF的平面角设AD2，那么PFFD1，DE在PEF中，PE，EF2，PF1cosPEF即二面角PABF的平面角的余弦值为例3.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45CBDFPAE 求证：AF平面PEC； 求证：平面PEC平面PCD； 设AD2，CD2，求点A到面PEC的距离证明：(1) 取PC的中点G，易证EGAF，从而AF平面PEC(2) 可证EG平面PCD(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC平面PCD，过F作FHPC于，则FH即为所求，由PFHPCD得FH1变式训练3：如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCDCBAVD 证明：AB平面VAD； 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小（1）证明：平面VAD平面ABCDABAD AB平面VADAB平面ABCDAD平面VAD平面ABCD（2）解：取VD的中点E，连结AE、BEVAD是正三角形，AEVD，AEADAB平面VAD，ABAE又由三垂线定理知BEVD于是tan AEB,即得所求二面角的大小为arc tanBCAA1B1C1例4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB3，AB4，A1AB60. 求证：平面CA1B平面A1ABB1； 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3) 求点C1到平面A1CB的距离证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形，又ABBC，BC平面A1ABB1（2）过A1作A1DB1B于D，连结DC，BC平面A1ABB1，BCA1D A1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，在矩形BCC1B1中，DC，因为四边形A1ABB1是菱形A1AB60，CB3，AB4， A1D2 tanA1CD（3） B1C1BC，B1C1平面A1BC C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离连结AB1，AB1与A1B交于点O，四边形A1ABB1是菱形，B1OA1B 平面CA1B平面A1ABB1，B1O平面A1BC， B1O即为C1到平面A1BC的距离B1O2 C1到平面A1BC的距离为2变式训练4：如果在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCDACBPGD 若G为AD边的中点，求证BG平面PAD； 求证ADPB； 求二面角ABCP的大小； 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45 (4) F为PC的中点小结归纳在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据