2018年数学中考压轴题.doc

2018年数学中考压轴题1由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响.4月初某地猪肉价格大幅度下调.下调后每斤猪肉价格是原价格的.原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬.经专家研究证实.猪流感不是由猪传染.很快更名为甲型H1N1流感因此.猪肉价格4月底开始回升.经过两个月后.猪肉价格上调为每斤14.4元求5、6月份猪肉价格的月平均增长率解析 (1)【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤x元.由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x元根据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答解：设4月初猪肉价格下调后每斤x元.则原价格为每斤x元(1分)根据题意得：2.(3分)解得：x10.经检验.x10是原方程的解(4分)答：4月初猪肉价格下调后每斤10元(5分)(2)【思路分析】由(1)题可知.猪肉的原价格是10元.设月平均增长率为y.则第一个月上调后的价格为10(1y).第二个月上调后的价格为10(1y)2.根据题意可列方程解：设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y.根据题意得.10(1y)214.4.(6分)解得：y10.220%.y22.2(不合题意舍去).答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)2如图.抛物线yax2bx4(a0)的图象过A(1.0).B(4.0)两点.与y轴交于点C.作直线BC.动点P从点C出发.以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动.运动时间为t秒.当点P与点B重合时停止运动(1)求抛物线的解析式；(2)如图.当t1时.求ACP的面积；(3)如图.过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于E、F两点求PF的长度关于t的函数解析式.并求出PF的长度的最大值；连接CF.将PCF沿CF折叠得到PCF.当t为何值时.四边形PFPC是菱形？ 解析 (1)【思路分析】将A、B两点的坐标代入抛物线解析式中.即可得到关于a、b的二元一次方程组.解方程组即可解：抛物线yax2bx4(a0)的图象过A(1.0).B(4.0)两点.解得：.抛物线的解析式为：yx23x4或y(x1)(x4)(3分)(2)【思路分析】要求ACP的面积.可用ACB的面积减去APB的面积本题关键是如何求解APB的面积过点P作PQAB于点Q.则PQ是APB的高在APB中根据PB的长度及PBA的度数.利用三角函数求出PQ.该题即可得到解决第2题解图解：当t1时.CP.抛物线y(x1)(x4)的图象与y轴交于点C.C(0.4)CO4.(4分)COB90.COOB4.CBO45.CB4.BPCBCP3.(5分)过点P作PQAB于点Q.如解图.PQPBsinCBA33.(6分)SACPSACBSABP ABOCABPQ 5453 .(8分)(3)【思路分析】求出直线BC的解析式.根据CBA的度数以及CP的长度与t的关系式.可得到OE的长度与t的关系式.设出点P、F的坐标.由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式.结合二次函数的性质即可求出最值；由翻转特性可知PCPC.PFPF.若四边形PFPC是菱形.则有PCPF.由此得出关于t的一元二次方程.解方程确定t值解：设直线BC的解析式为ykxm(k0).直线BC过B(4.0).C(0.4)两点.解得：.直线BC解析式为yx4.(9分)CPt.CBA45.OEt.点P在直线BC上.点F在抛物线上.设P(t.t4).F(t.t23t4).(0t4)PFt23t4(t4)t24t.(0t4)当t2时.PF最大4.(10分)第2题解图PCF沿CF折叠得到PCF.如解图.PCPC.PFPF.当四边形PFPC是菱形时.只需PCPF.tt24t.解得：t10(舍去).t24.当t4 时.四边形PFPC是菱形(12分)3商场为了促销某件商品.设置了如图的一个转盘.它被分成了3个相同的扇形.各扇形分别标有数字2、3、4.指针的位置固定.该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取.每次转动后让其自由停止.记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时.当作右边的扇形).先记的数字作为价格的十位数字.后记的数字作为价格的个位数字(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种).表示出两次所得数字可能出现的所有结果；(2)求出顾客购买商品的价格不超过30元的概率 第3题图解析 解：(1)列表如下：第一次结果第二次234222324232333434243444(4分)或画树状图如解图：第3题解图(4分)共有9种等可能的结果(2)如(1)的列表法或树状图法所示.在一共9种等可能的事件中.其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30元的有3种情况顾客购买商品的价格不超过30元的概率为：P.(7分)4如图.在平面直角坐标系中.O为顶点.平行四边形ABCD的边BC在x轴上.D点在y轴上.C点坐标为(2.0).BC6.BCD60.点E是AB边上一点.AE3EB.P过D、O、C三点.抛物线yax2bxc过点D、B、C三点(1)求抛物线的解析式；(2)求证：ED是P的切线；(3)若将ADE绕点D逆时针旋转90.E点的对应点E会落在抛物线yax2bxc上吗？请说明理由；(4)若点M为此抛物线的顶点.平面上是否存在点N.使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在.请直接写出点N的坐标.若不存在.请说明理由 第4题图解析 (1)【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标.然后用待定系数法可得抛物线的解析式解：由题意得D、B、C三点的坐标分别是(0.2)、(4.0)、(2.0).分别代入yax 2bxc中得. .解得 .所以抛物线的解析式为yx 2x2.(2分)(2)【思路分析】延长DE交x轴于点F.构造BFEADE.利用相似三角形的性质求得BF的长；在RtDOF中.利用锐角三角函数得到FDO的度数.进而求出CDE90.解：延长DE交x轴于点F.如解图所示.ADBC.ADEBFE.第4题解图.即.BF2.B(4.0).OB4.OF6.(3分)D(0.2).OD2.在RtDOF中.tanFDO.FDO60.(4分)BCD60.CDO30.CDE90.CDDE.ED是P的切线(5分)(3)【思路分析】根据旋转的性质求得E点的坐标.代入抛物线的解析式验证即可解：点E不会落在抛物线yx 2x2上理由如下：第4题解图将ADE绕点D逆时针旋转90.E点的对应点是E.A点的对应点是A.如解图所示.则DADA6.ADBC.EDO60.ADE30.AEAEAD3.ABCD60.DEA90.(6分)过点E作EG y轴于点G.则AEG30.AG.OG622.在RtAEG中.EG.E(.2).(7分)当x时.y() 22.2.所以点E不会落在抛物线yx 2x2上(8分)(4)【思路分析】先求得M点的坐标.然后分别以MB、DM、BD为平行四边形的对角线.通过平移的性质确定N点的坐标解：存在点N.使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形.理由如下：yx2x2(x1)2.M(1.).且B(4.0).D(0.2).如解图所示：第4题解图当BM为平行四边形BDNM的对角线时.点D向左平移4个单位.再向下平移2个单位得到点B.则点M(1.)向左平移4个单位.再向下平移2个单位得到点N1(5.); (9分)当DM为平行四边形BNDM的对角线时.点B向右平移3个单位.再向上平移个单位得到点M.则点D(0.2)向右平移3个单位.再向上平移个单位得到点N2(3.)；(10分)当BD为平行四边形BDMN的对角线时.点M向左平移3个单位.再向下平移个单位得到点B.则点D(0.2)向左平移3个单位.再向下平移个单位得到点N3(3.).(11分)综上所述.点N的坐标为(5.)、(3.)、(3.)(12分)5如图.在ABC中.ABBC.D是AC的中点.BE平分ABD交AC于点E.点O是AB上一点.O过B、E两点.交BD于点G.交AB于点F.(1)判断直线AC与O的位置关系.并说明理由；(2)当BD6.AB10时.求O的半径 第5题图解析 (1)【思路分析】连接OE.如解图.由BE平分ABD和OEOB.可得OEBD.由等腰三角形的性质得BDAC.所以OEAC.根据切线的判定定理可得AC与O相切解：连接OE.如解图.(1分)第5题解图BE平分ABD.OBEDBE.(2分)OEOB.OBEOEB.OEBDBE.OEBD.(3分)ABBC.D是AC中点.BDAC.OEAC.AC与O相切；(4分)(2)【思路分析】设O半径为r.易证AOEABD.利用相似三角形对应边成比例.建立关于r的方程.然后解方程求出r.解：设O半径为r.则AO10r.(5分)由(1)知.OEBD.AOEABD.即.(6分)r.即O半径为.(8分)6如图.直线l：y3x3与x轴交于点A.与y轴交于点B.把AOB沿y轴翻折.使得点A落到点C.抛物线过点B、C和D(3.0)(1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M.点N在坐标轴上.以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似.求所有满足条件的点N的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P.使SPBD6？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由第6题图解析 (1)【思路分析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式解：直线l：y3x3与x轴交于点A.与y轴交于点B.A(1.0).B(0.3)；把AOB沿y轴翻折.使点A落到点C.C(1.0)设直线BD的解析式为：ykxb.点B(0.3).D(3.0)在直线BD上.解得k1.b3；直线BD的解析式为：yx3.(1分)由于点D(3.0).点C(1.0)均在抛物线上.故可设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3).点B(0.3)也在抛物线上.3a(1)(3).解得：a1.抛物线的解析式为：y(x1)(x3)x24x3.(3分)(2)【思路分析】解题关键首先确定MCD为等腰直角三角形.因为BND与MCD相似.所以BND也是等腰直角三角形如解图所示.符合条件的点N有3个解：抛物线的解析式为：yx24x3(x2)21.抛物线的对称轴为直线x2.顶点坐标为(2.1)第6题解图直线yx3与抛物线的对称轴交于点M.M(2.1)设对称轴与x轴交点为点F.则CFFDMF1.MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似.BND为等腰直角三角形如解图所示：()若BD为斜边.则易知此时直角顶点为原点O.N1(0.0)；(5分)()若BD为直角边.B为直角顶点.则点N在x轴负半轴上.OBODON23.N2(3.0)；(6分)()若BD为直角边.D为直角顶点.则点N在y轴负半轴上.OBODON33.N3(0.3)(7分)满足条件的点N坐标为：(0.0).(3.0)或(0.3)(8分)(3)【思路分析】解题关键是求出PBD面积的表达式.然后根据SPBD6的已知条件.列出方程求解即可第6题解图解：假设存在点P.使SPBD6.设点P坐标为(m.n)()当点P位于直线BD上方时.如解图所示：过点P作PEx轴于点E.连接PD、PB.则PEn.DEm3.SPBDS梯形PEOBSBODSPDE(3n)m33(m3)n6.化简得：mn7 .P(m.n)在抛物线上.nm24m3.代入式整理得：m23m40.解得：m14.m21.n13.n28.P1(4.3).P2(1.8)；(10分)第6题解图()当点P位于直线BD下方时.如解图所示：过点P作PEy轴于点E.连接PD、PB.则PEm.OEn.BE3n.SPBDS梯形PEODSBODSPBE(3m)(n)33(3n)m6.化简得：mn1 .P(m.n)在抛物线上.nm24m3.代入式整理得：m23m40.70.此方程无解故此时点P不存在(11分)综上所述.在抛物线上存在点P.使SPBD6.且点P的坐标为(4.3)或(1.8)(12分)第6题解图一题多解：假设存在点P.使SPBD6.如解图所示.过点P作直线l平行BD.l与BD的距离为d.l与y轴交点为B.BD3.SPBDBDd6.d2.BD与y轴夹角为45.BB4.将BD上移或下移4个单位.上移4个单位.l解析式为：yx7.联立l解析式与抛物线解析式得：x23x40.x14.x21.此时点P坐标为(4.3)或(1.8)；下移4个单位.l解析式为yx1.联立l解析式与抛物线解析式可得：x23x40.0.此方程无解.此时点P不存在综上所述.点P的坐标为(4.3)或(1.8)7如图.在ABC和ADE中.ABAC.ADAE.BACDAE90.(1)求证：BDCE.BDCE；(2)将图中的ADE绕点A顺时针旋转角(090).如图.(1)的结论还成立吗？请说明理由第7题图解析 (1)【思路分析】要证BDCE.可先证BD、CE所在的两个三角形即ABD、ACE全等.根据题意可用SAS证全等；要证BDCE.可先延长BD.交CE于点F.证BFE(或BFC)为90即可；而要证BFE90.可先证ABDBEF90.由ABDACE可得ABDACE.而ACEBEF90.问题就得到解决了第7题解图解：延长BD交CE于点F.如解图.(1分)在ABD和ACE中.ABDACE(SAS).BDCE.ABDACE.(3分)在RtAEC中.ACEBEF90.ABDBEF90.BFE1809090.BDCE.(4分)(2)【思路分析】结论仍然成立.要证BDCE.还是先证ABDACE；要证三角形全等.可先证BADEAC.然后仍用SAS证全等；要证BDCE.可先延长BD交CE于点F.证BFC90；而要证BFC90只需证出CBFBCF90即可第7题解图解：(1)的结论仍成立延长BD交CE于点F.如解图.(5分)BADCAD90.EACCAD90.BADCAE.(6分)在DAB和EAC中.DABEAC(SAS).BDCE.ABDACE.(8分)ABCACB90.CBFBCFABCABDACBACE90.BFC180CBFBCF1809090.ECBD.(9分)8 如图.已知抛物线与x轴交于A(1.0).B两点.与y轴交于点C(0.3).点D为抛物线的顶点且对称轴为x1.(1)求抛物线的解析式；(2)直线CD与x轴交于点E.过线段OB的中点N作NFx轴.交直线CD于点F.求EF的长；(3)在第(2)问的条件下.直线NF上是否存在点M.使得以点M为圆心.OM为半径的圆与直线CD相切？若存在.求出点M的坐标；若不存在.请说明理由 第8题图 解析 (1)【思路分析】设抛物线解析式为yax2bxc(a0).把点A(1.0).点C(0.3)分别代入式中.再由对称轴公式x1.列出三元一次方程组求解解：设抛物线解析式为yax2bxc.由题意可得：.解得.(2分)抛物线的解析式为yx22x3.(3分)(2)【思路分析】要求EF的长.可放到RtENF中.用勾股定理求解.这就需要知道EN、FN的长；而要求EN、FN的长.需知道点E、F的坐标.这就需要先求出直线CD的解析式；设直线CD解析式为ykxb.将C、D两点代入.用待定系数法求出直线CD的解析式解：点D为抛物线的顶点.D(1.4).设CD的解析式为ykxb.把C(0.3).D(1.4)代入.得.解得k1.b3.直线CD解析式为yx3.(4分)E(3.0).OEOC3.AEC45.令抛物线yx22x3中y0.解得x11.x23.OB3.(5分)点N是OB的中点.ON.NE.(6分)FNx轴.AECEFN45.ENFN.EFEN.(7分)(3)【思路分析】假设存在符合条件的点M.设M(.y).过点M作MQCD于点Q.根据题意得MQMO.再证出RtFQM RtFNE.根据相似三角形对应边成比例列出关于y的方程求解解：直线NF上存在点M.过点M作MQCD于点Q.如解图.(8分)第8题解图M与CD相切.MQOM.设M(.y).MQ2OM2y2.(9分)MFQNFE.FQMFNE90.FQMFNE.即.整理得：4y236y630.解得：y1.y2.(11分)点M的坐标为：M1(.)、M2(.)(12分)9如图.边长为4的正方形ABCD的边ADy轴.点P(0.1)是CD的中点.以P为顶点的抛物线经过点B.连接BD.(1)求抛物线和直线BD的解析式；(2)如图.若点M是抛物线上一动点(点M不与点A、B重合).过点M作y轴的平行线FM与直线AB交于点F.与直线BD交于点E.当线段ME2EF时.求点M的坐标；(3)如图.平移抛物线.使平移后的抛物线顶点N在直线PB上.抛物线与直线PB的另一个交点为Q.点H在y轴正半轴上.当以H、N、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时.求出所有符合条件的H点的坐标第9题图解析 (1)【思路分析】由点P(0.1)是抛物线的顶点.