解三角形复习学案

解三角形复习学案【高考目标导航】一、正弦定理和余弦定理1、考纲点击掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2、热点提示（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。二、应用举例1、考纲点击能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、热点提示（1）对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点；（3）在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题。【考纲知识梳理】一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;解决的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 已知三边，求各角； 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）2、在在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：3、三角形中的一些常用结论在ABC中，设角A、B、C的对边长度分别为（1）三角形内角和定理A+B+C=（2）三角形中的诱导公式Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,（3）三角形中的边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（4）三个重要结论ABCsinAsinBsinC;sinA:sinB:sinC=a:b:c. 二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）2、ABC的面积公式（1）；（2）；（3）。【热点难点精析】一、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理、余弦定理的简单应用相关链接1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；3、三角形中常见的结论（1）A+B+C=；（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（4）三角形内的诱导公式 （5）在ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.例题解析例1在ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC解答：由已知得acb,A为最大角。由余弦定理得：。又。方法一：由正弦定理得，因此最大角A为，。方法二：。C为三角形的内角，C为锐角。sinC=,所以最大角为，sinC=。例2在ABC中，（1）若b=,c=1,B=450o,求a及C的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C。思路解析：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解。解答：（1）方法一：由由正弦定理得，所以sinC=.因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=，所以A=，所以，所以方法二：根据得，解得。解角C方法同上。（2）因为，所以，解得c=8.（二）三角形形状的判定相关链接依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论。注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。例题解析例在ABC中，若试判断ABC的形状思路解析：三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断.解答：方法一：由得，2A=2B或2A+2B=,即A=B或ABC是等腰三角形或直角三角形方法二：由已知得，即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，a=b或a2+b2=c2,ABC是等腰三角形或直角三角形（三）正、余弦定理在几何中的应用相关链接正、余弦定理在几何中的应用（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；（2）其次确定与未知量相关联的量；（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析例1如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=600，BCD=1350，求BD及BC的长。解答：在BAD中，由余弦定理，得， 例2如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=300，ADB=450，求BD的长。思路解析：由于AB=5，ADB=450，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值。在ABC中，AB=5，AC=9，ACB=300，因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可。解答：在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=300，由正弦定理，得注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。二、应用举例（一）与距离有关的问题相关链接1、一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。例题解析例1如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km.（1）求证：AB=BD.（2）求BD.思路解析：（1）由已知角度不难求得BCD，且易得AC，DC关系，利用三角形全等可得AB=BD.（2）求BD只需将其转化在某一三角形中利用已知条件即可求.解答：（1）在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30，所以CD=AC=0.1 km.又BCD=180-60-60=60，ACBDCB所以BD=BA.（2）在ABC中，即（二）与高度有关的问题相关链接1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。例题解析例1测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD=75，BDC=60，CD=s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.思路解析：在BCD中求得CB，在ACB中，求出AB.解答：在BCD中，CBD=180-75-60=45，由正弦定理得在RtABC中，AB=BCtanACB= （三）与角度有关的问题相关链接1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。例题解析例在海岸A处，发现北偏东450方向，距A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏本750的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船。此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路解析：本例考查正弦、余弦定理的建模应用。如图所示：注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD。解答：设缉私船用 h在D处追上走私船，则有CD=10，BD=10，在ABC中，AB=，AC=2，BAC=1200，由余弦定理，得，BC=，且sinABC=ABC=450,BC与正北方向垂直。CBD=900+300=1200，在BCD中，由正弦定理，得BCD=300。即缉私船沿东偏北300方向最快追上走私船。（四）与三角形面积有关的问题例在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=。（1）若ABC的面积等于，求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积。思路解析：（1）利用余弦定理与已知条件确定a,b的一个关系式利用三角形的面积确定a,b的另一个关系式联立方程组求a,b；（2）化简已知条件求a,b求解答：（1）由余弦定理及已知条件得联立方程组得：（2）注：（1）对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化；（3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。【感悟高考真题】1、（2011浙江高考文科5）在中，角所对的边分别为.若，则(A)- (B) (C) -1 (D) 1【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】选D.由可得 所以2、（2011新课标全国高考理科16）在中，则的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简，统一角变量，然后求最大值.【精讲精析】 令，则由正弦定理得且，(其中当时，取最大值为3、（2011辽宁高考理科4）ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为,则(A) (B) (C) (D)【思路点拨】依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得.【精讲精析】选D，利用正弦定理，将已知等式化为，整理得，再利用正弦定理得，所以4、（2011山东高考理科17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（）求的值；（）若cosB=，b=2, 求ABC的面积S.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知=2.（2）应用余弦定理及第一问结论易知a和c的值，然后利用面积公式求解.【精讲精析】（）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即.另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得.另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论.由可得即，则，由正弦定理可得.（）由及可得则，S，即.5、（2010安徽文数）16、（本小题满分12分） 的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求；()若，求的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.6、（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，求【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得 ，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.7、（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分（）由（）得： 故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 12分【考点精题精练】一、选择题1、在中，若， ，则边长等于（ ）A.3 B.4 C.5 D.6答案:C2、(2011惠州模拟)已知ABC中，a=c=2,A=30，则b=( )【解析】选B.a=c=2,A=C=30,B=120.由余弦定理可得3、（2011天津模拟）在ABC中， (a,b,c分别为角A,B,C的对边），则ABC的形状为（ ）（A）等边三角形 （B）直角三角形（C）等腰三角形或直角三角形 （D）等腰直角三角形【解析】选B. ABC为直角三角形.4、在ABC中，已知A=60, 为使此三角形只有一个，a满足的条件是（ ）(A) (B)a=6(C) 或a=6 (D) 或a=6【解析】选C.三角形有唯一解时，即由a,b,A只能画唯一的一个三角形（如图）.所以a=bsinA或ab,即a=6或5、(2011龙岩模拟）已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A，C两地的距离为（ ）（A）10 km （B）km（C）km （D） km解析:选D.如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-21020cos120=7006、（2011北师大附中模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（ ）（A）海里 （B）海里（C）海里 （D）海里【解析】选A.如图所示，由已知条件可得，CAB=30ABC=105,BCA=45,AB=40=20(海里)由正弦定理可得：7、在ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若，则角A=( )A 60或120B30或105C60D 30答案:A8、中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b1),且、都是方程的根,则（ ）是直角三角形但不是等腰三角形 是等腰三角形但不是直角三角形是等腰直角三角形 不是等腰三角形,也不是直角三角形答案:A9、对于任意的不等式恒成立，则m的取值范围是（ ） 或答案:B10、锐角三角形ABC中，若，则下列叙述正确的是（ ） 答案:B11、在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）Ab = 10，A = 45，B = 70 Ba = 60，