河北省保定市物探中心学校第一分校高中数学 1.3.2函数的极值与导数课件 苏教版选修22.ppt

函数的极值与导数 高二数学选修2 2第一章 导数及其应用之 f x 0 f x 0 1 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 一 知识回顾 如果在某个区间内恒有 则为常数 2 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 关注用导数本质及其几何意义解决问题 3 思考 观察下图 当t t0时距水面的高度最大 那么函数h t 在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地 导数的符号有什么变化规律 二 新课讲解 函数的极值 1 观察右下图为函数y 2x3 6x2 7的图象 从图象我们可以看出下面的结论 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 我们说f 0 是函数的一个极大值 函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 我们说f 2 是函数的一个极小值 y 0 如图 函数y f x 在x1 x2 x3 x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y f x 在这些点的导数值是多少 在这些点附近 y f x 的导数的符号有什么规律 2 探索思考 从而我们得出结论 若x0满足f x 0 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值 f x0 是极值 并且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 极大值与极小值统称为极值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 如上左图所示 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即 同理 如上右图所示 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即 在x0的右侧附近只能是增函数 即 三 例题选讲 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取的极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取的极小值 求可导函数f x 的极值的步骤如下 四 探索思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 一般地 求函数y f x 的极值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 解方程f x 0 当f x 0时 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 练习1 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极大值 并且 y极大值 3 而 当x 1时有极小值 并且 y极小值 3 例3 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 2 若 函数f x 图象上的任意一点的切线斜率为k 试讨论k 1成立的充要条件 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 2 等价于当时 3x2 2ax 1恒成立 即g x 3x2 2ax 1 0对一切恒成立 由于g 0 1 0 故只需g 1 2 2a 0 即a 1 反之 当a 1时 g x 0对一切恒成立 所以 a 1是k 1成立的充要条件 例4 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 练习1 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 第二课时 一 复习 1 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 3 理解函数极值的定义时应注意以下几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 极值点是区间内部的点而不会是端点 2 若f x 在某区间内有极值 那么f x 在某区间内一定不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 3 极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 4 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在某区间上连续且有有限极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 5 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 6 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 4 确定函数的极值应从几何直观入手 理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系 掌握利用导数判断函数极值的基本方法 例1 已知函数f x 满足条件 当x 2时 当x 2时 求证 函数y f x2 在处有极小值 证 设g x f x2 则 故当时 x2 2 由条件 可知 即 当时 x2 2 由条件 可知 即 又当时 所以当时 函数y f x2 取得极小值 为什么要加上这一步 例3 已知 1 证明 f x 恰有一个极大值点和一个极小值点 2 当f x 的极大值为1 极小值为 1时 求a b的值 解 1 令 得 ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 故有不相等的两实根 设 又设